Рослов Юрий Викторович roslov@seismoshelf.com Учебная дисциплина ДС.05.01. «Сейсмическая

Рослов Юрий Викторович [email protected] Учебная дисциплина ДС.05.01. «Сейсмическая томография» Лекция №2 «Математические основы сейсмической томографии»

Общее определение томографии Восстановление n-мерного объекта по набору его проекций меньшей размерности Неразрушающий изучаемый объект метод исследования

Наблюденные времена вступлений Рассчитанные времена вступлений Начальная скоростная модель Улучшенная скоростная модель невязки

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Общая постановка задачи V=V(x,y) ti tk Прямая задача: V(x,y) – известно, нужно определить ti Обратная задача: ti – известно, нужно определить V(x,y)

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Классическое преобразование Радона

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Лучевая томография на временах пробега

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Решение прямой задачи Задача – найти траекторию распространения и соответствующее время распространения волны, формирующее первое вступление (а также и последующие вступления). V=V(x,z) Лучевая томография зародилась, как томография на первых вступлениях, так как выделение первых вступлений представляет собой наиболее простую задачу. Первые вступления формируются преломленными, рефрагированными и дифрагированными волнами

Решение прямой задачи Отраженная волна Преломленная волна Преломленная волна Рефрагированная волна Прямая волна (однородная среда) Горизонт Источник Приемники V2=V2(x,z) V1=V1(x,z)

Решение прямой задачи Пример сейсмической записи. Преломленная волна Прямая водная волна Отраженные волны

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Обзор алгоритмов лучевого трассирования Основные методы лучевого трассирования а) метод пристрелки б) метод изгибания в) метод полей времен

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод пристрелки α В методе пристрелки используется стандартный расчет луча по начальным условиям (Dines, Lytle 1979). Задана начальная точка (положение источника), например . Лучи выпускаются из точки под разными углами α и аналитически продолжаются вглубь среды. На основании заданного критерия происходит оценка близости прохождения лучом окрестности приемника. Если данное условие не выполняется, начальный угол претерпевает изменения до тех пор, пока некоторый критерий попадания в приемник не будет достигнут. К преимуществам данного метода нужно отнести следующие его свойства: Время вступления определяется с точностью процедуры численного или аналитического трассирования луча и не зависит от метода пристрелки, как такового. Данные процедуры разработаны достаточно детально, поэтому можно считать, что точность расчета времени очень высокая; Метод позволяет определить тип волны, что очень важно в вопросах интерпретации; Возможна оптимизация времени расчетов при одновременном трассировании лучей, выходящих из одного источника в ряд приемников. Метод удобен при «профильном» расчете лучей, когда точки регистрации распределены вдоль некоторого линейного профиля (возможно, искривленного, кусочно-линейного и т.д.), например, при измерениях по профилю на поверхности, межскважинном просвечивании в методе ВСП и т.п. К основным недостаткам метода пристрелки можно отнести следующие проблемы: Метод не гарантирует нахождение первого вступления, глобального минимума; Метод не позволяет вычислить луч, отвечающий первому вступлению, если хотя бы часть его проходит в зоне тени или представляет собой дифрагированную волну. С алгоритмической точки зрения, сложность может представлять выбор начального приближения углов излучения, а также алгоритм определения новых углов выхода на каждом шаге. α

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод изгибаний (деформаций) В методе деформации (Julian, Gubbins, 1977) сначала задается траектория луча в первом приближении (например, прямая линия, соединяющая источник и приемник). Затем она разбивается на сегменты и итеративно возмущается, чтобы удовлетворить принципу Ферма и найти экстремум (минимум) времени пробега. Необходимо отметить, что первое приближение траектории не соответствует какому-либо реальному лучу, это не более чем некая кривая. В простых скоростных моделях метод деформации обычно более эффективен, чем метод пристрелки. Его легко использовать даже в случае, когда определяются лучи между точкой и нерегулярным распределением точек M, находящихся на большом расстоянии друг от друга, в трехмерной модели. В таких случаях эффективность метода пристрелки обычно ниже, чем в ситуации, когда регистрация ведется вдоль некоторого профиля. Для сложных сред, когда лучи представляют собой сложные кривые, эффективность метода деформации ниже. Преимущества данного метода таковы: точность определения времени первого вступления зависит в основном от характерной длины сегмента луча и может быть достаточно высокой; алгоритм не требует энергоемких вычислений траектории луча посредством лучевого трассирования; всегда выдает некоторое решение вне зависимости от физической природы волн, его образующих. К неудачным сторонам метода относится следующее: метод не гарантирует нахождения глобального минимума; дает решение только для одной пары точек и не позволяет оптимизировать время расчетов путем группирования источников/приемников; имеет сильную тенденцию пропускать кратные лучи. Метод продолжения. В обоих методах, пристрелки и деформации, структура модели неизменна в процессе итерировании. В методе продолжения сама структура постепенно изменяется. Вначале задача расчета луча, проходящего через две точки, решается для модели более простой, чем заданная. После этого модель шаг за шагом постепенно деформируется, пока не совпадет с исходной моделью. На каждом шаге деформации решаются уравнения лучей и определяется луч, идущий из источника в точку регистрации.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод волновых фронтов (волновых фронтов) В методе полей времен исследуемая среда разбивается некоторой сеткой ячеек, и рассчитывается распространяющийся фронт волны на этой сетке. Сначала определяется время первого вступления в узлы сетки, ближайшие к источнику, затем, используя принцип Гюйгенса, поле времен продолжается вглубь среды. Использование данного подхода дает следующие преимущества: гарантирует нахождение первого вступления, глобального минимума кривой времени пробега; результат вычислений не зависит от типа волн, образующих первые вступления; возможна оптимизация времени расчетов при одновременном трассировании лучей, выходящих из одного источника в ряд приемников. Недостатки метода полей времен таковы: требует больших затрат машинного времени и памяти; точность определения времени первого вступления зависит от характерного размера ячеек, на которые разбита среда, и способа экстраполяции. Уменьшение размера ячеек в 2 раза приводит к увеличению времени расчетов примерно в 4 раза в двумерном случае и в 8 раз в трехмерном; практически не позволяет восстановить физический тип волн, образующих первое вступление.

Метод волновых фронтов (волновых фронтов) Пример трассировки в лабиринте, источник в левом верхнем углу, непроницаемые стенки имитированы ячейками со скоростью 0.01 км/с

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Определение начальной скоростной модели Основные способы задания скоростной модели: Аналитический. Скорость представляется как некоторая аналитическая функция V=f(R) , где R – координата точки среды. Функция f(R) может зависит от одной, двух или трех координат, что отвечает, соответственно, одномерным, двумерным и трехмерным средам. Пример аналитического определения скорости: V = V0+a*H Где: V0 – начальное значение скорости на дневной поверхности H – глубина a – постоянный коэффициент H V V0

Определение начальной скоростной модели Основные способы задания скоростной модели: Слоистый Скоростная модель представляет собой набор слоев сложной геометрии, в том числе и выклинивающихся, в каждом из которых задана определенная функция скорости. Пример: формат скоростной модели программы SeisWide.

Определение начальной скоростной модели Основные способы задания скоростной модели: 3. Сеточный а) прямоугольные ячейки (красный цвет – наклонная плоскость, зеленый – аппроксимация наклонной плоскости прямоугольными ячейками) б) радиальная сетка, центр которой находится в точке источника (синим цветом изображено распространение волнового фронта); в) триангуляционное разбиение.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Решение обратной задачи Представление скоростной модели – нерегулярная сетка

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Обзор методов решения обратной задачи Тестовый пример представляет собой типичную задачу межскважинного просвечивания

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод обратного проецирования Метод Обратного Проецирования. Этот метод расчитывает решение почти мгновенно, однако надежность такого решения очень низкая. В лучшем случае, с его помощью можно обнаружить аномальные зоны внутри исследуемой области. Что касается полученного решения, то на него нельзя положиться не при каких обстоятельствах. Этот метод рекомендуется для быстрой оценки возможного решения и выработки основных подходов при использовании более тяжелых, но качественных методов.

Метод обратного проецирования Метод Обратного Проецирования. Примеры результатов обработки (Колонин А. )

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод наименьших квадратов (Damper) Метод Наименьших Квадратов. тот метод приводит к более надежному результату, нежели метод обратного проецирования, однако требует больше машинного времени для расчетов. Его главный недостаток связан с тем, что параметры решения в смежных ячейках рассматриваются как независимые. Общее следствие: полученное решение характеризуется мелко-масштабным хаотическим чередованием положительных и отрицательных аномалий. Расчет выполняется итеративно по методу сопряженных градиентов.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод Наиболее Гладкого Решения. Этот метод требует для расчетов много машинного времени, однако, в большинстве случаев, приводит к надежным результатам. В этом методе исходят из предположения, что значения скорости в соседних ячейках приблизительно одинаковые. Поэтому можно использовать относительно мелкие ячейки , не боясь потерять при этом основные качественные особенности изучаемой среды. Особенно рекомендуется использовать этот метод в тех случаях, когда улучшенная скоростная модель будет применятся как новая начальная модель (т.е. в нелинейной томографии). Как и в случае метода наименьших квадратов, расчет выполняется итеративно по методу сопряженных градиентов.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Метод наиболее ровного решения (Evener) Метод Наиболее Ровного Решения. В действительности метод наиболее гладкого решения плохо работает с тех случаях, когда в восстанавливаемой структуре вертикальная неоднородность много сильнее, чем горизонтальная неоднородность. В таких ситуациях мы предлагаем использовать метод наиболее ровного решения, где параметр регуляризации для вертикальной пары соседних ячеек в несколько раз больше, чем для горизонтальной пары. Идея метода состоит в то, чтобы невязки можно было представить как возможные вертикальные вариации среды. И только остаточную часть невязок использовать для введения некоторых горизонтальных вариаций.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Параметр регуляризации Восстановление скоростной модели среды при параметрах регуляризации 0,1 ; 0,3 и 0,9 соответственно.

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Итерационная обработка Схемы лучей

Итерационная обработка

Математические основы сейсмической томографии Общая постановка задачи Классическое преобразование Радона Лучевая томография на временах пробега Решение прямой задачи Обзор алгоритмов лучевого трассирования Метод пристрелки Метод изгибаний Метод волновых фронтов Определение начальной скоростной модели Решение обратной задачи Обзор методов решения обратной задачи Метод обратного проецирования Метод наименьших квадратов (Damper) Метод наиболее гладкого решения (Smoother) Метод наиболее ровного решения (Evener) Параметр регуляризации Итерационная обработка Ограничения, накладываемые на искомое решение

Ограничения, накладываемые на искомое решение Введение ограничений, накладываемых на искомое решение, - один из способов задания априорной информации при томографической обработке. Из геологических, технических или иных соображений (скважинные данные, состав пород и т.п.) могут быть известны возможные рамки изменения скорости в разрезе. Их можно учесть, если наложить ограничения на искомую модель. Накладываемые ограничения могут быть двух типов: Фиксация скорости в определенной ячейке или группе ячеек. При томографической обработке зафиксированная величина скорости меняться не будет. Возможность вариации величины скорости в ячейке в определенных (относительных или абсолютных) пределах. На рисунке представлены: А) схема наблюдений Б) стандартная томографическая обработка В) томографическая обработка с ограничениями на возможные вариации скорости от 2км/с (минимум) до 3 км/с (максимум).

Литература

Пакет программ "DOGSTOMO" (Версия 2.0) предназначен для моделирования и интерпретации времен пробега сейсмических волн, формирующих первые вступления. Пакет рассчитан на компьютеры, совместимые с IBM PC AT, использующие операционную систему MS DOS версий 3.0 и выше, и снабженные сопроцессором, монитором EGA или VGA, а также (желательно) мышью. Создатели пакета программ "DOGSTOMO" - П.Г.Дитмар, Ю.В.Рослов; фирма "Development Of Geophysical Software" ("DOGS"): FIRSTOMO – THE BEST OF RUSSIAN TOMOGRAPHY История развития программного обеспечения, реализующего сейсмотомографический подход 1991 2003 1995 DOGSTOMO FIRSTOMO XTomo