Ringi teoreemid
Teoreem 1 Kesknurk on kaks korda suurem kui samale kaarele toetuv põiknurk. B x O 2 x A C
Tõestus B Kolmnurk AOB on võrdhaarne x raadius 180°-2 x x A raadius O C
Kolmnurk BOC on võrdhaarne B x y raadius 180°-2 x 180°-2 y O A y C raadius
B x y 180°-2 x 180°-2 y z A C
B B x y 180°-2 x 180°-2 y z A 180°-2 x C 180°-2 y z A C
Teoreem 2 Põiknurgad, mis toetuvad samale kaarele on omavahel võrdsed. X x A Y x B
Tõestus X Y x x O 2 x A B
Näide nurk ACD = 90 (Teoreem 3) C nurk ADC = 40 (kolmnurgad) 40 a = 40 (Teoreem 2) D O 50 A a B
Ringi teoreemid 2. osa
Teoreem 3 Ringi sissejoonestatud nelinurga vastasnurkade summa on 180. D O C A B
Tõestus D x O 2 x C A B
Tõestus D x O 2 y 2 x C A y B
Näide Leia x ja y. x 2 x y 130
Teoreem 4 Põiknurk, mis toetub diameetrile on täisnurk. C B O A
Tõestus C 90° B O 180° A
Näide Leia x. Kolmnurk on võrdhaarne, seega O x
Ringi teoreemid 3. osa - puutuja
Definitsioon Puutuja on sirge, millel on ringiga ainult üks ühine punkt. O
Puutuja teoreem 1 Puutepunkti joonestatud raadius on risti puutujaga. O
Puutuja teoreem 2 Ringist väljaspool olevast punktist saab ringile joonestada ainult kaks puutujat, mis on ühepikkused. O
Teoreem Kaks võrdset nurka
Tõestus C Joonestame diameeter AD. D x nurk DAT = 90 x nurk DAB = 90 - x B nurk DBA = 90 O nurk ADB = x 90 -x nurk ACB = x A x T
Näide C a a = 70 (AST) b = 180 – 50 – 70 = 60 b c = b = 60 (AST) O c A 50 70 T B