Результат учения равен произведению способности на старательность Если

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Результат учения равен произведению способности на старательность. Если старательность равна нулю, то и всё произведение равно нулю. А способности есть у каждого.

Основной вопрос: • Как связано понятие вероятности с геометрией? • 1. 2. 3. 4. Задачи: Провести серию опытов. Сформулировать геометрическое понятие вероятности. Изучить литературу по данному вопросу. Сделать выводы. Подтвердить или опровергнуть гипотезу. Решить задачи на нахождение вероятностей. 5.

Серия опытов. Серия опытов, приводящих к определению вероятности из геометрических соображений.

Опыт 1. На отрезок [0; 1] наудачу бросается точка. Какова вероятность того, что она попадёт в промежуток [0, 4; 0, 7]? Число исходов бесконечно, поскольку на отрезке бесконечно много точек.

ГИПОТЕЗА: Очевидно, для ответа на вопрос нужно знать, что общее число исходов выражается длиной большего отрезка, а благоприятствующие событию A исходы – длиной вложенного отрезка. Отношение этих длин и даст искомую вероятность. Р(А)= l/L= 0. 3/1=03

Общий случай: в некоторой ограниченной области случайно выбирается точка. Какова вероятность, что точка попадет в область А? На прямую L? L А

Геометрическое определение вероятности Если предположить, что попадание в любую точку области равновозможно, то вероятность попадания случайной точки в заданное множество А будет равна отношению площадей: Если А имеет нулевую площадь, то вероятность попадания в А равна нулю. Можно определить геометрическую вероятность в пространстве и на прямой:

Опыт 2. В квадрат со стороной 4 см «бросают» точку. Какова вероятность, что расстояние от этой точки до ближайшей стороны квадрата будет меньше 1 см? Закрасим в квадрате множество точек, удаленных от ближайшей стороны меньше, чем на 1 см. Площадь закрашенной части квадрата 16 см 2 – 4 см 2 = =12 см 2. Значит,

Опыт 3. В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции АМСД, где точка М : а) середина стороны ВС; б) делит отрезок СB в отношении 1: 2, считая от точки B; в) делит отрезок ВС в отношении m: n, считая от точки В. Решение: а) P = SAMCD / SABCD S AMCD = (a+0, 5 a)*a/2 = 1, 5 a 2 / 2 = 0, 75 a 2 S ABCD = a 2 P = 0, 75 a 2 / a 2 = 0, 75

Опыт 3. В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции АМСД, где точка М: б) делит отрезок СB в отношении 1: 2, считая от точки B. Решение: б) BM : MC = 1: 2; MC = 2/3 a. S AMCD = (a+ 2/3 a) * a /2 = = 5/3 a 2 /2 = 5/6 a 2 P = (5/6)a 2 / a 2 = 5/6 ≈ 0, 83 Ответ: 0, 83

Опыт 3: В квадрате АВСД случайным образом выбирается точка Х. Найдите вероятность того, что эта точка принадлежит трапеции АМСД, где точка М: в) делит отрезок ВС в отношении m: n, считая от точки В. Решение: BM : MC = m: n S= (n/(m+n)*a+a) *a/2= (an / (n+m) +a(n+m)/(n+m) ) *a/2 = =(an+an+am)/(n+m) *a/2 = 0, 5 a 2 (2 n+m) / (n+m) P = 0, 5(2 n+m) / (m+n) Ответ: 0, 5(2 n+m) / (m+n)

Вывод. Изучив литературу, мы пришли к выводу, что наше предположение верно, т. е. дали верное геометрическое определение вероятности.

Решение тренировочных задач Задачи 1 – 3

Задача № 1. В прямоугольнике со сторонами 6 и 20 см нарисованы два непересекающихся круга диаметром 3 см каждый. Найдите вероятность того, что случайно выбранная точка этого прямоугольника: а) не принадлежит ни одному из этих кругов; б) не принадлежит какомунибудь одному из этих кругов. Решение а) : S - площадь прямоугольника. S =6· 20 = 120; S 1 площадь фигуры, полученной из прямоугольника после того, как из него вырезали 2 непересекающихся круга. S 1 = S - 2* 3, 14 R 2 = 120 - 2*3, 14* 9/4 = 120 - 14, 13 = 105, 87 P = 105, 87 / 120 ≈ 0, 88 Ответ: 0, 88 Решение б): Если точка не принадлежит только одному из кругов, то она принадлежит либо второму кругу, либо оставшейся части прямоугольника S 1. Площадь для благоприятного попадания точки в этом случае равна S - п. R 2 = 120 - 3, 14*9 /4= 112, 935 P= 112, 935 / 120 ≈ 0, 94 Ответ: 0, 94

Задача № 2. Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20 см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, пролетит через решетку, не задев ее, если радиус мяча равен: а) 10 см, б) 5 см? Решение. а) б)

Задача № 3. Какова вероятность того, что капля из протёкшей крыши попадет на стол, находящийся в комнате? Ширина комнаты – 3 м, длина комнаты – 3 м, ширина стола – 60 см, длина стола – 150 см. Решение: Вопрос данной задачи можно перефразировать следующим образом: какова вероятность того, что случайно выбранная точка квадрата 3 м× 3 м будет принадлежать прямоугольнику 150 см× 60 см? Вычислим меры множеств (в качестве меры выступает площадь, так как в задаче речь идёт о плоскостях): 1) Мера меньшего множества (стола) S 1=0. 6*1. 5=0. 9 м 2 2) Площадь комнаты S 2=3*3=9 м 2 Вероятность того, что капля упадёт на стол равна: Р=0, 9/9=0, 1 Ответ: 0, 1

Задача № 4. Комар находится в закрытой кубической комнате со стороной 3 м. В течение некоторого времени он свободно летает по комнате, после чего он может равновероятно оказаться в любой точке комнате. Какова вероятность того, что через час он будет находиться на расстоянии не более метра от стены? Решение: Благоприятные исходы – это когда комар находится на расстоянии не более метра от какой-либо стены. Нам дан куб со стороной 3 м. Разделим его на две зоны - та, в которой для любой точки расстояние до всех стен более метра, и та, в которой лежат все остальные точки комнаты. Тогда первая зона – это параллелепипед, в основании которого квадрат 1 м× 1 м, а высота – 3 м. Объем этого параллелепипеда равен 3 м 3. Так как объем всей комнаты – 27 м 3. Значит, объем второй зоны равен: 27 -3=24 м 3. Следовательно, вероятность того, что комар будет находиться на расстоянии не более метра от стены, будет равна: Р=24/27=8/9 =.

Итог

Вопросы: 1. Что такое геометрическая вероятность? Каковы формулы геометрической вероятности (на плоскости, на прямой, в пространстве)? 2. Можно ли вычислить геометрические вероятности для опыта, исходы которого не являются равновозможными?

Скачать презентацию Результат учения равен произведению способности на старательность Если

6f6a59489d0a104a1c79b84abd208824.ppt

Количество слайдов: 19