Решения для поля в планарном волноводе Дисперсионное

Решения для поля в планарном волноводе

Дисперсионное соотношение

Частота отсечки - безразмерная частота Условие волноводного распространения нарушается при - параметр отсечки

Число волноводных мод - нормированная частота отсечки - нулевая мода Полное число мод, поддерживаемых структурой

Симметричный планарный волновод Частота отсечки Число волноводных мод Дисперсионное соотношение

Полые волноводы Волновое уравнение Вид решения

Поле в полом волноводе TE-моды Граничные условия A=B

Дисперсионное соотношение Граничные условия на границе 2 - 3 Равенство производных на границе 2 – 3 дает Дисперсионное соотношение

Дисперсия и постоянные распространения Дисперсионное соотношение Постоянные распространения - комплексные Случай сильно локализованных мод Последовательные приближения s = 1, 2, 3, …

Постоянные распространения полых волноводов В первом приближении Второе приближение

Постоянные распространения затухание

Приближение геометрической оптики Условие существования моды скачок фазы = Потери при отражении от стенок Число пар отражений на длине L

Потери в полом волноводе R 1, 2 – коэффициенты отражения Формулы Френеля

Потери в полом волноводе В режиме сильной локализации

Потери в полом волноводе Симметричный волновод: n 1 = n 3 = n; n 2 = 1

Приложения полых волноводов Газовые лазеры Каналирование холодных атомов Генерация коротких импульсов ФСМ, ВКР Генерация оптических гармоник

Генерация сверхкоротких импульсов в полых волноводах M. Nisoli et al. , 1996

Four-wave mixing: tight focusing versus guided waves 3 p/2 2 p -5 -4 -3 -2 p/2 -1 1 -p/2 1 2 3 4 5 2 z/b -p -3 p/2 ~a b No sum-frequency generation in the tight-focusing regime (b << L) because of the phase shift No prohibition on sum-frequency generation

-Модель эволюции сверхкоротких лазерных импульсов. -Уравнение волноводного распространения.

Уравнения Максвелла Рассмотрим систему уравнений Максвелла: (Плазма квазинейтральна, поэтому объёмная плотность равна нулю) Дополним её материальными уравнениями:

Выводим волновое уравнения стандартным способом: С учетом того, что дивергенция электрической индукции равняется нулю, получаем стандартное волновое уравнение, описывающее распространение электромагнитного излучения при наличии плазмы, влияние которой учитывается при помощи производной вектора плотности тока:

Перейдём к спектральному представлению: прямое преобразование Фурье обратное преобразование Фурье

В спектральном представлении уравнение примет вид: Данное уравнение можно формально можно записать в более наглядном виде: где В данном уравнении не учитываются потери на фотоионизацию!

Дифференциальный оператор, действующий на поле, можно записать следующим образом : Решение представимо в виде суммы волн, бегущих в разных направлениях : Будем работать с волной бегущей в прямом направлении : Возникновение отражённой волны, в результате действия нелинейности, описывает слагаемое: Мы можем её пренебречь, если выполняется соотношение:

Для волны бегущей в прямом направлении, тогда можно записать уравнение эволюции поля в следующем виде: Теперь разложим нелинейный волновой вектор в ряд Тейлора, ограничившись учётом двух первых членов: Что позволяет прийти к с следующему виду уравнения: .

Для удобства, в дальнейшем будем считать, что распределение поля симметрично, относительно оси распространения, и будем работать в цилиндрической системе координат: Из кинетической теории газов хорошо известно, что плотность тока свободных электронов, при условии, что частота соударений : В результате изменятся слагаемые, отвечающее за пространственные и плазменные эффекты: Остаётся учесть потери на фотоионизацию…

Общая энергия электромагнитного поля по определению равна: Скорость изменения энергии за счёт ионизации: Используя выражение для полной энергии, можно записать смешанную производную: Отсюда легко установить, что в результате потери энергии на фотоионизацию, поле изменяется следующим образом:

Окончательно уравнение примет вид: Модель учитывает: üПространственные эффекты üДисперсия среды üНелинейную поляризацию üПлазменную нелинейность üФотоионизационные потери Корректно описывает распространение лазерных импульсов предельной длительности, состоящих из нескольких или даже одного цикла поля ! Thomas Brabec and Ferenc Krausz, Physical Review Letters 78, 17 (1997)

Рассмотрим распространение ультракороткого импульса в газовой камере в режиме туннельной ионизации Начальный спектр и спектральная фаза импульса, длительность которого составляет примерно 5 фемтосекунд. Гелий при давлении 25 атмосфер. Начальная энергия 0. 3 м. Дж. Длина фокусировки 1 м.

Сравнение экспериментального и теоретического выходных спектров.

Уравнение волноводного распространения.

Вернёмся к ранней стадии волнового уравнения: В данной записи уравнения были добавлены фотоионизационные потери в виде мнимой добавки к показателю преломления, которая как легко догадаться имеет вид: Вообще говоря, влияние различных нелинейностей можно трактовать как добавку к диэлектрической проницаемости:

С учётом этого, уравнение можно записать в более простом виде: Запишем поле лазерного импульса в одномодовом режиме:

Подстановка спектра поля в уравнение распространения сводит его к системе: Решать её можно методом возмущений. В нулевом приближении, в отсутствие нелинейных эффектов эволюция поля в одномодовом режиме определяется преобразованием Фурье: Учет нелинейной добавки к диэлектрической проницаемости в первом приближении не влияет на распределение поля моды, но изменяет постоянную распространения:

Нелинейная добавка к квадрату постоянной распространения по теории возмущений в первом приближении имеет вид: Данная формальная процедура даёт возможность перейти к рассмотрению одномерного по пространству уравнения, определяющего эволюцию импульса: Переходя к рассмотрению волны бегущей в прямом направлении, можно аналогичным образом понизить порядок дифференциального уравнения:

Раскладываем нелинейную постоянную распространения в ряд Тейлора и учитываем только два первых члена: Приходим к наиболее общему уравнению волноводного распространения:

Модель учитывает совместное действие: üПространственных эффектов üДисперсии волокна üНелинейной поляризации üПлазменной нелинейности üФотоионизационных потерь Корректно описывает распространение лазерных импульсов предельной длительности, состоящих из нескольких или даже одного цикла поля. Описывает влияние не только нелинейности сердцевины, но и оболочки! Позволяет учитывать зависимость площади моды от частоты!

Нелинейная поляризация с учётом запаздывания среды: Уравнение волноводного распространения позволяет суммировать нелинейности оболочки и сердцевины волокна: Коэффициенты нелинейности:

Площадь моды может существенным образом зависеть от частоты: С учётом этого нелинейная поляризация примет вид:

Иллюстрация к фазовой самомодуляции. P. Sprangle, J. Renano, B. Hafizi, Propagation of intense short laser pulses in the atmosphere, Rev. E 66, 046418 (2002). Phys.

Плазменная нелинейность. Описывается током свободных электронов: Во временном представлении эволюция импульса под действием плазмы: Мгновенная частота в результате фазовой самомодуляции будет иметь вид:

Изменение концентрации свободных электронов определяется следующей формулой: где nn – концентрация нейтральных атомов, η – коэффициент прилипания электрона, βr – коэффициент рекомбинации, а W – скорость фотоионизации. Для одиночных фемтосекундных лазерных импульсов процессы рекомбинации и прилипания электронов не играют существенной роли. Мы также пренебрегли влиянием лавинной ионизации. В случае фемтосекундных импульсов свободные электроны появляются при помощи многофотонной и туннельной ионизации. Для каждого из этих режимов зависимость скорости ионизации от интенсивности принимает разный вид в соответствии со значением параметра Келдыша:

Скорость многофотонной ионизации дается формулой: где Imph= ħ(ωo)2/σ, а k – минимальное число фотонов, необходимое для ионизации, то есть k = Int(1 + Uion/ħωo). Скорость туннельной ионизации, усредненная по периоду поля, для линейно поляризованного лазерного импульса может быть вычислена по формуле АДК: где Ωo= 4. 1. 1016 cек-1 – фундаментальная атомная частота, IH = 3. 6. 1016 Вт/см 2, UH=13. 6 э. В – ионизационный потенциал водорода. На участке значений интенсивности поля, на котором оба этих процесса одновременно играют важную роль, мы можем интерполировать скорость ионизации гладкой кривой, что не противоречит экспериментальным данным представленным, к примеру в работе P. Sprangle, J. R. Penano and B. Hafizi, Phys. Rev. E 66 (2002).

Описание этих двух процессов объединяет формула Перемолова-Попова-Терентьева (PPT). Для произвольного вероятность ионизации усреднённая по периоду лазерного поля представляется в виде суммы вероятностей n-фотонных процессов: , , где — порог фотоионизации, — функция Досона, , — безразмерный асимптотический коэффициент атомной волновой функции на больших расстояниях от ядра, а — эффективное квантовое число уровня (Z - заряд атомного остова). Л. В. Келдыш. Ионизация в поле сильной электромагнитной волны. ЖЭТФ, 47, 5 (1964). В. С. Попов, Туннельная и многофотонная ионизация атомов и ионов в сильном лазерном поле (теория Келдыша), УФН т. 174, № 9 (2004).

Скорость ионизации для воздуха для разных длин волн, полученная сращиванием (интерполяцией) многофотонной и туннельной областей.

Скорость ионизации для воздуха для разных длин волн, рассчитанная по формуле ППТ.

Если электрическое поле описывается следующим образом: и необходимо получить вероятность ионизации в зависимости от мгновенной интенсивности поля, то есть не усреднённую по времени, то можно использовать в квазистатическом приближении скорректированную формулу типа АДК, в которой вместо огибающей интенсивности, будет стоять мгновенная интенсивность. Понятно, что данная формула описывает только туннельный режим ионизации. Вероятность фотоионизации в зависимости от мгновенной интенсивности поля корректно описывается формулой Юдина-Иванова: G. Yudin, M. Ivanov, Nonadiabatic tunnel ionization: Looking inside a laser cycle, Phys. Rev. A 64, 013409 (2001)