Решение заданий площади многоугольников по материалам открытого

Решение заданий площади многоугольников по материалам открытого банка задач ЕГЭ по математике

Теорема Пика Пусть L − число целочисленных точек внутри многоугольника, B − количество целочисленных точек на его границе, S − его площадь. Тогда справедлива формула Пика: S = L + B/2 – 1 Пример 1. Для многоугольника на рисунке L = 13 (красные точки), B = 6 (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому S = 13 + 6/2 – 1 = 15 квадратных единиц. 1 см

Теорема Пика Пример 2. L = 18 (красные точки), B = 10 (синие точки), поэтому S = 18 + 10/2 – 1 = 22 квадратных единиц. 1 см

Площадь прямоугольного треугольника Пусть а и b − катеты прямоугольного треугольника, c – гипотенуза, h – высота, проведенная из вершины прямого угла на гипотенузу, S − его площадь. Тогда справедливы формулы: 2 1 S = ab a b 2 1 S = ch c h

Площадь произвольного треугольника Пусть а − сторона треугольника, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь. Тогда справедлива формула: 2 1 S = ah a ah a

Площадь параллелограмма Пусть а − сторона параллелограмма, h а – высота, проведенная к этой стороне, S − его площадь. Тогда справедлива формула: S = ah a h a a

Площадь трапеции Пусть а и b − основания трапеции, h – высота, S − площадь трапеции. Тогда справедлива формула: bh 2 a + b S = h a bh a

Площадь четырехугольника Пусть d 1 и d 2 диагонали произвольного четырехугольника, α – угол между ними, S − его площадь. Тогда справедлива формула: 2 1 S = d 1 d 2 sin α d 2 d 1 α

Задания открытого банка задач1. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 10, 5. Решение : 7 3 1 смab. S 2 1 . , S

Задания открытого банка задач2. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. Решение : 8 4 1 см h aa ah. S 21 . S

Задания открытого банка задач3. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение : 81 см h a 3 a ah. S 21 . S

Задания открытого банка задач4. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение : 4 6 1 см h aa ah. S 21 . S

Задания открытого банка задач5. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 12. Решение : 3 81 см h aa ah. S 21 . S

Задания открытого банка задач6. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 33. Решение : 1 см 18 9 86 8 2 п/уΔSS. 33827472 1ΔS 2ΔS 3ΔS 98 ΔS

Задания открытого банка задач7. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 15, 5. Решение : 1 см 7 9 81 5 4 п/уΔSS. , , 515452143672 1ΔS 2ΔS 3ΔS 98 2 1 47 2 1 15 2 1 14 1 у/п. S

Задания открытого банка задач8. Найдите площадь квадрата, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 50. Решение : 1 см 17 по теореме Пифагора: аа 2 a. S 5014917 222 а 50 S

Задания открытого банка задач9. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 20. Решение : 1 см 26 по теореме Пифагора: аb 1 3 ab. S 4043626 222 а 204001040 S 101913 222 b 40 а 10 b

Задания открытого банка задач10. Найдите площадь ромба, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. Решение : 1 см 4 821 2 1 dd. S 1648 2 1 S

Задания открытого банка задач11. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 17, 5. Решение : 1 см 54 3517 2 35 345 2 1 , S 1 2 1 ah. S S 1ΔS 21 2 1 hha. S 2 2 1 ah

Задания открытого банка задач12. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 8. Решение : 1 см 6488468 2 1 S 1 2 1 ah. S S 1ΔS 21 2 1 hha. S 2 2 1 ah

Задания открытого банка задач 13. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 30. Решение : 1 см 5 48 h ba S 2 305 2 48 S

Задания открытого банка задач Ответ: 36. Решение : 1 см 72 814. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. h ba S 2 368 2 27 S

Задания открытого банка задач15. Найдите площадь параллелограмма, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 28. Решение : 1 см 7 42874 S a ah. S

Задания открытого банка задач17. Найдите площадь треугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 25, 5. Решение : 1 см 5 9 83 7 2 п/уΔSS. , , 52552851372 1ΔS 2ΔS 3ΔS 98 ΔS

Задания открытого банка задач Ответ: 13, 5. Решение: (1 способ) 1 см 718. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 2 3513 2 27 273 2 1 , S 1 2 1 ah. S S 1ΔS 21 2 1 hha. S 2 2 1 ah

Задания открытого банка задач Ответ: 13, 5. Решение: (2 способ) 1 см 7 918. Найдите площадь трапеции, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. 4 2 1 2 S 2 S 3 S 4 h ba Sтрапеции 2 5387 2 29 1, S 224 2 29 2 S 222 2 1 3 S 112 2 1 4 S 5131222538 4321, , SSSSS

Задания открытого банка задач19. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 51. Решение : 1 см 6 98 236 п/у. SS. 5166972 1ΔS 2ΔSу/п S 98 S

Задания открытого банка задач20. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 31. Решение : 1 см 9 82 5 п/у. SS. 3153672 1ΔS 2ΔS

Задания открытого банка задач21. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 33, 5. Решение : 1 см 7 8 2 5 32 п/у. SS. , , 533785756 1ΔS 2ΔS 78 S 35 2 1 28 2 1 3ΔS

Задания открытого банка задач22. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 24. Решение : 1 см 88 3 5 5 3 кв. б. SS. 24251564 ΔS 2. кв. м. S 88 S

Задания открытого банка задач23. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 14, 5. 1 см 7 8 34 5 3 Решение : п/у. SS. , , 514151651056 1ΔS 2ΔS 78 S 37 2 1 48 2 1 у/п S

Задания открытого банка задач24. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 18. 1 см 7 8 Решение : 3 2 S. 181028 ΔS 78 2 1 S 2 2 73 трапеции. S

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. 1 см 4 44 4 Решение: (1 способ) Площадь четырехугольника (в том числе невыпуклого) равна половине произведения диагоналей на синус угла между ними. Диагонали данного четырехугольника являются взаимно перпендикулярными диагоналями квадратов со стороной 4. Поэтому длины диагоналей равны 4 √ 2, а синус угла между ними равен 1. Тем самым, площадь данного четырехугольника равна 16. 4√

Задания открытого банка задач25. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 16. 1 см Решение: (2 способ) L = 15 (красные точки), B = 4 (синие точки), тогда по теореме Пика S = L + B/2 – 1 S = 15 + 4/2 – 1 =

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 19, 5. 1 см Решение: (1 способ) 9 9 5 45 3 5 46 кв. SS. , , 51916512181581 1ΔS 2ΔS 99 S 65 2 1 49 2 1 3ΔS 55 2 1 4 2 53 . трап. S

Задания открытого банка задач26. Найдите площадь четырехугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см× 1 см. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Ответ: 19, 5. 1 см Решение: (2 способ) L = 16 (красные точки), B = 9 (синие точки), тогда по теореме Пика S = L + B/2 – 1 S = 16 + 9/2 – 1 = 19,