Решение задач С — 4 Уровень сложности повышенный

Решение задач С - 4 Уровень сложности повышенный

Геометрия на едином государственном экзамене. l l Какие задачи из элементарной математики считаются самими трудными? Наверно, большинство учителей, учеников и их родителей ответит: геометрические. Почему? Потому что в алгебре, тригонометрии, началах математического анализа разработана целая серия алгоритмов решения типовых задач. А потому трудности чаще всего носят технический, а не принципиальный характер. Иное дело геометрические задачи. Здесь, как правило, алгоритмов нет, да и выбрать наиболее подходящую к данному случаю теорему из их обширного списка не просто. Всё выше сказанное нашло отражение как в зеркале в результатах ЕГЭ 2012 года.

Средние результаты 2012 года выполнение заданий С 1 -С 6 С-1 С-2 С-3 С-4 С-5 С-6 41, 08 71, 21 62, 19 86, 56 89, 06 87, 96 27, 82 23, 26 26, 26 11, 45 6, 16 7, 96 13, 53 2, 54 7, 88 0, 57 3, 18 3, 42 17, 58 2, 99 1, 27 1, 12 0, 48 0, 49 3 балла (%) - - 2, 39 0, 3 0, 52 0, 07 4 балла (%) - - 0, 8 0, 09 Положительный результат 31, 11 5, 53 11, 54 1, 99 4, 78 4, 08 Не приступали (%) Приступали, но получили о баллов (%) 1 балл (%) 2 балла (%)

Выяснение причин не успеха при решении геометрических задач ЕГЭ l l Во- первых, все геометрические задачи в вариантах КИМ вычислительные, поэтому для их успешного решения должен быть отработан аппарат стандартных вычислений. Во- вторых, несмотря на то, что задачи вычислительные, для их решения важно твердое владение теоретическим материалом. В- третьих, для успешного решения предложенных задач нужно уметь выделять стандартные конфигурации и применять несколько изученных свойств, относящихся к разным разделам курса геометрии. В- четвертых, «ключевым моментом » решения геометрических задач повышенного уровня сложности является использование определения или свойства фигуры в несколько измененной ситуации, что требует от учащихся гибкого мышления.

В связи с этим необходимо решить следующие проблемы в преподавании геометрии: l l Обеспечить усвоение учащимся базовых знаний, формирование у них умений применять эти знания в стандартной ситуации; Сформировать системные знания о геометрических фигурах, которые изучаются в школьном курсе; Обеспечить знакомство с достаточно широким спектром ситуаций применения геометрических фактов; Развивать гибкость мышления, способность анализировать предлагаемую конфигурацию и вычленять в ней части, рассмотрение которых позволяет найти путь решения задачи.

Характерная особенность задач С-4 из вариантов ЕГЭ 2010 -2012 г. г. l В отличии от практики ЕГЭ прошлых лет и подавляющего большинства задач школьного учебника эти задачи содержат в условии некоторую неопределенность, которая позволяет трактовать условие неоднозначно. В результате удается построить несколько чертежей, удовлетворяющих условию задачи. Поэтому подобные задачи называют многовариантными. Перебор вариантов является частью решения задач такого типа. Перебор, может сократится за счет дополнительной информации, указанной в условии задачи.

Задача С 4 ЕГЭ по математике 2012 г. l Дан треугольник АВС, в котором AB=7, АС=9 и ВС=10. Окружность проходит через точки В и С и пересекает лучи АВ и АС в точках М и Н соответственно. Найти МН, если в ВМНС можно вписать окружность.

Решение Найдем косинус угла А в треугольнике АВС по теореме косинусов: . Применим свойство отрезков секущей (случай их внешнего пересечения) для секущих АВ и АС. Имеем равенство Пусть AM=x, тогда

Выразим длину отрезка MH через икс по теореме косинусов в треугольнике АМН:

l Применим критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Так в BMHC можно вписать окружность, то l И, наконец,

Второй случай

Возможно принципиально иное расположение точек M и N. l l В условии задачи С 4 сказано, что окружность пересекает прямые АВ и АС, поэтому нельзя исключать случай расположения точек пересечения с продолжениями сторон. Обе точки M и N (очевидно) не могут располагаться вне отрезков (иначе вписанная в окружность не сможет коснуться отрезка MN. Поэтому одна из точек лежит на стороне, а другая на ее продолжении. Пусть Тогда по свойству отрезков хорд имеем Из этого равенства следует, что Так как они описаны около одной окружности, то их коэффициент подобия будет равен 1, поэтому эти треугольники равны, а следовательно MN=BC=10

l l Пусть Проводя те же рассуждения, как и в первом случае, можно заключить, что AN=AB=7, а поэтому 7 > 9. Это невозможно, а значит данный случай исключается. Окончательный ответ: или Удалось задействовать сразу три мощных теоремы планиметрии: свойство отрезков секущих, теорема косинусов (применялась дважды) и критерий существования окружности, вписанной в четырехугольник. Кроме проверялось умение выражать с их помощью отдельные элементы рисунка и использовать полученные выражения при составления финального уравнения.

Опорный справочник для решения планиметрических задач

Свойства медиан в треугольнике: l 1) Все медианы пересекаются в одной точке и делятся в этой точке в отношении 2: 1, считая от вершин. l 2) Каждая медиана делит треугольник на две равновеликие части (с равными площадями) l 3) Все медианы треугольника делят его на 6 равновеликих треугольников

Свойства биссектрис в треугольнике: l 1) Все биссектрисы пересекаются в одной точке (центр вписанной окружности) l Каждая биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные к прилежащим сторонам.

Свойство серединных перпендикуляров к сторонам треугольника: l l l 1) Все серединные перпендикуляры в треугольнике пересекаются в одной точке – центре описанной окружности 2) Каждая точка серединного перпендикуляра, проведенного к стороне треугольника равноудалена от ее концов. 3) На рисунке луч BP – биссектриса угла ABC

Для доказательства подобия треугольников можно использовать следующие признаки: По двум углам: если два угла одного треугольника равны соответственно двум углам другого, то треугольники подобны По двум пропорциональным сторонам и углу между ними: если две стороны одного треугольника соответственно пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы, образованные этими сторонами равны, сторонам другого, то треугольники подобны. По трем сторонам: если три стороны одного треугольника соответственно пропорциональны трем сто

Спасибо за внимание