Решение задач по теме Сечение многогранников РТ г

Решение задач по теме: «Сечение многогранников» РТ г. Казань Московский район УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ: ВЫСШЕЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 20 СУББОТИНА Л. Н. ; ПЕРВОЙ КАТЕГОРИИ ШКОЛЫ № 99 АХМЕТЗЯНОВА А. С.

Являются ли закрашенные фигуры сечениями изображенных на рисунках треугольных и четырехугольных пирамид плоскостями PQR

Сечение куба плоскостью 1. Могут ли куб Ф и плоскость α иметь: а) только одну общую точку; б) Только две общие точки; в) только один общий отрезок; г) не иметь ни одной общей точки? 2. Сколько сторон может иметь многоугольник, полученный при пересечении куба плоскостью? 3. Какие виды четырехугольника могут получиться при пересечении куба плоскостью?

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B 1 (MNL)=α; Точки M, L лежат в A 1 одной плоскости. M α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; A N C 1 D 1 B C L D

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B 1 N C 1 X 1 (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; A 1 M A D 1 B L C D

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B 1 (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; α ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = KN; X 1 K A 1 M A N C 1 D 1 B L C D

1 Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L B 1 (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; α ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = KN; α ∩ (AA 1 B 1 B) = MK; ML ∩ (DD 1 C 1 C) = = ML ∩ DD 1 = X 2; N C 1 X 1 K A 1 M A D 1 B L C D X 2

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; α ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = KN; α ∩ (AA 1 B 1 B) = MK; ML ∩ (DD 1 C 1 C) = = ML ∩ DD 1 = X 2; KN ∩ (DD 1 C 1 C) = = KN ∩ D 1 C 1 = X 3; K B 1 X 3 N X 1 C 1 A 1 M A D 1 B L C D X 2

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; α ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = =KN; α ∩ (AA 1 B 1 B) = MK; ML ∩ (DD 1 C 1 C) = = ML ∩ DD 1 = X 2; KN ∩ (DD 1 C 1 C) = = KN ∩ D 1 C 1 = X 3; α ∩ (DD 1 C 1 C) =TP; B 1 N X 1 K C 1 A 1 M A X 3 T D 1 B C L D P X 2

Построить сечение куба, проходящее через точки М, N, L ПОСТРОЕНИЕ: (MNL)=α; Точки M, L лежат в одной плоскости. α ∩ (AA 1 DD 1) = ML; ML ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = = ML ∩ A 1 D 1 = X 1; α ∩ (A 1 B 1 D 1 D 1) = KN; α ∩ (AA 1 B 1 B) = MK; ML ∩ (DD 1 C 1 C) = = ML ∩ DD 1 = X 2; KN ∩ (DD 1 C 1 C) = = KN ∩ D 1 C 1 = X 3; α ∩ (DD 1 C 1 C) =TP; α ∩ (ABCD) =LP; α ∩ (BB 1 C 1 C) =NT; LMKNTP-искомое сечение MK║ TP, KN ║ LP, NT ║ ML. K B 1 N C 1 X 1 A 1 M A X 3 T D 1 B C L D P X 2

Задача 1 1. 2. Построить сечение через заданные точки Получим вспомогательные точки Х 1 и Х 2. Соединив точки Х 1 и Х 2, B 1 A 1 D 1 получим точки Х 3 и Х 4. 3. Строим отрезки АХ 3 и СХ 4 Р Х 2 B (пунктиром). 4. Получим сечение NMPX 4 X 3 C 1 M A N Х 4 Х 3 D Х 1 C

Задача 2 Построить сечение через заданные точки X 1 X 4 B 1 AD 1∩MP =X 2; MK∩А 1 В 1=X 1; A 1 K X 1 X 2∩C 1 D 1=X 3; X 1 X 2∩B 1 C 1=X 3; B M MPX 3 X 4 Kискомое A сечение C 1 X 3 D 1 P X 2 C D

Задача 4 Построить сечение через заданные точки HT ∩ DD 1 = X 1; X 1 K ∩ AD = X 2; A 1 X 2 K ∩ AА 1=X 3; X 2 H∩AВ=X 4; X 3 HTKX 3 X 4 – искомое сечение X 4 X 2 A X 1 B 1 C 1 K T D 1 B C H D

1 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, S, F Точки M, F лежат в одной плоскости. MF ∩ DD 1 = X 1; Теперь точки X 1, S A 1 лежат в одной плоскости. Соединяем их, получим: X 1 S ∩ D 1 C 1= X 2; Точки M, S так же A лежат в одной плоскости. Получим сечение MSX 2 F X 1 B 1 C 1 F D 1 X 2 B C S D M

2 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки R, E, G RE ∩ DD 1= X 1; X 1 G ∩ D 1 C 1= X 2; X 1 G ∩ DC= X 3; A 1 X 3 R ∩ BC= X 4; ERX 4 GX 2 – искомое сечение A X 1 B 1 C 1 E X 2 D 1 B R G X 4 C D X 3

3 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки М, V, К MV ∩ B 1 C 1= X 1; Х 1 B 1 X 1 K ∩ A 1 B 1= X 2 M = X 2 ; A 1 K KX 3║MV; KX 3 ∩ AD= X 4; B DC ∩ VX 4 = X 5; VMX 2 KX 3 X 5 – искомое A сечение ответ C 1 D 1 V X 3 C X 5 D X 4

4 Построить сечение параллелепипеда, проходящее через точки F, S, W 1. Точки F и S в одной плоскости DD 1 С 1 C. 2. Прямая FS пересекается с A 1 прямой DC в точке Х 1. 3. Точки W и Х 1 лежат в одной плоскости X 3 АВСD. 4. Прямая WХ 1 пересекается с прямой AD в точке A Х 2, с прямой ВС - Х 3. 5. Получим сечение FSX 2 W X 4 B 1 C 1 D 1 F X 4 B S W D X 2 X 1 C

В кубе АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 проведены диагонали так, как показано на рисунке. Докажите: а) В 1 СD 1 Атетраэдр; б) найдите поверхность тетраэдра, если ребро равно a. ответ D 1 C 1 B 1 A 1 D A C B

Задачи для индивидуальной работы: 1. Установите вид сечения куба плоскостью α : а) найдите периметр сечения, если ребро куба равно 2 см; б) найдите площадь сечения, если диагональ грани куба равна 5 см ; в) докажите.

Задачи для индивидуальной работы:

Контрольная работа по теме: «Сечения многогранников»