РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА Е. Зудина г. Москва Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 1 Проверяемые умения Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для решения требуется ü Внимательно читать условие и аккуратно вычислять, тем самым укрепляя необходимую базу для решения более сложных задач (В 13). Невнимательное чтение условия задачи и неверные вычисления приводят к возникновению ошибок. Журнал «Математика» № 1/2012
1. Сумка стоит 1450 рублей. Во время распродажи скидка на все товары составляет 20%. Сколько рублей стоит сумка во время распродажи? Решение. Найдем, чему равны 20% от 1450 рублей: р. Цена понизилась на 290 рублей. Новая цена равна: 1450 – 290 = 1160 р. Ответ: 1160. Журнал «Математика» № 1/2012
2. 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 рубля 30 копеек. Счетчик электроэнергии 1 октября показывал 12 625 киловатт-часов, а 1 ноября – 12 801 киловатт-часа. Сколько рублей нужно заплатить за электроэнергию в октябре? Решение. Найдем, сколько электроэнергии было использовано за октябрь: 12801 – 12625 = 176 к. Вт. ч. Так как 1 киловатт-час электроэнергии стоит 3 р. 30 к. , то заплатить нужно 3, 3 · 176 = 580, 8 р. Ответ: 580, 8. Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 3 Проверяемые умения Уметь интерпретировать графики, извлекать из них простейшую числовую информацию и делать необходимые выводы. Для решения требуется ü Уметь делать простейшие выводы на основании графика функциональной зависимости. ü Уметь соотносить текстовое описание реального процесса с графиком динамической числовой характеристики этого процесса. ü Уметь извлекать из графика качественную количественную информацию о процессе. и Журнал «Математика» № 1/2012
1. На диаграмме показано количество людей, побывавших в космосе в течение каждого года с 1961 по 1982 год. По горизонтали указываются годы, по вертикали – количество людей, побывавших в космосе в данном году. Определите по диаграмме, сколько было таких лет, когда в космосе побывало ровно 6 человек. Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Найдем на вертикальной оси число 6 и проведем горизонтальную прямую. Она «касается» четырех столбиков: 1972, 1974, 1976 и 1977 годы. Ответ: 4. Журнал «Математика» № 1/2012
2. На графике показано изменение давления в паровой турбине после запуска. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – давление в атмосферах. Когда давление достигает определённого значения, открывается клапан, выпускающий часть пара, и давление падает. Затем клапан закрывается, и давление снова растет. Определите по графику, сколько минут прошло между первым и вторым открытием клапана Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Первый раз клапан открылся через 4 мин. после запуска. Давление стало падать, пар уже не так сильно давил на клапан, и он закрылся. Давление снова стало расти и через 10 мин. после запуска вновь достигло критического давления в 5 атмосфер. Клапан открылся во второй раз. Эти моменты отметим на графике. Между первым и вторым открытием клапана прошло 10 – 4 = 6 мин. Ответ: 6. Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 4 Проверяемые умения Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для решения требуется ü Уметь применять математические методы для решения задач из различных областей науки и практики. ü Уметь выполнять преобразования включающих арифметические операции. выражений, ü Уметь сравнивать числа и делать обоснованный выбор. Журнал «Математика» № 1/2012
1. Для транспортировки 40 тонн груза на 1300 км можно воспользоваться услугами одной из трех транспортных компаний. Стоимость перевозки и грузоподъемность автомобилей для каждой компании указаны в таблице. Сколько рублей придется заплатить за самую дешевую перевозку груза? Компанияперевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. за каждые 100 км) Грузоподъемность одного автомобиля (тонн) А 3200 3, 5 Б 4100 5 В 9500 12 Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Вычислим число поездок для перевозки 40 тонн. Для этого разделим массу груза на грузоподъёмность каждого автомобиля и округлим полученный результат с избытком. Например, . Округлив, получим 4 поездки. Компанияперевозчик Стоимость перевозки одним автомобилем (р. за каждые 100 км) Грузоподъемность одного автомобиля (тонн) А 3200 3, 5 Б 4100 5 В 9500 12 Журнал «Математика» № 1/2012
Расчёты можно разместить в таблице: Компанияперевозчик А Б В Стоимость перевозки (р. за каждые 100 км) 3200 4100 9500 3200 · 13 = = 41 600 4100 · 13 = = 53 300 9500 · 13 = = 123 500 Грузоподъемность автомобиля (тонн) 3, 5 5 12 Число поездок 12 8 4 12 · 41 600 = = 499 200 8 · 53 300 = = 426 400 4 · 123 500 = = 494 000 Стоимость одной поездки Стоимость всей перевозки Заказ получается перевозчика Б. дешевле всего, если выбрать Ответ: 426 400. Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 12 Проверяемые умения Уметь использовать приобретенные знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Для решения требуется ü Уметь применять математические методы для решения содержательных задач из различных областей науки и практики. ü Уметь интерпретировать результат и учитывать реальные ограничения. Журнал «Математика» № 1/2012
1. Если быстро вращать ведро с водой на верёвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведра сила давления воды на дно не остаётся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила её давления на дно будет положительной во всех точках траектории, кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в Ньютонах, равна , где m – масса воды (кг), v – скорость движения ведра (м/с), g – ускорение свободного падения (считайте g = 10 м/с2), L – длина веревки (м). С какой минимальной скоростью надо вращать ведро, чтобы вода не выливалась, если длина веревки равна 0, 784 м? Ответ выразите в м/с. Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Задача сводится к решению неравенства P(v) ≥ 0. Подставим в формулу давления данные задачи: тогда необходимо решить неравенство Учитывая, что m > 0, получим: откуда Учитывая, что v > 0, получим: v ≥ 2, 8 м/с. Ответ: 2, 8. Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 6 Проверяемые умения Уметь строить и исследовать простейшие математические модели. Для решения требуется ü Знать основные понятия теории вероятностей и статистики. ü Уметь проводить доказательные рассуждения при решении задач. Журнал «Математика» № 1/2012
1. Игральную кость (кубик) бросили один раз. Какова вероятность того, что выпало не менее 4 очков? Решение. Вероятность события А, связанного с опытом с равновероятностными исходами, вычисляется по формуле Возможны шесть исходов, то есть n = 6. Благоприятствуют событию А = {выпало не менее 4 очков} три исхода, т. е. k = 3. Следовательно, Ответ: 0, 5. Журнал «Математика» № 1/2012
2. В случайном эксперименте симметричную монету бросают дважды. Найти вероятность того, что оба раза выпадает орел? Решение. Возможны четыре исхода: Броски Исходы Исход 1 Исход 2 Исход 3 Исход 4 Первый бросок Второй бросок Таким образом, n = 4. Благоприятствует событию А = {оба раза выпал орел} исход 3, т. е. k = 1. Следовательно, Ответ: 0, 25. Журнал «Математика» № 1/2012
Задача В 9 Проверяемые умения Уметь выполнять действия с функциями. Для решения требуется ü Знать геометрический смысл производной. ü Знать уравнение касательной к графику функции. ü Знать производные основных элементарных функций. ü Уметь читать график производной функции. ü Уметь применять производную для исследования функции. Журнал «Математика» № 1/2012
1. На рисунке изображен график функции y = f(x). Касательная к этому графику, проведенная в точке – 4, проходит через начало координат. Найдите f '(– 4). Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Построим касательную, которая проходит через начало координат и указанную точку А с абсциссой x 0 = – 4. Значение производной функции f(x) в точке равно угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в данной точке. Если уравнение прямой имеет вид y = kx + b, то f '(x 0) = k. O(0; 0) A(– 4; – 2) Журнал «Математика» № 1/2012
Найдём угловой коэффициент прямой y = kx + b, проходящей через точки А(– 4; – 2) и О(0; 0), составив систему: Следовательно, f '(– 4) = 0, 5. Ответ: 0, 5. Журнал «Математика» № 1/2012
2. На рисунке изображен график производной функции f(x), определённой на интервале (– 6; 3). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = – 2 x + 17 или совпадает с ней. Журнал «Математика» № 1/2012
Решение. Если касательная к графику функции параллельна прямой y = – 2 x + 17 или совпадает с ней, то значение производной в точке касания равно – 2, так как f '(x 0) = k. Найдем искомую абсциссу. Для этого проведем горизонтальную прямую y = – 2. М – точка пересечения этой прямой с графиком производной. Абсцисса точки М равна – 3 – искомая абсцисса точки касания. – 3 M – 2 y = – 2 Ответ: – 3. Журнал «Математика» № 1/2012
Скачать презентацию РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ АЛГЕБРА И НАЧАЛА АНАЛИЗА Е Зудина
02d94dd9d9a92413c451daf3d2fa9ac1.ppt