Решение уравнений в целых числах
Способы решения уравнений в целых числах. n n n Способ перебора вариантов Алгоритм Евклида Метод разложения на множители Метод бесконечного спуска Метод остатков Цепные дроби
Способ перебора вариантов n n n Описание метода. Примеры возможный задания. Задачи для самостоятельного решения.
n Рассматривая способ перебора вариантов, необходимо учитывать количество возможных решений уравнения. Целесообразно использовать задачи, у которых количество решений не превышает 5
n n n mn+28=11 m mn+48=4 m mn+35=7 m mn+14=3 m mn+42=8 m Задача 1. Допустим, в аквариуме живут осьминоги и морские звёзды. У осьминогов по 8 ног, а у морских звёзд – по 5. Всего конечностей насчитывается 39. Сколько в аквариуме животных?
Задача № 1 n Андрей работает летом в кафе. За каждый час ему платят 10 р. и высчитывают 2 р. за каждую разбитую тарелку. На прошедшей неделе он заработал 180 р. Определите, сколько часов он работал и сколько разбил тарелок, если известно, что он работает не более 3 ч в день. Задача № 2 n Из двухрублевых и пятирублевых монет составлена сумма в 23 рубля. Сколько среди этих монет двухрублевых? Задача № 3(Демонстрационный вариант ЕГЭ 2010) n Решите уравнения в натуральных числах mn+25 = 4 m Задача № 4. n Для решения задачи нужно решить диофантово уравнение 3 х+5 у=1001, где x и у – натуральные корни.
n n n n Решение. Пусть x часов он всего работал в неделю, тогда 10 х р. ему заплатили, но он разбил у тарелок, и с него вычли 2 у р. Имеем уравнение 10 х – 2 у =180, причем x меньше или равен 21. Получим: 5 х-у=90, 5 х=90+у, х=18+у: 5. Так как x целое число, то у должно нацело делится на 5, чтобы в правой части получилось целое число. Возможны четыре случая: у=0, х=18, т. е. решением является пара – (18, 0); у=5, х=19, (19, 5); у=10, х=20, (20, 10); у=15, х=21, (21, 15).
n n n n Решение. Пусть x – количество двухрублевых монет, у – количество пятирублевых монет. Составим и решим уравнение: 2 х+5 у=23; 2 х=23– 5 у; x = (23 – 5 у): 2; x =(22+1 – 5 у): 2, почленно поделим 22 на 2 и (1 – 5 у) на 2, получим: x = 11 + (1 – 5 у): 2. Так как x и y натуральные числа по условию задачи, то левая часть уравнения есть натуральное число, значит, и правая часть должна быть натуральным числом. К тому же, чтобы получить в правой части число натуральное, нужно чтобы выражение (1 – 5 у) нацело делилось на 2. Осуществим перебор вариантов. y=1, х=9, то есть двухрублевых монет может быть 9; у=2, при этом выражение (1 – 5 у) не делится нацело на 2; у=3, х=4, то есть двухрублевых монет может быть 4; при у больше или равном 4 значение x не является числом натуральным. Таким образом, ответ в задаче следующий: среди монет 9 или 4 двухрублевых.
n n n n Решение. Выразим m через n. m= n=1, m= ; m- не является натуральным числом n=2, m= ; m- не является натуральным числом n=3, m= = 25 Таким образом, ответ в задаче следующий: n=3; m=25
n Решение. n x = (1001 – 5 у): 3; так как x – натуральное число, то и в n n n правой части равенства также должно быть натуральное число, а значит выражение (1001 – 5 у) должно нацело делиться на 3. Осуществим перебор вариантов. у=1, 1001 – 5 у=1001 -5= 996, 996 делится на 3, следовательно, х=332; решение (332; 1); у=2, 1001– 10=991, 991 не делится на 3; у=3, 1001 – 15 = 986; 986 не делится на 3; у =4, 1001 – 20 = 981, 981 делится на 3, следовательно, x = 327, решение (327; 4) и т. д. Замечание. В данной задаче решением является 67 пар возможных корней, поэтому, способ перебора вариантов не совсем эффективен для решения данной задачи, так как для нахождения всех решений уравнения требуются значительные временные затраты. Все вышесказанное определяет актуальность рассмотрения других способов решения диофантовых уравнений первой степени.
Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах: 1) 2) - 4 =13 n
Алгоритм Евклида n n n Описание алгоритма Примеры возможных заданий Задачи для самостоятельного решения.
2 x + 7 y = 20; 6 x - 27 y = 21; n n 11 x + 99 y = 41. 5 х - 8 у = 19 27 х – 40 y = 1; 54 x + 37 y = 7; 107 x + 84 y =1; 81 x + 52 y = 5; 13 x – 15 y =7; 24 x – 56 y = 72; 127 x - 52 y + 1 = 0; 6 x + 10 y - 7 z = 11. n n n n к)На какое наименьшее число надо умножить 7, чтобы произведение оканчивалось на 123. л)Найти все четырёхзначные простые числа, начинающиеся и оканчивающиеся цифрой 1. м)Кусок проволоки длиной 102 см нужно разрезать на части длиной 15 см и 12 см, так чтобы была использована вся проволока. Как это сделать?
n n n n n Можно найти НОД натуральных чисел a и b, не раскладывая эти числа на простые множители, а применяя процесс деления с остатком. Для этого надо разделить большее из этих чисел на меньшее, потом меньшее из чисел на остаток при первом делении, затем остаток при первом делении на остаток при втором делении и вести этот процесс до тех пор, пока не произойдет деление без остатка. Последний отличный от нуля остаток и есть искомый НОД ( a, b). Чтобы доказать это утверждение, представим описанный процесс в виде следующей цепочки равенств: если a>b, то a = bq 0 + r 1 b = r 1 q 1 + r 2 r 1 = r 2 q 2 + r 3 (1). . . rn – 1 = rnqn Затем r 1, . . . , rn - положительные остатки, убывающие с возрастанием номера. Из первого равенства следует, что общий делитель чисел a и b делит r 1 и общий делитель b и r 1 делит a, поэтому НОД (a, b) = НОД (b, r 1) = НОД (r 1, r 2) = … = НОД (rn -1, rn)= НОД (rn, 0) = rn. Утверждение доказано. Приведённый способ нахождения НОД носит название метода последовательного деления с остатком или алгоритма Евклида, поскольку впервые он был изложен в его «Началах» . Обратимся к системе (1). Из первого равенства, выразив остаток r 1 через a и b, получим r 1 = a – bq 0. Продолжая этот процесс, мы можем выразить все остатки через a и b, получим r 1 = a – bq 0. Подставляя его во второе равенство, найдём r 2 = b(1 + q 0 q 1) – aq 1. Продолжая этот процесс дальше, мы сможем выразить все остатки через a и b, в том числе и последний: rn = Aa + Bb. В результате нами доказано предложение: если d – наибольший общий делитель натуральных чисел a и b, то найдутся такие целые числа A и B, что d = Aa + Bb. Заметим, что коэффициенты A и B имеют разные знаки; если НОД (a, b) = 1, то Aa + Bb = 1. Как найти числа A и B, видно из алгоритма Евклида. Перейдем теперь к решению линейного уравнения с двумя неизвестными. Оно имеет вид: ax + by = c (2) Возможны два случая: либо число c делится на d = НОД(a, b), либо нет. В первом случае можно разделить обе части уравнения на d и свести задачу к решению в целых числах уравнения a 1 x = b 1 y = c 1, коэффициенты которого a 1 = a/d и b 1 = b/d взаимно просты. Во втором случае уравнение не имеет целочисленных решений: при любых целых x и y число ax + by делиться на d и поэтому не может равняться числу c, которое на d не делится. Итак, мы можем ограничиться случаем, когда в уравнении (2) коэффициенты a и b взаимно просты. На основании предыдущего предложения найдутся такие целые числа х0 и у0, что ax 0 + by 0 = 1, откуда пара (сх0, су0) удовлетворяет уравнению (2). Вместе с ней уравнению (2) удовлетворяет бесконечное множество пар (х, у) целых чисел, которые можно найти по формулам: х = сх0 + bt, y = cy 0 – at. (3) Здесь t – любое число. Нетрудно показать, что других целочисленных решений уравнение ах + by = c не имеет. Решение, записанное в виде (3), называется общим решением уравнения (2). Подставив вместо t конкретное целое число, получим его частное решение.
Задача 1. Решить уравнение в целых числах 7 x + 12 y = 43. Задача 2. n Найти неотрицательные целочисленные решения уравнения 2 x + 5 y = 17. Задача 3. Решить уравнение в целых числах 407 х – 2816 y = 33.
n n n n Решение. Включаем алгоритм Евклида: 12 = 7· 1 + 5 7 = 5· 1 + 2 5 = 2· 2 + 1 2 = 1· 2 Значит, наибольший общий делитель чисел 7 и 12 равен 1 , а его линейное выражение таково: 1 = 5 - 2· 2 = 5 - (7 - 5) · 2 = (12 - 7) - (7 - (12 - 7) · 2) = 12· 3 + 7· (- 5), т. е. u = - 5, v = 3. Частное решение: x 0 = uc = (- 5) · 43 = - 215 y 0 = vc = 3 · 43 = 129. Итак, x = -215 - 12 t y = 129 + 7 t
n n n n Найти неотрицательные целочисленные решения уравнения 2 x + 5 y = 17. Решение. Применив к числам 2 и 5 алгоритм Евклида, получим 2 · 3 – 5 = 1. Значит, пара сх0 = 3 · 17, су0 = - 1 · 17 удовлетворяет уравнению 2 х + 5 у = 17. Поэтому общее решение исходного уравнения таково: x = 51 + 5 t, у = - 17 – 2 t, где t принимает любые целые значения. Очевидно, неотрицательные решения отвечают тем t, для которых выполняются неравенства 51 + 5 t 0 - 17 - 2 t 0 Отсюда найдём – 51/5 t - 17/2. Этим неравенством удовлетворяют числа - 10, - 9. Соответствующие частные решения запишутся в виде пар: (1, 3), (6, 1).
n n n n n Воспользуемся составленным алгоритмом. Используя алгоритм Евклида, найдем наибольший общий делитель чисел 407 и 2816: 2816 = 407· 6 + 374; 407 = 374· 1 + 33; 374 = 33· 11 + 11; 33 = 11· 3 Следовательно (407, 2816) = 11, причем 33 делится на 11 Разделим обе части первоначального уравнения на 11, получим уравнение 37 х – 256 y = 3, причем (37, 256) = 1 С помощью алгоритма Евклида найдем линейное представление числа 1 через числа 37 и 256. 256 = 37· 6 + 34; 37 = 34· 1 + 3; 34 = 3· 11 + 1 Выразим 1 из последнего равенства, затем последовательно поднимаясь по равенствам будем выражать 3; 34 и полученные выражения подставим в выражение для 1. 1 = 34 – 3· 11 = 34 – (37 – 34· 1) · 11 = 34· 12 – 37· 11 = (256 – 37· 6) · 12 – 37· 11 = – 83· 37 – 256·(– 12) Таким образом, 37·(– 83) – 256·(– 12) = 1, следовательно пара чисел х0 = – 83 и у0 = – 12 есть решение уравнения 37 х – 256 y = 3. Запишем общую формулу решений первоначального уравнения где t- любое число.
Метод бесконечного спуска. n n n Описание метода. Примеры возможных заданий. Задачи для самостоятельного решения.
n n Решение уравнений методом бесконечного спуска проходит по следующей схеме: предположив, что уравнение имеет решения, мы строим некоторый бесконечный процесс, в то время, как по самому смыслу задачи этот процесс должен на чём–то кончаться. Часто метод бесконечного спуска применяется в более простой форме. Предположив, что мы уже добрались до естественного конца, видим, что «остановиться» не можем.
Задача 1. n Решить в целых числах x³ - 3 y³ - 9 z³ = 0 Задача 2. n x 2+ y 2 + z 2 + t 2 = 2 xyzt. n Задача 3.
n n n n Решение. Пусть x, y, z, t — решение. Так как x 2 + y 2 + z 2 + t 2 — чётное число, то среди чисел x, y, z, t — чётное число нечётных, то есть либо четыре, либо два, либо нуль. Если все числа нечётные, то x 2 + y 2 + z 2 + t 2 делится на 4, а 2 xyzt не делится. Если же только два нечётных числа, то x 2 + y 2 + z 2 + t 2 не делится на 4, a 2 xyzt делится. Поэтому все числа чётные, то есть x = x 1, y = y 1, z = z 1, t = t 1. Подставив эти значения в уравнение, получаем x 12 + y 12 + z 12 + t 12 = 8 x 1 y 1 z 1 t 1. Как и прежде, видим, что все четыре числа нечётными быть не могут, иначе x 12 + y 12 + z 12 + t 12 не делится на 8. Также не могут быть нечётными ровно два числа, ибо и тогда x 12 + y 12 + z 12 + t 12 не делится на 8. Итак, мы получаем, что все числа чётные, то есть x 1 = 2 x 2, y 1 = 2 y 2, z 1=2 z 2, t 1=2 t 2. Поэтому x 22 + y 22 + z 22 + t 22 = 32 x 2 y 2 z 2 t 2. Рассуждая как и раньше, получаем, что x 2, y 2, z 2, t 2 — чётные числа и так далее. Легко понять, что при всяком натуральном s xs 2 + ys 2 + zs 2 + ts 2 = 22 s+1 xs ys zs ts, причём xk = 2 xk+1, yk = 2 yk+1, zk = 2 zk+1, tk = 2 tk+1, k ≥ 1. То есть при любом натуральном s числа x 2 s , y 2 s , z 2 s , t 2 s — целые. Ну, а это невозможно ни при каких натуральных x, y, z, t.
n n n А вот уравнение, у которого бесконечно много решений, но которое исследуется тем же методом. Задача 2. Найти все решения в натуральных числах уравнения x 2 – 2 y 2 = 1. Решение. Очевидно, что x 1 = 3, y 1 = 2 — решение данного уравнения. Докажем, что если пара (x, y) — решение, то пара (3 x + 4 y, 2 x + 3 y) — тоже решение. Это следует из тождества (3 x + 4 y)2 – 2(2 x + 3 y)2 = x 2 – 2 y 2. Таким образом, x 2 = 3· 3 + 4· 2 = 17; y 2 = 2· 3 + 3· 2 = 12; x 3 = 99, y 3 = 70, и так далее. Мы указали бесконечную последовательность решений (x 1, y 1), (x 2, y 2), . . . Докажем теперь, что других чисел, удовлетворяющих уравнению, нет. Пусть (x, y) — некоторое решение. В таком случае (3 x – 4 y, 3 y – 2 x) — также решение, ибо (3 x – 4 y)2 – 2(3 y – 2 x)2 = x 2 – 2 y 2. Из условия 9 = 9 x 2 – 18 y 2 > – 2 y 2 следует, что 3 x > 4 y; а при y > 2 из условия 4 = 4 x 2 – 8 y 2 < y 2 следует, что 3 y > 2 x. То есть при y > 2 мы из решения (x, y) получаем решение (x(1), y(1)) в натуральных числах, причем x(1) < x, y(1) < y. Так как этот процесс не может продолжаться бесконечно (в любом непустом множестве натуральных чисел есть наименьший элемент!), то когда-нибудь мы получим решение (x(n), y(n)), где y(n) ≤ 2. Так как y(n), очевидно, не может равняться 1, то y(n) = 2. Значит, x(n) = 3. А это и означает, что числа x и y принадлежат построенной ранее последовательности.
n n n n n Решение. Видно, что левая часть уравнения (11) не поддаётся никаким преобразованиям. Поэтому исследуя характер целых чисел x³=3(y³-z³). Число x³ кратно 3, значит и число х кратно 3, т. е. х = 3 х1 (12) Подставим (12) в (11) 27 х1³-3 у³-9 z³=0, 9 x 1³-y³-3 z³=0 (13) y³=3(3 x 1³-z³). Тогда у³ кратно 3, значит и у кратно 3, т. е. у=3 у1 (14). Подставим (14) в (13) 9 х1³ -27 у1³ - 3 z³=0. Из этого уравнения следует, что z³ кратно 3, а значит и z кратно 3, т. е. z=3 z 1. Итак, оказалось, что числа, удовлетворяющие уравнению (11), кратны трём, и сколько раз мы не делили бы их на 3, получаем числа, кратные трём. Единственное целое число, удовлетворяющее этому условию, будет нуль, т. е. решение данного уравнения (0; 0) Задача 2. Доказать неразрешимость в натуральных числах уравнения 8 x 4 + 4 y 4 + 2 z 4 = t 4. Решение. Допустим, что решения есть, и x = m, y = n, z = p, t = r — решение с наименьшим возможным x. Из уравнения видно, что r — чётное число, r = 2 r 1. Подставляя это решение в уравнение и поделим на 2, получаем 4 m 4 + 2 n 4 + p 4 = 8 r 14. Теперь ясно, что p — чётное, p = 2 p 1, следовательно, 2 m 4 + n 4 + 8 p 14 = 4 r 14. Далее действуем так же: n = 2 n 1, m 4 + 8 n 14 + 4 p 14 = 2 r 14. Наконец, m = 2 m 1, 8 m 14 + 4 n 14 + 2 p 14 = r 14. Таким образом, x = m 1, y = n 1, z = p 1, t = r 1 — решение нашего уравнения. Но ведь m 1 < m! Мы получили противоречие с выбором решения m, n, r, p как «наименьшего» . 0; 0).
Метод остатков n n n Описания метода. Примеры возможных заданий. Задачи для самостоятельного обучения.
Этот метод основан на исследовании возможных остатков левой и правой частей уравнения от деления на некоторое фиксированное натуральное число. n Замечание. Говоря строго математическим языком, для решения уравнения в данном случае применяется теория сравнений. n
n n n Задача № 1. Решить уравнение: =3 +2 Пример № 2. Решить уравнение: = +7 Пример № 3. Решите в целых числах 3ª = 1 + у²
n n n Решение. Число 3 +2 не делиться на 3 Изучим, какой остаток может давать квадрат целого числа не кратного трём. = +6 k+1 = +12 k+4 Заметим, что остаток при деление на 3 всегда равен 1. Значит, исходное уравнение решений не имеет.
n n n n n Решение. Исследуем остатки квадратов чисел, не кратных 5, при деление на 5 = + 10 x +1; r =1 = + 20 x +4; r =4 = + 30 x +9; r =4 = + 40 x +16; r =1 Квадрат числа при деление на 5 даёт остаток 1 и 4. А у нас остаток 2. Значит, корней нет.
n n n Решение. Видно, что (0; 0) – решение данного уравнения. Докажем, что других решений нет. Рассмотрим случаи: х N, y N Если х N , то 3ª делится на 3 без остатка, а у² + 1 при делении на 3 даёт остаток либо 1, либо 2. n Следовательно, равенство (5) при натуральных значениях х и у невозможно. 2)Если х – целое отрицательное число, y Z, тогда 0<3ª<1, а 1+у² 0 и равенство (5) также невозможно. Следовательно, (0; 0) – единственное решение. Ответ. n (0; 0). n
Цепные дроби Описание метода. n Примеры возможных задач. n Задачи для самостоятельного решения. n
n Обратимся вновь к алгоритму Евклида. Из первого равенства системы (2) вытекает, что дробь a/b можно записать в виде суммы целой части и правильной дроби: n Из второго равенства той же системы имеем n n n Значит, Продолжим этот процесс до тех пор, пока не придём к знаменателю qп В результате мы представим обыкновенную дробь a/b в следующем виде: Эйлер назвал дробь, стоящую в правой части равенства непрерывной. Приблизительно в тоже время в Германии появился другой термин – цепная дробь. Так за этими дробями и сохранились оба названия. Ввиду громоздкости развёрнутой записи цепной дроби применяют компактную запись a/ b = [q 0; q 1, q 2, …, qп].
n n n Задача № 1. 127 x-52 y+1=0 Задача 5. Представить дробь 40/31 в виде цепной. Решение. 40/31 = 1 + 9/31 = 1 + 1/3 /9 = 1 + 1/(3 + 4 / 9) = 1 + 1 / (3 + 1 / 9 / 4) = =1 + 1 / (3 + 1 / (2 +1 / 4)) = [1; 3, 2, 4]
n Преобразуем отношение коэффициентов при неизвестных. Прежде всего, выделим целую часть неправильной дроби ; Правильную дробь заменим равной ей дробью . n Тогда получим Проделаем такие же преобразования с полученной в знаменателе неправильной дробью n n n Теперь исходная дробь примет вид : Повторяя те же рассуждения для дроби получим . Выделяя целую часть неправильной дроби , придем к окончательному результату: Мы получили выражение, которое называется конечной цепной или непрерывной дробью. Отбросив последнее звено этой цепной дроби - одну пятую, превратим получающуюся при этом новую цепную дробь в простую и вычтем ее из исходной дроби : Приведем полученное выражение к общему знаменателю и отбросим его, тогда 127*9 -52*22+1=0. Из сопоставления полученного равенства с уравнением 127 x-52 y+1=0 следует, что , x=9; y=22 будет решением этого уравнения и согласно теореме все его решения будут содержаться в прогрессиях x=9+52 t , y=22+127 t .
Метод разложения на множители n n n Описание метода Примеры возможных задач Задачи для самостоятельного решения
n Первоначальное уравнение путем группировки слагаемых и вынесения общих множителей приводится к виду, когда в левой части уравнения стоит произведение сомножителей, содержащих неизвестные, а справа стоит некоторое число. Рассматриваются все делители числа, стоящего в правой части уравнения. Проводится исследование, в котором каждый сомножитель, стоящий в правой части уравнения приравнивается к соответствующему делителю числа, стоящего в правой части уравнения.
n n n Задача № 1 Решить в целых числах уравнение x + y = xy. Задача № 2 Доказать, что уравнение (x - y)3 + (y - z)3 + (z - x)3 = 30 не имеет решений в целых числах. Задача № 3 Решите уравнение в целых числах: x² - y² = 91.
n n n n x^3 -y^3=17. y^3 – x^3 = 91. (x-2)(xy+4)=1 x^2 -xy-x=y=1 2 x^=xy=x+7 x^2 -3 xy=x-3 y+2 x+y=xy 3 xy+2 x+3 y=0 y-x-xy=2 Докажите, что уравнение не имеет решений в целых числах: x^2 -3 y=17 3 x^2 -4 y^2=13 Используйте чётность во 2 уравнение и кратность 3 в первом. n n n n а) y^2 = 5 x^2 + 6; б) x^3 = 2 + 3 y^2 n n Решить в целых числах уравнения: а) x 2 + x = y 4 + y 3 + y 2 + y; б) x² - y² = 91; в) 2 ху = х² + 2 y; г) 3 x^2 +4 ху – 7 y^2 =13 n n Решить в целых числах уравнение x^2 + 1 = 3 y. Решить в простых числах уравнение x^2 - 2 y^2 = 1. Доказать, что уравнение x^3 + x + 10 y = 20004 неразрешимо в целых числах. Доказать, что уравнение x^5 + 3 x^4 y - 5 x^3 y^2 - 15 x^2 y^3 + 4 xy^4 + 12 y^5 = 33 неразрешимо в целых числах. Решить в целых числах уравнение 2 x^3 + xy - 7 = 0. Доказать, что уравнения не имеют целочисленных решений: Решите в натуральных числах уравнения: а) 2 х² + 5 ху – 12 у² = 28; б) х² - 4 ху – 5 у² = 1996. n n Докажите, что система уравнений не имеет решений в целых числах. Найти все пары целых чисел, удовлетворяющих уравнению а) x 2 = y 2+ 2 y +13; Существуют ли целые числа m и n, удовлетворяющие уравнению m 2 + 1994 = n^2 n n Найти все простые числа, которые одновременно являются суммой двух простых чисел и разностью двух простых чисел. Докажите, что уравнение x^2 – y^2 = 30 не имеет решений в целых числах. Решите уравнение x^2 – 2 х + y^2 – 4 y + 5 = 0.
n n n n Решение. 1) Перенесем все члены уравнения влево и к обеим частям полученного уравнения прибавим (– 1) x + y – xy – 1 = – 1 Сгруппируем первое – четвертое и второе – третье слагаемые и вынесем общие множители, в результате получим уравнение: (x - 1)(y - 1) = 1 2) Произведение двух целых чисел может равняться 1 в том и только в том случае, когда оба этих числа равны или 1, или (– 1). 3) Записав соответствующие системы уравнений и решив их, получим решение исходного уравнения. Ответ: (0, 0) и (2, 2).
n n Решение. 1) Разложим левую часть уравнения на множители и обе части уравнения разделим на 3, в результате получим уравнение: (x - y)(y - z)(z - x) = 10……………(2) 2) Делителями 10 являются числа ± 1, ± 2, ± 5, ± 10. Заметим также, что сумма сомножителей левой части уравнения (2) равна 0. Нетрудно проверить, что сумма любых трех чисел из множества делителей числа 10, дающих в произведении 10, не будет равняться 0. Следовательно, исходное уравнение не имеет решений в целых числах
n n n n n n n n n Решение. Разложим левую часть данного уравнения на множители: (х–у)(х+у)= =91. Так как 91= 1 * 91 =91 * 1=(-1) * (-91) = (91) * (- 1) = 7 * 13 == 13 * 7 = (-7) * (-13) = (-13) * (-7), то решение данного уравнения сводится к решению восьми систем: 1) x – y = 1 x + y = 91 (46; 45) 2) x – y =- 1 x + y =- 91 (-46; -45) 3) x – y = -91 x + y = 1 (46; -45) 4) x – y = -91 x + y = -1 (-46; 45) 5) x – y = 7 x + y = 13 (10; 3) 6) x – y = -7 x + y = -13 (-10; -3) 7) x – y = 13 x + y = 7 (10; -3) 8) x – y = -13 x + y = -7 (-10; 3) Ответ.
Скачать презентацию Решение уравнений в целых числах Способы решения
eca720afefcc45d32531cdf4470ae961.ppt