РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ МЕТОД

РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ С ПОМОЩЬЮ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ ( ДИХОТОМИИ) ПРЕДНАЗНАЧЕННЫЙ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ КОРНЕЙ УРАВНЕНИЙ, ПРЕДСТАВЛЕННЫХ В ВИДЕF(X)=0. Пусть непрерывная функция f(x) на концах отрезка [a, b] имеет значения разных знаков, т. е. f(a)×f(b)< 0, тогда на отрезке имеется хотя бы один корень. Возьмем середину отрезка с=(a+b)/2. Если f(a)×f(с) <=0, то корень явно принадлежит отрезку от a до (a+b)/2 и в противном случае от (a+b)/2 до b. Поэтому берем подходящий из этих отрезков, вычисляем значение функции в его середине и т. д. до тех пор, пока длина очередного отрезка не окажется меньше заданной предельной абсолютной (b-a)<

МЕТОД ПОЛОВИННОГО ДЕЛЕНИЯ Так каждое очередное вычисление f(c) сужает интервал поиска вдвое, то при исходном отрезке [a, b] и предельной погрешности количество вычислений n определяется условием (b-a)/2 n< , или n~log 2((b-a)/ ). Например, при исходном единичном интервале и точности порядка 6 знаков ( ~ 10 -6) после десятичной точки достаточно провести 20 вычислений (итераций) значений функции.

ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ - МЕТОДЫ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ. ЗДЕСЬ ЗАДАЕТСЯ НЕ НАЧАЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ МЕСТОНАХОЖДЕНИЯ КОРНЯ, А ЕГО НАЧАЛЬНОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ. Пусть известно некоторое приближенное значение Хn корня X. Нужно найти следующее приближение корня Хn+1. Формула метода касательных:

В качестве исходной точки х выбирается тот конец интервала [a, b], которому ордината того же знака, что и знак второй производной, т. е. —x = a или — х = b. Корень можно найти с любой степенью точности е. это означает, что. Если производная функции мало изменяется в окрестности корня, то можно использовать видоизменение метода

ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ИНТЕГРАЛА

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ =S f(x) у Можно трактовать как площадь подынтегральной функции (криволинейной трапеции) на отрезке [a; b] 0 a b x

В простейшем случае, когда известна первообразная F(x), интеграл вычисляется по формуле Ньютона – Лейбница: = F(b)-F(a) Для большинства функций нахождение первообразной сложно или невозможно. Тогда применяется приближённое (численное) интегрирование.

Пусть функция f(x) определена на отрезке [а; b]. Требуется: приближенно вычислить определённый интеграл Суть метода: разобьём отрезок [а, b] на n равных отрезков длины h=(b-a)/n, разрезая фигуру под функцией f(x) на n полосок, считая их прямоугольниками. Тогда S Si , при n Si S

МЕТОД ЛЕВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его левую сторону, то Si = f(xi-1)*h S=(f(a)+ f(x 1)+…+f(xn-1))*h у f(x) 0 a x 1 … xn-1 b x

1. Вычислить по методу левых прямоугольников: program integral; var i, n: integer; a, b, h, x, xb, s: real; function f(x: real): real; begin f: =(1/x)*sin(3. 14*x/2); end; begin write('Введите нижний предел интегрирования '); readln(a); write('Введите верхний предел интегрирования '); readln(b); write('Введите количество отрезков '); readln(n); h: =(b-a)/n; s: =0; x 0: =a; for i: =0 to n-1 do begin x: =x 0+i*h; s: =s+f(x)*h; end; writeln('Интеграл равен ', s: 12: 10); end.

МЕТОД ПРАВЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ Если для вычисления площади одного прямоугольника выбрать его правую сторону, то Si = f(xi)*h S=(f(x 1)+…+f(xn-1)+ f(b))*h у f(x) 0 a x 1 … xn-1 b x

МЕТОД ТРАПЕЦИЙ Если построить не прямоугольники, а трапеции, то Si=(f(xi)+ f(xi-1))/2*h S = (f(a)/2 + f(x 1) + …+ f(xn-1)+ f(b)/2)*h у f(x) 0 a x 1 … xn-1 b x

МЕТОД МОНТЕ-КАРЛО

Остроумный метод приближенного вычисления площадей сложных фигур – метод Монте-Карло – назван в честь города в княжестве Монако, где находятся всемирно известные казино (рулетка). И как это ни парадоксально, но совершенно случайное помогает в вычислении строго определённого.

Дана фигура сложной формы. Требуется: вычислить площадь этой фигуры. Суть метода: поместим фигуру в квадрат со стороной а. у a 0 Будем наугад, т. е. случайным образом бросать точки в этот квадрат. a x

Таким образом, при большом числе точек доля точек, содержащихся в фигуре, приближённо равна отношению площади этой фигуры к площади квадрата: M N S S 2 a /N 2 M a M – кол-во точек в фигуре, N – кол-во точек в квадрате