Решение уравнений и систем уравнений Способы решения

Решение уравнений и систем уравнений

Способы решения систем линейных уравнений делятся на две группы o o точные методы, представляющие собой конечные алгоритмы для вычисления корней системы (решение систем с помощью обратной матрицы, правило Крамера, метод Гаусса и др. ); итерационные методы, позволяющие получить решение системы с заданной точностью путем сходящихся итерационных процессов (метод итерации, метод Зейделя и др. ).

Решение систем уравнений Math. CAD осуществляет численными методами o o o При этом должно быть задано некоторое начальное приближение для тех переменных, значение которых необходимо найти. Основываясь на этих начальных данных, Math. CAD будет последовательно уточнять решение до тех пор, пока не подберет наиболее точные значения. За один раз Math. CAD находит только одно решение, которое обычно более близко к заданному начальному приближению.

Решение систем уравнений с помощью блока Given-Find Решающий блок состоит из нескольких компонент, следующих на листе в строго определенном порядке: 1. Начальное приближение (присваивание начальных значений переменным). 2. Директива Given, которую необходимо набрать с клавиатуры. 3. Уравнения, которые необходимо решить. Уравнения вводятся в обычной математической форме, но вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl+=). 4. Обращение к функции Find. Аргументами функции являются имена переменных, относительно которых решается система. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент - второй переменной и так далее.

Пример. Решим систему нелинейных уравнений: Последняя запись - вектор (-1; -2) есть значение, которое нашла функция Find, то есть одно из решений системы. Найти второе решение можно, если взять другое начальное приближение x = 2; y = 2. Тогда функция Find вернет вектор (2; 4).

Синтаксис Блока решения: a: =… b: =… Given Уравнения 3=aeb. 0. 5 Ограничительные условия 9. 8=aeb. 1. 4 Find(v 1, v 2, . . . vn) - находит X значение одной или ряда Y : =Find(a, b) переменных для точного X=… решения Y=… vi - переменные, которые надо найти.

Аналитическое решение линейных и нелинейных систем уравнений Данное решение используется для получения решений в общем виде. Обычно при этом система уравнений записывается только с использованием буквенных обозначений переменных, без конкретных чисел. Для получения аналитического решения используется оператор аналитического вычисления « » вместо оператора числового вычисления «=» .

Пример аналитического решения нелинейной системы

Пример аналитического решения линейной системы

Символьное решение При символьном решении не надо вводить начальные значения, а после ключевого слова Find(v 1, v 2, . . . vn) вместо знака равенства следует ввести символьный знак равенства символьный (при помощи комбинации [Ctrl+. ]

Матричная форма решения уравнений Эквивалентной для Math. CAD формой представления систем линейных уравнений является матричная форма. Представленные таким образом системы можно решать как символьно, так и численно.

Пример: рассмотрим систему n линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных х1, х2, …, хn: Рассмотренная система линейных уравнений может быть записана в матричном виде Ах = b

Функция lsolv(A, B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение - вектор X. А - матрица коэффициентов размерности nxn; В - вектор свободных членов размерности n ; X - вектор неизвестных пока решений.

Примечание В функции Lsolve запрограммирован численный метод, основанный на алгоритме последовательных исключений Гаусса. Он состоит в преобразовании матрицы А линейной системы к треугольному виду, т. е. к форме, когда все элементы ниже главной диагонали матрицы являются нулевыми

Таким образом, в противоположность применению вычислительного блока Given/Find (в основе которого лежит приближенный итерационный алгоритм), функция isolve не нуждается в присвоении начальных значений вектору x.

Примеры решения систем уравнений

Примечание Если определитель матрицы коэффициентов равен нулю, матричные методы оказываются непригодными. Если же применить блок решения, Math. CAD распознает неоднозначность и выдает решение в параметрической форме.