Решение уравнений и систем Необходимые для таких

Решение уравнений и систем

Необходимые для таких вычислений команды находятся в меню «Символы» . Запуск символьных вычислений или преобразований чаще всего осуществляется с клавиатуры путем нажатия клавиш «shift + F 9» и искать команды меню «символы» не нужно. 2

Символьное решение уравнения 1. Сначала надо задать само уравнение, причем знак равенства в нем задать комбинацией клавиш «ctrl + =» . Полученный жирный знак равенства называют «Булево равенство» . 2. Далее в уравнении выделить голубым уголком идентификатор переменной, относительно которой следует решить это уравнение. Если такая переменная находится в уравнении в нескольких местах, то достаточно выделить ее только в одном месте. 3. Теперь переходим в меню «Символы» и выполняем команды «Переменные – вычислить» . 3

Пример: 4

o Компьютер выдает столько корней, сколько их в этом уравнении возможно. o Если в уравнении несколько идентификаторов, то для решения следует выделить тот, относительно которого надо решить это уравнение. В этом случае в полученных корнях будут присутствовать идентификаторы, относительно которых не было указания получать ответы, т. е. говорят, что уравнение решено относительно каких-то параметров и величину его корней определяют формулы, содержащие эти самые параметры 5

Пример: 6

Решение уравнений Решить любое уравнение f(x)=0 можно с помощью встроенной, стандартной функции root Функции root, в свою очередь, можно присвоить свой идентификатор, тогда под этим идентификатором и сохранится найденное значение корня. 7

последовательность действий: o задать произвольное, начальное значение аргумента, неизвестной переменной решаемого уравнения; o сообщить вид функции f(x): =…; o задать функцию root по схеме root(f(x), x); o попросить вывести значение результата root(f(x), x)=… 8

Примечания: o Функция root определяет только один корень уравнения. Если в уравнении несколько корней, то определяется тот, к которому ближе всего заданное начальное значение переменной. o Функции root можно не давать ни какого идентификатора, но поставить знак «равно» сразу после нее – компьютер сообщит значение найденного корня. o Очень часто при введении функционального идентификатора f(x) в функцию root результат не получается. В этом случае вместо идентификатора f(x) следует в функции root напечатать вид самого уравнения, точнее его левой части. Например. X: =2. 7 root(X 2 -6 X+5, X) 9

Решение системы уравнений Последовательность необходимых действий: o задать начальные значения искомых неизвестных; o описать систему уравнений оператором Given (Пусть…). В этом описании следует употреблять вместо обычного равенства «Булево равенство» (ctrl + =); o использовать стандартную функцию Find (Найти); o запросить значения определяемых переменных, т. е. задать знак равно после функции Find. 10

Решение системы уравнений o Вместо двух последних пунктов можно функции Find задать «векторный» идентификатор в шаблонной форме x y : =Find(a, b) o а затем запросить значения элементов этого вектора. 11

Образец a: =… b: =… Given 3=aeb. 0. 5 9. 8=aeb. 1. 4 X Y : =Find(a, b) X=… Y=… 12

Синтаксис Блока решения: Given Уравнения Ограничительные условия Find(v 1, v 2, . . . vn) - возвращает значение одной или ряда переменных для точного решения vi - переменные, которые надо найти. 13

Решение систем уравнений с помощью блока Given-Find Решающий блок состоит из нескольких компонент, следующих на листе в строго определенном порядке: 1. Начальное приближение (присваивание начальных значений переменным). 2. Директива Given, которую необходимо набрать с клавиатуры. 3. Уравнения, которые необходимо решить. Уравнения вводятся в обычной математической форме, но вместо простого знака равенства «=» используется оператор логического равенства (вводится путем нажатия Ctrl-=). 4. Обращение к функции Find. Аргументами функции являются имена переменных, относительно которых решается система. Функция возвращает вектор значений, где первый элемент соответствует первой переменной в списке аргументов, второй элемент - второй переменной и так далее. 14

Пример. Решим систему нелинейных уравнений: Последняя запись - вектор (-1; -2) есть значение, которое вернула функция Find, то есть одно из решений системы. Найти второе решение можно, если взять другое начальное приближение x = 2; y = 2. Тогда функция Find вернет вектор (2; 4). 15

Функция lsolv(A, B) Она решает систему линейных алгебраических уравнений вида А x X =B, выдавая решение - вектор X. А - матрица коэффициентов размерности nxn; В - вектор свободных членов размерности n ; X - вектор неизвестных пока решений. 16

17

Последовательность действий при численном решении: o Задаем начальные (стартовые) значения для искомых переменных. o Заключаем уравнения в блок решения, начинающийся ключевым словом Given и заканчивающийся ключевым словом Find(v 1, v 2, . . . vn). o Если после слова Find(v 1, v 2, . . . vn) ввести знак равенства [=], Math. ACD выдаст численное решение. 18

С помощью оператора Given можно решать систему, содержащую только одно уравнение, т. е. можно иметь еще один способ решения уравнения. По этому способу, так же как и с функцией root, будет получен корень, наиболее близкий к заданному начальному значению переменной. 19