Решение смешанной краевой задачи для полуограниченной струны методом

Решение смешанной краевой задачи для полуограниченной струны методом Даламбера

Метод продолжения для полуограниченной струны Леммы о свойствах решений уравнения колебаний струны, определенных на бесконечной прямой. Лемма 1. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются нечетными функциями относительно некоторой точки x 0 , то соответствующее решение в этой точке x 0 равно нулю.

Метод продолжения для полуограниченной струны Докажем Лемму 1. Примем x 0 за начало координат. В этом случае условия нечетности начальных условий принимают вид: j(x) = – j(–x), y(x) = –y(–x). Решение уравнения струны ищем в форме Даламбера Что и требовалось доказать

Метод продолжения для полуограниченной струны Лемма 2. Если начальные данные в задаче о распространении колебаний на неограниченной прямой являются четными функциями относительно некоторой точки x 0, то производная по x соответствующего решения в этой точке равна нулю.

Метод продолжения для полуограниченной струны Докажем Лемму 2. Примем x 0 за начало координат. В этом случае условия нечетности начальных условий принимают вид: j(x) = – j(–x), y(x) = –y(–x) и j’(x) = – j’(–x). Дифференцируя формулу Даламбера, приходим к доказательству Леммы 2.

Общее решение уравнения При t = 0, Если x – at ≥ 0, Пусть теперь x – at ≤ 0, из граничного условия имеем откуда j(-at) = y(at) при x < at.

Положим z = – at. Тогда j(z) = – y(– z ), z ≤ 0, то есть Таким образом, при x ≤ at и при x – at ≥ 0 выполняется формула Даламбера. Окончательно,