Решение СЛАУ методом Гаусса. Алгебра матриц. 1. Метод последовательных исключений (метод Гаусса)
Рассмотрим СЛАУ n-го порядка: Запишем ее расширенную матрицу: С помощью элементарных действий, переходя от данной матрицы к эквивалентной, получают треугольную матрицу (прямой ход метода Гаусса).
Алгоритм метода. 0) Выберем строку, содержащую 1 -й ненулевой элемент и сделаем её первой строкой эквивалентной матрицы. Эту 1 -ю ведущую строку перенесем в следующую (эквивалентную) матрицу. 1) Элементы 1 -й ведущей строки в предыдущей матрице будем умножать на подходящее ненулевое число и складывать поочередно с элементами ниже лежащих строк, результат сложения будем записывать в эквивалентную матрицу. Продолжаем эти действия, пока не получим нули в первом столбце под 1 -м ненулевым элементом. step 0 step 1
2) Поступая аналогично, выбираем 2 -ю ведущую строку с ненулевым 2 -м элементом и обе ведущие строки переносим в эквивалентную матрицу. Все элементы 2 -й ведущей строки в предыдущей матрице умножаем поочередно на подходящее число и складываем с элементами ниже лежащих строк, добиваясь 2 -го нулевого столбца под диагональным элементом эквивалентной матрицы. Продолжая эти действия, на некотором шаге (s) получим треугольную матрицу: step 2 step (s)
Обратный ход метода Гаусса Раскроем последнюю строку треугольной матрицы. Она означает уравнение: При находим Поднимаясь на строку вверх, раскроем (n-1)-е уравнение, оно содержит неизвестные xn-1 и xn, последнее уже найдено, подставим его и найдем xn-1. Поступая аналогично, поднимаемся снизу вверх по строчкам треугольной матрицы, последовательно находя xn-2, xn-3, …, x 1. Решение (x 1, x 2, …, xn) получено.
Пример 1. Решить СЛАУ Решение.
Пример2. Решить СЛАУ методом Гаусса Проверка Ответ:
2. Алгебра матриц • 1) 2) Определения. Матрицей размера (m x n) называется таблица чисел, имеющая m строк и n столбцов. Матрица AT называется транспонированной относительно матрицы А, если столбцы одной из матриц совпадают со строками другой. (m x n) (n x m)
Операции над матрицами 1) Сложение матриц. Определение. Суммой матриц A и B одинаковой размерности называется матрица C=A+B, такой же размерности, элементы которой равны сумме соответствующих элементов обеих матриц. 2) Умножение матрицы на число. Определение. Произведением матрицы А (m x n) на число k называется матрица B=k. A, той же размерности, элементы которой равны произведениям элементов матрицы А на число k.
Операции над матрицами 3) Произведение двух матриц. Определение. Пусть число столбцов матрицы А(m x n) равно числу строк матрицы B (n x p). Произведением матриц A и B называется матрица C (m x р), обозначаемая C=AB, элементы которой вычисляются по формуле: ( «строка на столбец» ).
Спасибо за внимание !
Скачать презентацию Решение СЛАУ методом Гаусса Алгебра матриц 1 Метод
Алгебра_л3.ppt