Решение системы линейных уравнений при помощи матриц 1

Решение системы линейных уравнений при помощи матриц 1

2

3

Пример. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы 4

5

6

7

8

§ 10. Произвольные системы линейных уравнений 9

Определитель квадратной матрицы, содержащей k строк и k столбцов, выбранных произвольным способом, называется минором k-го порядка данной матрицы. Минор первого порядкаэто любой элемент матрицы. Рангом матрицы A называется число r такое, что среди миноров r-го порядка данной матрицы имеется по крайней мере один, отличный от нуля, а все миноры (r+1) -го порядка равны нулю. 10

Теорема (критерий Кронекера-Капелли). Для того, чтобы система линейных уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы этой системы был равен рангу ее расширенной матрицы, то есть чтобы Рассмотрим два возможных случая: 1) если , то система уравнений несовместна; 2) если то система уравнений совместна. 11

Совместная система может быть либо определенная, либо неопределенная: а) если ранг матрицы системы равен числу неизвестных , то система имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера, б) если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных , то система имеет бесконечное множество решений, причем число уравнений в системе необходимо уменьшить до r штук, где rранг матрицы системы. 12

Пример 1. Решить систему линейных уравнений 13

14

15

Система несовместна, так как 16

Пример. Решить систему 17

Решение. 18

Столбец свободных членов равен сумме трех столбцов: первого, третьего и второго, умноженного на (-2). 19

20

Система совместна и имеет единственное решение, так как 21

22