РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ или AX=B Система имеет единственное решение, если det. A≠ 0. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ 1. точные: матричный, Гаусса, Жордана 2. приближенные: простых итераций, Зейделя
ТОЧНЫЕ МЕТОДЫ Решение с помощью обратной матрицы A∙X=B Если det. A≠ 0, то A-1 : X=A-1∙B При решении СЛАУ в MS Excel используются стандартные математические функции: -МОПРЕД (для вычисления det. A), - МОБР (для вычисления A-1 ), - МУМНОЖ (для вычисления произведения A-1∙B). Проверка полученного решения - с помощью функции МУМНОЖ.
Решение методом Гаусса Прямой ход метода: С помощью тождественных преобразований приводим матрицу A к треугольному виду: Обратный ход метода:
Решение методом Жордана Модификация метода Гаусса. С помощью тождественных преобразований приводим матрицу A к единичной матрице: Возможно получение приближенных результатов: - при больших n, - из-за погрешностей в представлении вещественных чисел в памяти ЭВМ.
ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Метод простых итераций или в матричной форме: AX=B X=CX+D. Решение подобно методу итераций для нелинейного уравнения. Выбираем начальное приближение вектор X(0). Далее применяем рекуррентную формулу: X(k+1) =CX(k)+D, k=0, 1, 2, …
Метод Зейделя Модификация метода итераций. В случае сходимости решение получается за меньшее число итераций. Рекуррентные формулы:
Окончанием итерационного процесса будем считать момент, когда максимальное отклонение будет меньше заданной точности ε: Условия сходимости итерационных методов Для сходимости методов достаточно (но не необходимо), чтобы выполнялось одно из условий:
Для того, чтобы метод Зейделя сходился всегда, можно преобразовать исходную систему, выполнив регуляризацию матрицы. A∙X=B → AТ∙A∙X=AТ∙B Пусть С=AТ∙A, D=AТ∙B. Тогда С∙X=D – нормальная система уравнений. Матрица С является симметрической, все элементы на ее главной диагонали положительны. Таким образом исходные уравнения можно привести в к виду:
ВОПРОСЫ ПО ТЕМЕ: 1. Какие методы решения СЛАУ являются точными? 2. Какие методы решения СЛАУ являются приближенными? 3. Можно ли найти решение СЛАУ, если определитель матрицы коэффициентов равен нулю? 4. Сколько решений имеет СЛАУ, если определитель матрицы коэффициентов а) равен нулю; б) не равен нулю. 5. В методах Гаусса и Жордана выполняется деление уравнений на диагональный коэффициент. Что следует предпринять, если он окажется равен 0 или достаточно мал (по модулю)?
Скачать презентацию РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ или AX B Система имеет
Решение системы линейных уравнений.ppt