Решение систем логических уравнений В 15 ЕГЭ-2012 2013

Решение систем логических уравнений В 15 (ЕГЭ-2012, 2013) В 10 (ЕГЭ-2011)

Продолжите ряд: Последовательность Фибоначчи +1 Фибоначчи *2

Для решения логических уравнений нужно знать: A → B импликация( ложна, если А=1, В=0) A→B=¬A B A B, эквиваленция (истинна, если А=1 и В=1 или А=0 и В=0) A B= ¬A ¬B A B А B, исключающее или (разделительная дизъюнкция, истинна А=1, В=0 и наоборот) А B= ¬ A B A ¬B А B= ¬ (A B) A → B = ¬B → ¬A

Решить логическое уравнение: ¬X 1 + X 2 = 1 Значения переменных Количество комбинаций-решений X 1 X 2 Решения уравнения – пары чисел (1, 1), (0, 0)

n Решить систему уравнений – это значит найти такие значения переменных, которые обращают КАЖДОЕ уравнение системы в верное равенство. x+y=6 x-y=10 2 x=16 x=8 y=-2 Ответ: (8, -2)

Решить систему логических уравнений: ¬X 1 + X 2 = 1 ¬X 2 + X 3 = 1 Значения переменных Количество комбинаций-решений X 1 X 2 X 3 Решения уравнения – (0, 0, 1), (0, 0, 0) тройки чисел (1, 1, 1), (0, 1, 1),

Сколько различных решений имеет система уравнений ¬X 1 X 2 = 1 ¬X 2 X 3 = 1. . . ¬X 9 X 10 = 1 где x 1, x 2, …, x 10 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.

¬X 1 + X 2 = 1 ¬X 2 + X 3 = 1. . . ¬X 9 + X 10 = 1 Решениями будут являться двоичные цепочки длиной 10 символов (по количеству переменных), например, возможным решением может быть (0, 0, 0, 1, 1, 1, 1). Максимальное количество двоичных комбинаций 210=1024. Задача состоит в том, чтобы найти только те из 1024 цепочек (их количество!), которые обращают все равенства в верные.

¬X 1 + X 2 = 1 ¬X 2 + X 3 = 1 ¬X 3 + X 4 = 1. . . ¬X 9 + X 10 = 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Кроме пар (1, 0) X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 Количество решений

Сколько различных решений имеет система уравнений Ответ: m+1

Решения – двоичные цепочки: ¬X 1 + X 2 = 1 ¬X 2 + X 3 = 1. . . ¬X 9 + X 10 = 1 Перечислять не нужно! Ответ: 11 11111 011111 001111 0001111111 0000011111 0000000111 0000000001 00000

Сколько решений имеют системы логических уравнений: ¬X 1 Λ X 2 = 0 ¬X 2 Λ X 3 = 0. . . ¬X 9 Λ X 10 = 0 ¬X 1 → X 2 = 1 ¬X 2 → X 3 = 1. . . ¬X 9 → X 10 = 1 144 решения

Уравнения сводятся к следующим: X 1 +¬ X 2 = 1 X 2 +¬ X 3 = 1. . . X 9 +¬ X 10 = 1 11 решений X 1 + X 2 = 1 X 2 + X 3 = 1. . . X 9 + X 10 = 1 144 решения

Х 1+Х 2=1 Х 2+Х 3=1 … Х 9+Х 10=1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 Ответ: 144 X 10 Количество комбинаций

Найдите количество решений: (Х 1 Х 2)+(Х 2 Х 3)=1 (Х 2 Х 3)+(Х 3 Х 4)=1 … (Х 8 Х 9)+(Х 9 Х 10)=1 Эквиваленция – операция симметричная. Поэтому можно построить неполное дерево (например для Х 1=0). Для Х 1=1 будет столько же решений. Рассмотрим полное и неполное дерево и сравним результаты.

(Х 1 Х 2)+(Х 2 Х 3)=1 (Х 2 Х 3)+(Х 3 Х 4)=1 … (Х 8 Х 9)+(Х 9 Х 10)=1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 А 0 0 1 1 В 0 1 А В 1 0 0 1 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 Ответ: 178 X 10 Количество комбинаций

(Х 1 Х 2)+(Х 2 Х 3)=1 (Х 2 Х 3)+(Х 3 Х 4)=1 … (Х 8 Х 9)+(Х 9 Х 10)=1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 А 0 0 1 1 В 0 1 А В 1 0 0 1 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 Аналогично для Х 1=1 Симметричная операция X 9 89 * 2 = 178 X 1 0 Ответ: 178 Количество комбинаций

Решите самостоятельно: Сколько различных решений имеет система уравнений ¬(x 1 ≡ x 2) Λ ¬(x 2 ≡ x 3) =1 ¬(x 2 ≡ x 3) Λ ¬(x 3 ≡ x 4) =1. . . ¬(x 7 ≡ x 8) Λ ¬(x 8 ≡ x 9) =1 где x 1, x 2, . . . , x 9 – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений x 1, x 2, . . . , x 9, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа вам нужно указать количество таких наборов.

Решение (x 1 x 2) Λ (x 2 x 3) =1 (x 2 x 3) Λ (x 3 x 4) =1. . . (x 7 x 8) Λ (x 8 x 9) =1 Ответ: 2 решения (x 1 x 2) =1 (x 2 x 3) =1. . . (x 8 x 9) =1 В каждом уравнении истинна только одна из переменных, таким образом получаем, что решениями системы являются наборы: (1, 0, 1) и (0, 1, 0)

Найти количество решений: ¬X 1 X 2 X 3 = 1 ¬X 2 X 3 X 4 = 1 … ¬X 8 X 9 X 10 = 1 ¬X 1 + X 2 + X 3 = 1 ¬X 2 + X 3 + X 4 = 1 … ¬X 8 + X 9 + X 10 = 1 Кроме троек (1, 0, 0)

¬X 1 + X 2 + X 3 = 1 ¬X 2 + X 3 + X 4 = 1 … ¬X 8 + X 9 + X 10 = 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 Кроме троек (1, 0, 0) X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 Ответ: 232 X 10 Количество комбинаций

Найти количество решений: (X 1 → X 2) + (X 1 → X 3) = 1 (X 2 → X 3) + (X 2 → X 4) = 1. . . (X 8 → X 9) + (X 8 → X 10) = 1 Импликация – операция несимметричная. Поэтому нужно строить полное дерево (для Х 1=0 и Х 1=1).

(X 1 → X 2) + (X 1 → X 3) = 1 (X 2 → X 3) + (X 2 → X 4) = 1. . . (X 8 → X 9) + (X 8 → X 10) = 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 См. предыдущую задачу X 8 X 9 Ответ: 232 X 10 Количество комбинаций

Системы уравнений с ограничением

Системы уравнений с ограничением (Х 1 Х 2)+(Х 2 Х 3)=1 (Х 2 Х 3)+(Х 3 Х 4)=1 (Х 3 Х 4)+(Х 4 Х 5)=1 (Х 4 Х 5)+(Х 5 Х 6)=1 … (Х 8 Х 9)+(Х 9 Х 10)=1 X 4 X 5=1

(Х 1 Х 2)+(Х 2 Х 3)=1 (Х 2 Х 3)+(Х 3 Х 4)=1 (Х 3 Х 4)+(Х 4 Х 5)=1 (Х 4 Х 5)+(Х 5 Х 6)=1 … Кроме троек (Х 8 (1, 1, 0) Х 9)+(Х 9 Х 10)=1 (0, 0, 1) X 4 X 5=1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 Ответ: 8 X 10 Количество комбинаций

¬(X 1 X 2) + X 1 · X 3 + ¬X 1 · ¬X 3 = 1 ¬(X 2 X 3) + X 2 · X 4 + ¬X 2 · ¬X 4 = 1. . . ¬(X 8 X 9) + X 8 · X 10 + ¬X 8 · ¬X 10 = 1 X 4 X 5 = 0 ¬(А В)= А В (X 1 X 2) + (X 1 X 3) = 1 (X 2 X 3) + (X 2 X 4) = 1. . . (X 8 X 9) + (X 8 X 10) = 1 X 4 X 5 = 1

Системы уравнений с разделенными переменными

Решите уравнение: (x 1 x 2) (x 2 x 3) = 1 А 0 0 1 1 В А→В 0 1 1 1 0 0 1 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 Количество комбинаций

Решите уравнение: (x 1 x 2) (x 2 x 3) (x 3 x 4) (x 4 x 5) = 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 Количество комбинаций

Найти количество решений: (x 1 x 2) (x 2 x 3) (x 3 x 4) (x 4 x 5) = 1 (у1 у2) (у2 у3) (у3 у4) (у4 у5) = 1 Дерево значений переменных X 1 X 2 X 3 Для 2 -го X 4 уравнения решение X 5 аналогичное Количество комбинаций

(x 1 x 2) (x 2 x 3) (x 3 x 4) (x 4 x 5) = 1 (у1 у2) (у2 у3) (у3 у4) (у4 у5) = 1 Для каждого уравнения – по 6 решений. К каждому решению 1 -го уравнения можно приписать одно из 6 решений 2 -го уравнения: Ответ: 36

Найти количество решений: (x 1 x 2) (x 2 x 3) (x 3 x 4) = 1 (¬у1 у2) (¬у2 у3) (¬у3 у4) = 1 (у1 x 1) (у2 x 2) (у3 x 3) (у4 x 4) = 1 Представим третье уравнение в виде системы: 1 =1 1→ 2 =1 2→ 3 =1 3→ 4 =1 4→

Матрица решений ( 1) =1 1→ x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 0000 0001 0011 0111 1111 0000 + + + 0001 + + + 0011 + + + 0111 + + + 1111 - - +

Матрица решений 2 =1 2→ x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 0000 0001 0011 0111 1111 0000 ++ + + + + 0001 ++ + + + + 0011 ++ + + + + 0111 +- + - + + 1111 - - - - + + +

Матрица решений 3 =1 3→ x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 0000 0001 0011 0111 1111 0000 ++ + + + 0001 ++ + + + 0011 ++ - + + + + + 0111 +- - + - + + + + 1111 - - - - + - + + +

Матрица решений 3 =1 3→ x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 0000 0001 0011 0111 1111 0000 ++ + + + + 0001 ++ + - + + + + 0011 ++ - - + + + + 0111 +- - - + + + + + 1111 - - - - + + + + +

x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 y 3 y 4 0000 0001 0011 0111 1111 0000 +++++-+-----1 0001 ++++ ++-+ +--+ ---+ 2 0011 ++++ +-++ --++ 3 Ответ: 15 решений 0111 ++++ -+++ 4 1111 ++++ ++++ 5

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x 1, x 2, … x 9, x 10, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям ((x 1 ≡ x 2) / (x 3 ≡ x 4)) / (¬(x 1 ≡ x 2) / ¬(x 3 ≡ x 4)) =1 ((x 3 ≡ x 4) / (x 5 ≡ x 6)) / (¬(x 3 ≡ x 4) / ¬(x 5 ≡ x 6)) =1 ((x 5 ≡ x 6) / (x 7 ≡ x 8)) / (¬(x 5 ≡ x 7) / ¬(x 7 ≡ x 8)) =1 ((x 7 ≡ x 8) / (x 9 ≡ x 10)) / (¬(x 7 ≡ x 8) / ¬(x 9 ≡ x 10)) =1 t 1 = x 1 ≡ x 2 t 2 = x 3 ≡ x 4 t 3 = x 5 ≡ x 6 t 4 = x 7 ≡ x 8 t 5 = x 9 ≡ x 10 Общая формула замены (k=1, 2, 3, 4, 5): tk = (x 2 k-1 ≡ x 2 k) Получим: (t 1 / t 2) / (¬t 1 / ¬ t 2 ) =1 (t 2 / t 3) / (¬t 2 / ¬ t 3 ) =1 (t 3 / t 4) / (¬t 3 / ¬ t 4 ) =1 (t 4 / t 5) / (¬t 4 / ¬ t 5 ) =1

(tk / tk+1) / (¬tk / ¬ tk+1 ) =1 ¬(t 1 ≡ t 2 ) =1 ¬(t 2 ≡ t 3 ) =1 ¬(t 3 ≡ t 4 ) =1 ¬(t 4 ≡ t 5 ) =1 В любом решении последней системы значения переменных чередуются. Поэтому такая система имеет ровно два решения: 01010 и 10101 (первая цифра – значение переменной t 1, вторая — значение t 2 Подсчет числа решений Каждому из двух решений системы для переменных t соответствует 25 = 32 решения исходной системы. Поэтому исходная система имеет 2∙ 32 = 64 решения. Ответ: 64

Список источников • • Матвеенко Л. В. , презентация, г. Брянск , 2012 Поляков К. Ю. Логические уравнения // Информатика, № 14, 2011, с. 30 -35. http: //kpolyakov. narod. ru/download/B 15. doc Демидова М. В. Решение заданий типа В 10 КИМов ЕГЭ по информатике 2011 года посредством построения дерева. http: //www. itn. ru/attachment. aspx? id=123369 http: //ege. yandex. ru/informatics http: //ege-go. ru/zadania/grb/b 15/ Демовариант ЕГЭ по информатике 2012 // ФИПИ, 2011.