РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ СЛАУ Система

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ (СЛАУ)

Система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). В общем виде СЛАУ можно записать в следующем виде Совокупность коэффициентов , i =1, 2, 3, …, n; j=1, 2, 3, …. , m системы можно представить в виде матрицы:

Совокупность неизвестных xj, вектора столбца: j=1, 2, 3, …, m – в виде Совокупность свободных членов bi, i=1, 2, 3, …, n – в виде и вектора столбца: Используя выше приведенные определения, запишем СЛАУ в матричном виде: Решить СЛАУ значить найти такие значения вектора, при подстановке которого в СЛАУ каждое уравнение обращается в тождество

Классификация СЛАУ 1. Если число уравнений больше чем число неизвестных, т. е. n>m, то СЛАУ называется переобусловленой 2. Если число уравнений меньше чем число неизвестных, т. е. n<m, то СЛАУ называется недообусловленой 3. Если число уравнений равно числу неизвестных, т. е. n=m, то СЛАУ называется нормальной 4. Если вектор свободных членов равен нулю 5. Если вектор свободных членов не равен нулю называется неоднородной , то СЛАУ называется однородной , то СЛАУ 6. Если система, имеет хотя бы одно решение, она называется совместной. Система, не имеющая решений, называется несовместной. 7. Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной, а имеющая бесчисленное множество решений, называется неопределенной. Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как имеет хотя бы одно решение , которое называется тривиальным.

ОДНОРОДНАЯ СЛАУ. Определение: СЛАУ, у которой b=0 Однородная СЛАУ всегда совместна, поскольку она имеет по крайней мере одно (нулевое ) решение x =0, которое называется Т Р И В И А Л Ь Н Ы М. Пример. 2 x 1 +x 2 =0 rank (A)=rank (A, b)=2 x 2 + 2 x 1=0 det (A)=3

Методы решения СЛАУ Все методы решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) можно разделить на две группы: точные , итерационные и комбинированные Точные методы позволяют получить решение путем выполнения определённого и точного количества арифметических операций. Погрешность решения определяется точностью представления исходных данных и точностью вычислительных операций. Итерационные методы дают последовательность приближений к решению. Пределом этой последовательности является решение системы уравнений. Решение, возможно, определить лишь с некоторой, как правило, заданной степенью точности . Количество итераций для достижения требуемой точности решения определяется величиной , выбором начального приближения и видом системы уравнений.

Точные методы М е т о д ОБРАТНОЙ матрицы Метод Гаусса Требуется решить систему n линейных уравнений с n неизвестными. Метод Гаусса включает два этапа. Первый этап (прямой ход) заключается в последовательном исключении неизвестных из системы уравнений и состоит из n– 1 шага. На первом шаге с помощью первого уравнения исключается x 1 из всех последующих уравнений начиная со второго, на втором шаге с помощью второго уравнения исключается x 2 из последующих уравнений начиная с третьего и т. д. Последним исключается xn-1 из последнего n-го уравнения так, что последнее уравнение будет содержать только одно неизвестное xn. Такое последовательное исключение неизвестных равносильно приведению матрицы коэффициентов к верхне-треугольному виду. Строка, с помощью которой исключаются неизвестные, называется ведущей строкой, а диагональный элемент в этой строке – ведущим элементом.

Использование возможностей матлаба Решение СЛАУ с использованием обратной матрицы X = inv (A) * b

Второй этап (обратный ход) заключается в последовательном вычислении искомых неизвестных и состоит из n шагов. Решая последнее уравнение, находим неизвестное xn. Далее используя это значение из предыдущего уравнения вычисляем неизвестное xn-1 и т. д. Последним найдем неизвестное x 1 из первого уравнения. Матрица, содержащая помимо. коэффициентов при неизвестных столбец свободных членов , называется расширенной

1. Строим расширенную матрицу вектор Алгоритм. размерностью n на n+1, приписав, справа к матрицы т. е. ci, j=ai, j , ci, n+1=bi , где i=1, 2, 3, …, n j=1, 2, 3, …, n . Задаем номер ведущей строки k = 1 2. Преобразуем все строки, расположенные ниже k-ой так, чтобы элементы cik=0, для этого вычисляем множитель =-сi, k/ck, k и каждую i-ую строку заменяем суммой i–ой и k-ой умноженной на , т. е. ci, j=ci, j+ *ck, j где i = k+1, k+2, k+3, …. , n и j = k, k+1, k+2, …, n+1 3. Проверяем k = n-1 если нет, то выбираем новую ведущую строку k=k+1 и переходим на пункт 2, иначе выполняем пункт 4. 4. Обратный ход. Из последнего n-ого уравнения определяем последнее n-ое неизвестное. X n=c n, n+1/c n, n Последовательно, из предыдущих уравнений начиная с i=n-1, вычисляем соответствующие неизвестные xi. Последним, определяется первое неизвестное из первого уравнения.

Пример. Решить СЛАУ методом Гаусса. Первый этап. Строим расширенную матрицу и преобразуем её к ступенчатому вид k=1 k=2 i=2 – складываем 2 ую строку с 1 ой умноженной на =-c 21/c 11=-2/4=-0. 5 i=3 – складываем 3 ю строку с 1 ой умноженной на =-c 31/c 11=-2/4=-0. 5 i=3 – складываем 3 ю строку с 2 ой умноженной на =-c 32/c 22=-0. 5/5=-0. 1

Второй этап. Вычисляем неизвестные

Использование матлаба Метод Гаусса X=Ab

Вычисление определителя Алгоритм. Исходная матрица приводится к верхнетреугодьному виду, т. е. реализуется прямой ход алгоритма Гаусса. Далее, по свойству определителя треугольной матрицы, вычисляется произведение диагональных элементов Z = det (A)

Пример ошибочного решения СЛАУ методом Гаусса • Пример 1

Пример ошибочного решения СЛАУ методом Гаусса • Пример 2

Пример ошибочного решения СЛАУ методом Гаусса. Пример 3 x 1+3 x 2=4 3 x 1+9, 01 x 2=12, 01 • Решение с 4 разрядами. 1, 000 x 1+3, 000 x 2=4, 000 3, 000 x 1+9, 010 x 2=12, 01 • 1, 000 x 1+3, 000 x 2=4, 000 • 0, 010 x 2=0, 010

Продолжение примера 3 • x 1+3 x 2=4 • 3 x 1+9, 01 x 2=12, 01 • Решение с 3 разрядами. • 1, 00 x 1+3, 00 x 2=4, 00 • 3, 00 x 1+9, 01 x 2=12, 0 • 1, 00 x 1+3, 00 x 2=4, 00 • 0, 01 x 2=0, 00

Модификации метода Гаусса Для уменьшения погрешности вычислений при реализации алгоритма метода Гаусса используют его модификации, такие как метод Гаусса с частичным или полным выбором «ведущего» элемента. Модификация метода Гаусса с частичным выбором на k-м шаге прямого хода в качестве «ведущего» выбирается наибольший по модулю элемент из неприведённой части k-го столбца матрицы, т. е. Строка, содержащая этот элемент, переставляется с k-й строкой расширенной матрицы.

Модификация метода Гаусса с полным выбором ведущего элемента При полном выборе в качестве «ведущего» элемента выбирается максимальный по модулю элемент из всей неприведённой части матрицы коэффициентов системы: Для этого осуществляется необходимая перестановка как строк, так и столбцов в расширенной матрице коэффициентов. При этом следует помнить, что перестановка столбцов равносильна переименованию неизвестных.

Обусловленность СЛАУ • Определение • Графическая иллюстрация хорошо и плохо обусловленных СЛАУ • Вывод соотношения числа обусловленности СЛАУ

Определение о б у с л о в л е н н о с т и Коэффициенты С Л А У всегда содержат ошибки и погрешности. (ошибки вычислительного характера: ограниченность разрядной сетки; ошибки, связанные с неточностью задания исходных данных и др. См. слайд 17, 18) Однако, разные СЛАУ по разному реагируют на погрешности в исходных данных. Если незначительные изменения в исходных данных несущественно меняют решение , то такую систему называют ХОРОШО ОБУСЛОВЛЕННОЙ. В противном случае система ПЛОХО ОБУСЛОВЛЕНА.

Примеры x 1+x 2=2 x 1 -x 2=0 x 1+x 2=2 10 x 1+12 x 2=22

Продолжение примера (графики построить на доске) x 1+x 2=2+(-)0, 1 x 1 -x 2=0 x 1+x 2=2+(-)0, 1 10 x 1+12 x 2=22

Обусловленность –качественная характеристика системы, но она имеет количественную оценку в виде относительной погрешности вычислений. ВЫВОД. Исходную систему уравнений с учетом погрешности в векторе Запишем как и тогда отсюда можно выразить ошибку Абсолютная погрешность определим, как норму ошибки Определим относительную погрешность Определим или .

из исходной системы получим далее определим и подставим в определение относительной погрешности получим Вводим понятие числа обусловленности: и тогда

Оценка максимальной относительной погрешности вычислений :

Итерационные методы. Метод простой итерации (МПИ) Решение определяется c заданной степенью точности . Количество итераций для достижения требуемой точности решения определяется -величиной , -выбором начального приближения, -видом системы уравнений.

Блок-схема метода простой итерации

Алгоритм метода состоит из четырёх этапов. Первый этап. Приведение СЛАУ к итерационному виду, для этого разрешим каждое уравнение относительно соответствующего неизвестного: Тогда итерационную формулу запишем в виде:

где вектор –приведенныйстолбецсвободныхчленов, – приведенная матрица коэффициентов. Второй этап. Анализ сходимости СЛАУ. Проверка достаточного условия сходимости: если условие не выполняется, то необходимо преобразовать исходную систему так, чтобы оно выполнялось. Можно использовать практическую рекомендацию: решение СЛАУ будет сходящимся если в матрице А Третий этап. Выбор начального приближения. От выбора начального приближения зависит количество итераций. Поэтому желательно его выбирать как можно ближе к решению. Если значение искомое решение вообще неизвестно, то за начальное приближение рекомендуется принимать

Уточнение решения по полученной итерационной формуле с проверкой условия окончания Четвертый этап. Условием окончания итерационного процесса является выполнение условия где ε точность получаемого решения – смежные приближения к решению.

Вывод достаточного условия сходимости (пропустить 2 слайда) • Для того чтобы МПИ сходился необходимо:

Продолжение вывода достаточного условия сходимости

Простой пример решения методом простой итерации • Два уравнения без проверки достаточного условия сходимости

Простой пример решения методом простой итерации Получено расходящееся решение. Пропущен этап проверки достаточного условия сходимости СЛАУ. Поменяем в СЛАУ уравнение местами.

Продолжение примера если то переход к следующей итерации

Пример. Решить СЛАУ методом простых итераций ε=0. 3. Преобразуем исходную систему к итерационному виду.

Ответ получен с заданной степенью точностью ε =0. 3