РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА, МАТРИЧНЫМ МЕТОДОМ, МЕТОДОМ ГАУССА ПОЛНАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
Основные обозначения: n система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): матричная запись СЛАУ: А Х=В , где n
n расширенная матрица системы: n однородная СЛАУ:
Методы решения СЛАУ: n правило Крамера; n матричный метод; n метод Гаусса
Правило Крамера n Решает системы n – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными общего вида причем определитель основной матрицы системы отличен от нуля.
Определение. Определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных системы называется главным определителем системы, обозначается ∆:
Правило Крамера Вспомогательный определитель ∆i получается из определителя ∆ путем замены соответствующего iго столбца столбцом свободных членов:
Теорема (правило Крамера) ü Если главный определитель ∆ системы размерности n n отличен от нуля, то система имеет решение, и притом, единственное. Это решение можно найти по формулам:
Алгоритм решения СЛАУ матричным методом: Вычисляем главный определитель ∆ системы, убеждаемся, что он отличен от нуля. 2. Находим матрицу A-1, обратную основной матрице системы. 3. Находим решение системы по формуле . 4. Делаем проверку, подставляя полученное решение в исходную систему. 1.
Метод Гаусса решения СЛАУ
Суть метода Гаусса Чтобы решить систему m – линейных алгебраических уравнений с n – неизвестными методом Гаусса, необходимо записать расширенную матрицу системы и, используя элементарные преобразования расширенной матрицы системы, привести ее к трапециевидной форме.
1. 2. 3. 4. 5. Элементарные преобразования расширенной матрицы системы : перестановка строк (столбцов) матрицы; умножение строки матрицы на действительное число отличное от нуля и сложение с другой строкой; вычеркивание строки матрицы, все элементы которой равны нулю; вычеркивание одной из пропорциональных строк матрицы; умножение строки матрицы на число отличное от нуля.
В результате этих преобразований матрица примет один их трех видов: а) б) в) ü Если матрицу можно свести к виду а) , то система совместна и имеет единственное решение. ü Если матрицу можно свести к виду б) , то система совместна и имеет множество решений. ü Если матрицу можно свести к виду в) , то система несовместна.
Теорема Кронекера-Капелли Для того чтобы СЛАУ была совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг основной матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы, то есть rang(A) = rang( ) = r, причем, если r = n – числу неизвестных, то система имеет единственное решение, если r < n, то система имеет множество решений.
ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ТЕОРЕМЫ КРОНЕКЕРА- Система неоднородная Система однородная АХ=В, где m – уравнений, n – неизвестных КАПЕЛЛИ АХ=0, где m – уравнений, Ранг n – неизвестных Это невозможно при b 1=b 2=…= bn=0, то 1. rang(A) rang( ) Система несовместна есть однородная система всегда совместна rang(A) = rang( ) Система совместна Совместна Решение только а) r = n Решение единственное тривиальное (х1= х2= …= хn=0) 2. Имеются б) r < n Решений множество нетривиальные решения (решений множество)
Общая схема исследования и решения систем линейных алгебраических уравнений Записываем СЛАУ в матричном виде. 2. Выписываем расширенную матрицу системы. 3. Находим ранг основной и расширенной матриц системы: а) если ранги матриц различны, то система несовместна; б) если ранги матриц равны, причем r = n, где n – число неизвестных, то система совместна, имеет единственное решение, которое может быть найдено с помощью методов: правила Крамера, матричного метода, метода Гаусса; в) если ранги матриц равны, но r < n, то система совместна, имеет множество решений, которое можно найти только методом Гаусса, вводя r – базисных переменных и n – свободных переменных. 1.
Спасибо за внимание!!! =)
Скачать презентацию РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПО ПРАВИЛУ КРАМЕРА
Исследование и методы решения систем линейных алгебраических уравнений.ppt