Решение логических задач. Домашнее задание

Решение логических задач. Домашнее задание Условие задачи. Кто из учеников А, В, С и D играет в шахматы, если известно следующее: а) если А или В играют, то С не играет, б) если В не играет, то играют С и D, в) С играет. Подсказка: Определим следующие простые высказывания А – «ученик А играет в шахматы» , В – «ученик В играет в шахматы» , С – «ученик С играет в шахматы» , D – «ученик D играет в шахматы» . Запишем известные нам факты в виде сложных высказываний: а) (А ۷ В) → С, б) В → С & D, в) С. 1

Решение. ((А ۷ В) → С) &(В → С & D) & С = 1. 2

Тема 10. Логические основы устройства компьютера (элементы схемотехники) 3

Базовые логические элементы • Любое устройство компьютера, выполняющее арифметические или логические операции, может рассматриваться как преобразователь двоичной информации: значения входных переменных для него – последовательность нулей и единиц, а значения выходной функции – новая двоичная последовательность. • Дискретный преобразователь, который выдает после обработки двоичных сигналов значение одной из логических операций, называется логическим элементом (вентилем). 4

Базовые логические элементы реализуют три базовые логические операции. Логический элемент «И» (конъюнктор) реализует опе рацию логического умножения. 1 на выходе элемента появляется только тогда, когда на всех входах будут 1. А(0, 0, 1, 1) F(0, 0, 0, 1) В(0, 1, 0, 1) И Логический элемент «ИЛИ» (дизъюнктор) реализует операцию логического умножения. 1 на выходе элемента появляется тогда, когда хоть на одном входе будут 1. А(0, 0, 1, 1) F(0, 1, 1, 1) В(0, 1, 0, 1) ИЛИ 5

Базовые логические элементы Логический элемент «НЕ» (инвертор) реализует опе рацию логического отрицания. 1 на выходе элемента появляется тогда, когда на входе будут 0, и наоборот. А(0, 1) F(1, 0) НЕ Поскольку любая логическая операция может быть представлена в виде комбинации трех базовых (нормальная форма), любые ус тройства компьютера, производящие обработку или хранение ин формации, могут быть собраны из базовых логических элементов, как из «кирпичиков» . Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, пред ставляющими собой электрические импульсы. Т. е. есть импульс – логический смысл сигнала 1, нет импульса – 0. На входы логичес кого элемента поступают сигналы значения аргументов. На выходе появляется сигнал значение функции. 6

Сумматор двоичных чисел В целях максимального упрощения работы компьютера все многообразие математических операций в процессоре сводится к сложению двоичных чисел. Поэтому главной частью процессора являются сумматоры, обеспечивающие такое сложение. Электронная логическая схема, выполняющая суммиро вание двоичных кодов, называется сумматором. Схема сложения двух n разрядных двоичных чисел: an … ai … a 1 a 0 При сложении цифр i го разряда bn … bi … b 1 b 0 складываются ai, bi и признак пере Sn+1 Sn … Si … S 1 S 0 носа из (i 1) го разряда. Результатом сложения будет si и признак переноса в следующий разряд. 7

Полусумматор двоичных чисел При сложении двоичных чисел в каждом разряде обра зуется сумма и при этом возможен перенос в старший разряд. Введем обозначения: слагаемые (А, В), перенос (Р) и сумма (S). Таблица сложения одноразрядных двоичных чисел с учетом переноса в старший разряд будет такой: Слагаемые Перенос Сумма А В Р S 0 0 0 1 0 1 1 0 Реализовать перенос и сумму можно так: Р = А & B, S = (A ۷ B) & (A & B) 8

Полусумматор двоичных чисел На основе полученных логических выражений переноса и суммы Р = А & B, S = (A ۷ B) & (A & B) построим из базовых логических элементов схему сложения однораз рядных двоичных чисел. A P = A&B И B НЕ S =(A۷B)&(A&B) ИЛИ И Данная схема называется полусумматором, так как реализует суммирование одноразрядных двоичных чисел без учета переноса из младшего разряда. 9

Полный одноразрядный сумматор должен иметь три входа: слагаемые (А, В), перенос из младшего разряда (Р 0) и два выхода: сумму (S) и перенос в старший разряд (Р). Таблица сложения будет такой: Слагаемые Перенос из мл. Перенос Сумма разряда А В Р 0 Р S 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 10

Полный одноразрядный сумматор P = (A & В) ۷ (A & P 0) ۷ ( В & P 0) S = (А ۷ В ۷ P 0) & (P ۷ A & В & P 0) или не S или A и В P и или P 0 и 11

Полный n разрядный сумматор Сложение n разрядных двоичных чисел осуществляет ся с помощью комбинации одноразрядных сумматоров. Ai SM . Si Bi . S Pi . P Pi+1 В зависимости от способа ввода/ вывода данных и ор ганизации переносов многоразрядные сумматоры бывают последовательного и параллельного принципа действия. Ai-1 Bi-1 A i Bi SM. Si-1 SM. Si . S Pi . S Pi+1 . P Pi-1 Pi Si-1 Si 12

Триггер Логический элемент, способный хранить один разряд двоичного числа, называют триггером. Триггер был изобретен в 1918 г. М. А. Бонч Бруевичем (1888 – 1940). Триггер является важнейшей структурной единицей оперативной памяти компьютера, а также внутренних регистров процессора. Это устройство позволяет запоми нать, хранить и считывать информацию (1 бит инф. ). Самый простой триггер – RS. Его можно построить из двух логических элементов «ИЛИ НЕ» , входы и выходы которых соединены кольцом. Схема RS триггера: R 1 Q Вход S (set) – установка в 1. Вход R (reset) – установка в 0. S 1 Q 13

Триггер Можно построить RS триггер из базовых логических элементов: из двух логических элементов «ИЛИ» и двух логических элементов S(1) «НЕ» . 1 ИЛИ НЕ 0 1 0 1 Q R ИЛИ НЕ Режим работы триггера Входы Состояние R S триггера Q Хранение предыдущ. состояния 0 0 Q Установка триггера в 1 0 1 Установка триггера в 0 1 0 0 Запрещенное состояние 1 1 недопустимо 14

Триггер Чтобы установить значение триггера в 1, надо подать сигнал на вход S (установка 1). Чтобы сбросить инфор мацию и подготовиться к приему новой, надо подать сигнал на вход R (сброс, или установка 0). Для хранения 1 байта информации необходимо 8 триггеров, для 1 килобайта – 8*1024 триггера. Таким образом , оперативная память современных компьюте ров содержит миллионы триггеров. В целом же компьютер состоит из огромного числа логических элементов, образующих все его узлы и память. 15

Задачи по логике в ЕГЭ А 9 Символом F обозначено одно из указанных ниже логических выражений от трех аргументов: X, Y, Z. X Y Z F Дан фрагмент таблицы истинности выражения F: 0 1 1 0 Какое выражение соответствует F? 1 1 1)X / Y / Z 2) ¬X / ¬Y / Z 0 0 1 1 3) / Y / Z 4) X / ¬Y / ¬Z X Решение: Построим таблицу истинности для каждого из четырех выражений. Значения столбцов для выражения 4) X /¬Y /¬Z и для F совпадают, значит можно сказать, что выражения равносильны. Ответ: 4. . X Y Z X / Y / Z ¬X/¬Y / Z X /¬Y /¬Z F 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 16

Задачи по логике в ЕГЭ А 10 Укажите, какое логическое выражение равносильно выражению A/¬(¬B/¬C) 1) ¬A / B / ¬C 2) A / (B / C), 3) A / B / C, 4)A / ¬B / ¬C Решение: Можно предложить два способа решения. Первый способ — сравнение таблиц истинности выражений. По определению два равносильных логических выражения имеют одинаковые значения истинности при любом наборе значений входящих в них переменных. Таблицу можно составить в таком виде (истина — 1, ложь — 0): А В С ¬A / B / ¬C A / (B / C) A / B / C A / ¬B / ¬C A / ¬ (¬B / ¬C) 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 17

Задачи по логике в ЕГЭ Анализируя таблицу, замечаем, что значения столбцов для выражения A /¬ (¬B / ¬C) и для A / (B / C)совпадают, значит можно сказать, что выражения равносильны. Второй способ — равносильное преобразование выражения. Применяем закон де Моргана для дизъюнкции и закон двойного отрицания: A/¬ (¬B / ¬C) = A/ (¬¬B / ¬ ¬C) = A / (B / C) Приходим к тому же результату. Ответ № 2. 18

Задачи по логике в ЕГЭ • А 15 Какое из приведенных имен удовлетворяет логическому условию: ¬(последняя буква гласная → первая буква согласная) / вторая буква согласная 1)ИРИНА 2)АРТЕМ 3)СТЕПАН 4)МАРИЯ Решение: Выделим входящие в условие простые высказывания: A = { последняя буква гласная } B = { первая буква согласная } С = { вторая буква согласная } Запишем логическое условие: ¬(A→ B) / С. Легко заметить, что данное логическое условие представляет собой логическое умножение (конъюнкцию) выражений ¬(A→ B) и С. 19

Задачи по логике в ЕГЭ Запишем логическое условие: ¬(A→ B) / С. Легко заметить, что данное логическое условие представляет собой логическое умножение (конъюнкцию) выражений ¬(A→ B) и С. Поскольку истинным должна быть конъюнкция, это возможно только в одном случае: если истины одновременно выражения: ¬(A→ B) и С. Отрицание импликации будет истинно, если импликация – ложь, а это возможно только в одном случае если из истины следует ложь, т. е. A = 1, B = 0. Этому условию отвечает имя Ирина A=1 {последняя буква гласная истина} B=0 {первая буква согласная ложно}. Импликация в скобках – ложь, тогда отрицание импликации – истина. При этом истинно должно быть и высказывание С=1 {вторая буква согласная истина}, значит верный ответ 1) Ирина Ответ: 1) 20