Решение линейных уравнений содержащих неизвестное под знаком модуля

Решение линейных уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ • Рассмотреть примеры уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля с точки зрения геометрического смысла модуля и алгебраического определения модуля. • Научиться применять эти методы при решении уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля.

Этапы работы над проектом: • • Теоретическая часть работы. Исследовательская проблема. Практическая часть работы. Итог работы.

Теоретическая основа проекта. Именно математика даёт надёжные правила: кто им следует- тому не опасен обман чувств Л. Эйлер n

Любое действительное число можно изобразить точкой на числовой прямой. Расстояние этой точки от начала отсчета на этой прямой равно положительному числу или нулю, если точка совпадает с началом числовой прямой а О А Расстояние от начало отсчета до точки, изображающей данное число на числовой прямой, называется модулем этого числа. Модуль числа а обозначается ׀ а ׀

Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля Ú При решении некоторых уравнений удобно использовать геометрический смысл модуля. Ú Решить уравнение: ׀ х-6 9=׀ В -9 -3 А С 6 15 +9 х=6+9=15 х=6 -9=-3 Ответ: 15; -3

Способы решения уравнений, содержащих неизвестное под знаком модуля. Ú При решении уравнений, содержащих несколько выражений под знаком модуля, удобнее пользоваться алгебраическим определением модуля: Ú Модулем положительного числа и нуля является само число; модулем отрицательного числа является противоположное ему положительное число. а, если а≥ 0 ׀ а =׀ -а, если а<0

Решите уравнение: 2׀ х-12 6׀+׀ х+48 061=׀ Ú Решение: Ú а) Найдём корни(нули) каждого выражения, содержащего знак модуля: 2 х-12=0 6 х+48=0 х=6 х=-8 Ú б) найденные значения х разбивают числовую прямую на три промежутка: I х<-8 III II -8 -8<х<6 6 х>6 Ú в)решение данного уравнения рассматриваем в каждом промежутке отдельно: х

х<-8 в этом промежутке оба неравенства, стоящие под знаком модуля, отрицательны. Ú -(2 х-12)-(6 х+48)=160 -2 х+12 -6 х-48=160 -8 х= 196 х=-24, 6 (х<-8)

-8≤х≤ 6 в данном промежутке первое выражение, стоящее под знаком модуля, отрицательно, а второе – положительно. Ú -(2 х-12)+(6 х+48)=160 -2 х+12+6 х+48=160 4 х=100 х=25 число 25 не принадлежит данному промежутку

х>6 оба выражения, стоящие под знаком модуля, положительны Ú (2 х-12)+(6 х+48)=160 2 х-12+6 х+48=160 8 х=124 х=15, 8 (х>6) Ответ: -24, 5 ; 15, 8

Решение уравнений. Ú а) -3׀ х 7=׀ Ú б) 2׀ х-5 93=׀ Ú в) 5 -48׀ х 46=׀ Ú г) 82׀ х-37 39=׀ Ú Ответ: а) -4; 10 б) 22; -17 в) 29, 6; 4 г) -2; 4 9/14 Ú д) 8 -65׀ х 63׀+׀ х+144 653=׀ Ú е) 2׀ х-16 5׀+׀ х-20 3׀+׀ х-30 003=׀ Ú ж) 51׀ х-105 21׀+׀ х-288 535=׀ Ú з) 21 -63׀ х 5׀-׀ х+20 7׀-׀ х-35 042=׀ Ú Ответ: д) -10 ¼; 5 4/7 е) -27, 4; 32, 6 ж) -5 7/27 ; 34 10/27 з) нет решения.

Проверим вместе: Ú а) -3׀ х 7=׀ -4 х=3 -7 х=3+7 х=-4 х=10 Ответ: -4; 10 Ú б) 2׀ х-5 93=׀ 2 х=5 -39 2 х=5+39 2 х=-34 2 х=44 х=-17 х=22 Ответ: -17; 22 -7 3 10 +7 -39 -34 5 44 +39

Ú г) 82 ׀ х-37 39=׀ Ú в) 5 -48׀ х 46=׀ 5 х=84 -64 5 х=20 х=4 5 х=84+64 5 х=148 х=29, 6 -64 84 28 х=37 -93 28 х=-56 х=-2 28 х=37+93 28 х=130 х=4 9/14 -93 37 +64 Ответ: 4; 29, 6 +93 Ответ: -2; 4 9/14

д) 8 -65׀ х 63׀+׀ х+144 653=׀ Ú 56 -8 х=0 -8 х=-56 х=7 -4 36 х+144=0 36 х=-144 х=-4 7 х<-4 -4≤х≤ 7 х>7 56 -8 х-36 х-144=356 56 -8 х+36 х+144=356 8 х-56+36 х+144=356 -44 х=444 28 х=156 44 х=268 х=-10 ¹/¹¹ х=5 4/7 х=6 ¹/¹¹ (х<-4 ) (х>7) Ответ: -10 ¹/¹¹; 5 4/7

е) 2׀ х-16 5׀ +׀ х+20 3׀+ ׀ х-30 003= ׀ Ú 2 х-16=0 5 х+20=0 х=-4 х=8 8 -4 3 х-30=0 х=10 10 х<-4 -4≤х≤ 8 8≤х≤ 10 х>10 16 -2 х-5 х-20 -3 х+30=300 2 х-16+5 х+20+30 -3 х=300 -10 х=274 16 х-2 х+5 х+20+30 -3 х=300 2 х-16+5 х+20+3 х-30=300 х=-27, 4 12 х=266 10 х=326 (х<-4) х=22 1/6 х=32, 6 (х>10) Ответ: -27, 4; 32, 6

ж) 51׀ х-105 21׀+׀ х-288 635=׀ Ú 15 х-105=0 15 х=105 х=7 Ú х<7 105 -15 х-12 х+288=536 -27 х=142 х=-5 8/27 (х <7) 12 х-288=0 12 х=288 х=24 7≤х≤ 24 15 х-105 -12 х+288=536 3 х=353 х=117 2/3 Ú Ответ: -5 8/27; 34 10/27 24 7 х>24 15 х-105+12 х-288=536 27 х=928 х=34 10/27 (х>24)

з) 21 -63׀ х 5׀-׀ х+20 7׀-׀ х-35 042=׀ Ú х=3 х=-4 -4 Ú х<-4 -4≤х≤ 3 -12 х+36 + 5 х-20 -5 х-20 + 7 х-35 +7 х-35 0 х=240 -10 х=259 х=-25, 9 Ответ: нет решения х=5 3 3≤х≤ 5 12 х-36 -5 х-20 +7 х-35 14 х=331 х=23 9/14 5 х>5 12 х-36 -5 х-20 -7 х +35 0 х=240

Подготовили: Ильясов Алишер, Исмагулова Камилла. Класс: 6 «Д» Проверила: Канцева Алевтина Сергеевна