РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКЕ

РЕШЕНИЕ КРИСТАЛЛОГРАФИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА СЕТКЕ ВУЛЬФА Положим перед собой сетку Вульфа так, как это показано на рисунке. В дальнейшем будем иметь в виду, что никакие построения на сетке не производятся задачи целиком решаются на листке кальки или восковки, наложенном на сетку. Чтобы иметь возможность всегда приводить кальку относительно сетки в одно и то же исходное положение, отмечаем на кальке центр сетки точкой с четырьмя черточками в виде креста, не доходящими до самой точки. Кроме того, у правого конца горизонтального диаметра сетки ставится небольшая черточка, проведенная вне круга проекций. Черточка справа будет служить нулевым индексом для долгот φ=0°, а центральная точка рисунка местом нуля для полярных расстояний ρ=0°.

Первая сферическая координата долгота φ отсчитывается , по кругу проекций от нулевого индекса по часовой стрелке (на сетке каждое деление соответствует 2°, каждый десятый градус выделен жирной линией). Вторая сферическая координата полярное расстояние ρ отсчитывается от центра сетки. Необходимо условиться, что в дальнейшем изображенные на сетке дуги меридианов и параллелей будут служить лишь вспомогательными линиями. Истинный полюс сетки находится в ее центре ρ=0°, истинный экватор совпадает с кругом проекций, а из истинных меридианов на сетке изображены только два вертикальный и горизонтальный диаметры сетки.

Задача I. Построить стереографическую проекцию направления, заданного сферическими координатами φ и ρ. Например, пусть некоторое направление А задано сферическими координатами φ =165° и ρ = 68°: А (165°, 68°). Требуется найти стереографическую проекцию этого направления. Для решения задачи делаем следующее: 1. накладываем кальку на сетку и ставим на ней центральный крестик и черточку нулевого индекса для φ; 2. от нулевого индекса для φ по кругу проекций (по часовой стрелке) отсчитываем первую сферическую координату долготу φ (165°) и отмечаем результат на внешнем круге вспомогательной точкой (см. рис); 3. вращением кальки (центр кальки при этом всегда должен совпадать с центром сетки) совмещаем найденную вспомогательную точку с концом ближайшего диаметра сетки; 4. по этому диаметру от центра сетки в сторону вспомогательной точки отсчитываем вторую сферическую координату – полярное расстояние ρ (68°) и отмечаем найденную точку небольшим кружком; 5. возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку a. Изобразите стереографические проекции следующих направлений: В (309°, 55°), D (51°, 37°), Е (122°, 90°) и H (205°, 124°).

Задача 2 (обратная). Определить сферические координаты направления, заданного стереографической проекцией. Вращением кальки приводим заданную точку (стереографическую проекцию направления) на ближайший диаметр сетки. По этому диаметру от центра сетки до заданной точки отсчитываем сферическую координату ρ и отмечаем вспомогательной точкой на круге проекций тот конец упомянутого диаметра, в направлении которого лежит наша точка. Приводим кальку в исходное положение и по кругу проекций отсчитываем сферическую координату φ от нулевого индекса по часовой стрелке до вспомогательной точки. В кристаллографии эта задача обычно применяется при решении следующих вопросов: 1. Даны сферические координаты нормали к грани кристалла; требуется найти стереографическую проекцию нормали к грани, или, что то же самое, гномостереографическую проекцию самой грани. 2. Даны сферические координаты ребра кристалла или какого нибудь его характерного направления (например, оси симметрии); требуется построить стереографическую проекцию этого ребра (или направления).

Задача 3. Провести дугу большого круга через заданные стереографические проекции двух направлений. Например, провести дугу большого круга через стереографические проекции а и b направлений А (165°, 68°) и В (309°, 55°). Вращением кальки добиваемся того, чтобы обе заданные точки а и b оказались на одной из вспомогательных меридиональных дуг сетки Вульфа. Найденную дугу тщательно обводим карандашом и возвращаем кальку в исходное положение. Если заданные точки изображают гномостереографические проекции граней, то найденная дуга большого круга представляет гномостереографическую проекцию ребра, лежащего на пересечении обеих граней (для получения гномостереографической проекции ребра последнее заменяем плоскостью, к нему перпендикулярной, и находим стереографическую проекцию этой плоскости). Если заданные точки изображают стереографические проекции ребер, то найденная дуга большого круга является стереографической проекцией грани, в плоскости которой лежат упомянутые ребра. Проведите на кальке также дуги bd и ad через заданные выше точки.

Задача 4. Измерить угол между двумя направлениями, заданными их стереографическими проекциями (например, угол между направлениями А и В). Как и при решении предыдущей задачи, вращением кальки совмещаем данные точки а и b с одной из меридиональных дуг сетки Вульфа (задача 3). Отсчитываем по этой меридиональной дуге количество градусов, заключенных между точками а и b (рис. ). В результате получаем AB = 113°*. Если заданные точки представляют собой гномостереографические проекции граней, то измеренный угол является углом между нормалями к этим граням. Если же заданные точки являются стереографическими проекциями ребер, то измеренный угол есть угол между этими ребрами.

Домашнее задание: 1. Написать инструкцию для определения угла между двумя проекциями заданными точкой и крестиком.

Задача 5. Найти полюс дуги большого круга, заданной на стереографической проекции (под полюсом дуги разумеют точку, равноотстоящую от всех точек дуги на 90°). Например, требуется найти полюс дуги ab (см. рис. ). Вращением кальки совмещаем заданную дугу аb с соответствующей меридиональной дугой сетки Вульфа. Отсчитываем по горизонтальному диаметру сетки от точки пересечения заданной дуги с этим диаметром по направлению к центру сетки 90° (перейдя за него) и отмечаем кружком найденную точку. Возвращаем кальку в исходное положение и надписываем точку Раb. Найденная точка Раb, как легко проверить, действительно является полюсом дуги аb. Если заданная дуга представляет собой стереографическую проекцию грани, то найденный полюс дуги является стереографической проекцией направления, перпендикулярного к этой грани, или, что то же самое, гномостереографической проекцией самой грани. Если заданная дуга является гномостереографической проекцией ребра, то полюс дуги представляет собой стереографическую проекцию того же ребра.

Задача 6 (обратная). По заданному полюсу найти дугу большого круга, отвечающую его экватору. Вращением кальки приводим заданный полюс на горизонтальный диаметр сетки. Отсчитываем по горизонтальному диаметру в направлении центра сетки 90° (перейдя за него) и обводим проходящую здесь меридиональную дугу. Эта последняя будет искомой экваториальной дугой относительно заданного полюса. Если заданный полюс выражает гномостереографическую проекцию грани, то найденная экваториальная дуга соответствует стереографической проекции той же грани. Если заданный полюс представляет стереографическую проекцию ребра, то найденная дуга отвечает его гномостереографической проекции. Рекомендуем обратить особое внимание на решение задач 5 и 6, так как именно они содержат механизм переходов от стереографической проекции к гномостереографической и обратно.

Задача 7. Измерить угол между двумя дугами больших кругов. Например, требуется измерить угол между дугами ab и ad (см. рис. ). Вращением кальки совмещаем точку пересечения дуг а (вершину измеряемого угла) с горизонтальным диаметром сетки. Приняв эту вершину за полюс, приводим отвечающую ему экваториальную дугу (задача 6). Количество градусов, заключенное в этой дуге между точками пересечения с ней двух заданных дуг, и является величиной искомого угла. Если заданные дуги больших кругов являются стереографическими проекциями граней, то измеренный угол представляет собой угол между гранями. На рисунке угол при вершине а равен 65°, при вершине b 75° и при вершине d 116°.

Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние а (задача на построение малого круга). Сущность задачи сводится к следующему. Вокруг некоторого направления, стереографическая проекция которого отвечает заданной на проекции точке, имеется множество направлений, отклоненных от первого на один и тот же угол а и образующих в совокупности конус с углом раствора 2α. Пусть заданная точка лежит внутри круга проекций (например, точка b (309°, 55°). Требуется построить вокруг нее как стереографического центра малый круг заданного радиуса (α = 30°). Для этого совмещаем заданную точку с какой либо параллелью, изображенной на сетке Вульфа, отсчитываем по меридиональной дуге сетки, проходящей через исходную точку, вверх и вниз угловое расстояние α и отмечаем полученные при этом две точки. Вращением кальки приводим заданную точку на какую либо другую параллель сетки и снова аналогичным путем получаем пару новых точек. Стереографическая проекция исходного направления является только стереографическим, а не геометрическим центром (геометрический центр совпадает со стереографическим лишь в том частном случае, когда это направление совмещено с осью проекций). Это и составляет основную трудность данной задачи.

Задача 8. Построить геометрическое место точек, образующих с заданной на проекции точкой одно и то же угловое расстояние а (продолжение). Повторяем такой прием до тех пор, пока полученные точки не начнут совершенно отчетливо обрисовывать окружность. Эта последняя может быть вычерчена с помощью одной из параллелей сетки Вульфа, кривизна которой соответствует искомому кругу. Для этого центр кальки сдвигается с центра сетки, и часть построенных точек совмещается путем наложения с упомянутой параллелью, по которой в несколько приемов вычерчивается, в конце концов, требуемый малый круг. Решение задачи чрезвычайно упрощается при наличии циркуля. Поворотом кальки приводим заданную точку на горизонтальный диаметр сетки и отсчитываем вправо и влево от нее требуемый угол а. Взяв геометрическую середину найденного отрезка, принимаем ее за центр и вычерчиваем требуемый круг. Если исходная точка лежит слишком близко к кругу проекций задача решается по трем точкам, из которых две берутся по соответствующему меридиану сетки. В частном случае, когда заданная точка лежит на внешнем круге проекций (ρ= 90°), достаточно привести ее поворотом кальки на один из полюсов, изображенных на сетке Вульфа, отсчитать в любую сторону по кругу (или по любой вспомогательной меридиональной дуге сетки) требуемый угол и прочертить соответствующую параллель сетки. Наконец, в случае совпадения заданной точки с центром проекций отсчитываем по обоим диаметрам сетки угловые расстояния α и по четырем найденным точкам строим искомую окружность. Построение малых кругов широко используется при решении за дач, когда по двум заданным точкам и по углам между ними и третьей искомой точкой требуется изобразить эту последнюю (задача 10). В заключение приведем две кристаллографические задачи, в решении которых широко используются указанные приемы.

Задача 9. Найти проекции всех направлений, полученных действием оси симметрии четвёртого порядка на заданное. Задано направление А (50°, 32°) и ось симметрии четвёртого порядка, которая совпадает с направлением 4 (122°, 60°). Эта ось повернёт направление А вокруг себя на элементарный угол поворота и даст ещё три направления А 1, А 2 и А 3. Таким образом, задача сводится к последовательным поворотам проекции А на угол 90. Такие повороты удобнее всего отсчитывать по шкале долгот φ вокруг оси, проекция которой совпадает с центром круга проекций. Для этого необходимо повернуть существующую плоскость проекций таким образом, чтобы ось симметрии оказалась в центре круга проекций. Но при этом повернётся и направление А. Нанесите проекции А и 4 на кальку в соответствии с заданными координатами. Поверните кальку так, чтобы проекция оси 4 вышла на горизонтальный диаметр сетки Вульфа. Отсчитайте по горизонтальному диаметру угловое расстояние от т. 4 до центра круга проекций ρ0 – это будет требуемый угол поворота плоскости проекций. Не вращая кальку, отсчитайте по параллели, на которой лежит т. А в ту же сторону найденный угол и поставьте т. А’. При повороте плоскости проекций все направления прочертят на поверхности сферы параллели, а их проекции переместятся по параллелям сетки Вульфа на заданный угол поворота плоскости проекций. Точка А’ является проекцией направления А на новый круг проекций, который перпендикулярен оси 4. Теперь угол поворота вокруг оси 4 можно отсчитывать по шкале долгот φ.

Задача 9. Найти проекции всех направлений, полученных действием оси симметрии четвёртого порядка на заданное (продолжение). Наклонное направление А’ нельзя сразу повернуть на элементарный угол поворота, т. к. нет шкалы отсчета. Для осуществления такого поворота нужно: 1. Вывести т. А’ на горизонтальный диаметр, отсчитать полярный угол ρ1 и сделать вспомогательную отметку на окружности. Эта отметка есть стереографическая проекция направления, лежащего в плоскости проекций, которое , в свою очередь, является обычной проекцией направления А’ на эту плоскость. 2. По кругу отсчитайте φ=90 и сделайте отметку на большом круге. Снова поверните кальку так, чтобы эта отметка вышла на горизонтальный диаметр и отсчитайте угол в сторону от окружности к центру круга проекций. Поставьте точку и пометьте её как т. А’ 1. 3. Следующие повороты на 180 и 270 выполняются также как и поворот на 90 в т. А’ 1. 4. Верните плоскость проекций в исходное положение. Для этого поверните кальку так, чтобы проекция оси 4 вышла на горизонтальный диаметр сетки Вульфа. По параллелям, на которых лежат точки А’ 1 …А’ 3, отсчитайте угол ρ1 в сторону от центра к проекции оси 4, и поставьте точки А 1 …А 3. Найденные проекции являются результатом действия оси симметрии 4 на направление А.

Задача 10. Даны измеренные на гониометре сферические координаты следующих граней кристалла (табл. 2). Требуется: 1) изобразить гномостереографические и стереографические проекции всех граней (задачи 1 и 6); 2) измерить углы между гранями (задачи 4 и 7); 3) изобразить гномостереографические и стереографические проекции ребер (задачи 3 и 5); 4) найти сферические координаты ребер и измерить углы между ребрами (задачи 2, 4 и 7). Сферические координаты Грани φ, град ρ, град 1 — 0 2 11 42 3 101 42 4 191 42 5 281 42 6 56 90 7 146 90 8 236 90 9 326 90

Задача 11. Построить гномостереографическую проекцию кристалла по углам между нормалями к граням. (Именно такие углы, как известно, измеряются на однокружном отражательном гониометре. Они же легко находятся и посредством прикладного гониометра). Даны следующие углы между нормалями к граням(рис. ): B: C = 83°; B: P = 42°; P: С = 72°; Р: Q = 54°; В': O = 58°; B: В' = 180°; С: О = 54° Для проектирования данного кристалла придаем ему такую пространственную ориентировку, при которой грани В, Р, Q и В' становятся вертикальными и изобразятся на внешнем круге проекций. Проекцию одной из этих граней, например грани В, совместим с нулевым индексом для φ. В соответствии с рисунком кристалла отсчитываем по часовой стрелке углы между нормалями к граням В : Р = 42°, Р : Q = 54° и В : В' = 180°. Найденные на внешнем круге точки и будут проекциями этих вертикальных граней.

Далее по углам В : С = 83° и Р : С = 72° находим точку С. Для этого приводим сперва точку В в один из полюсов сетки Вульфа, отсчитываем по кругу проекции в любую сторону 83° и прочерчиваем соответствующую параллель сетки. Затем совмещаем с полюсом сетки точку Р, отсчитываем 72° и снова прочерчиваем параллель сетки. На пересечении двух полученных параллелей и находится проекция грани С (задача 8). Для нахождения проекции грани О совмещаем точку В' с одним из изображенных полюсов сетки, отсчитываем 58° и рисуем параллель. Далее принимаем за стереографический центр точку С и строим малый круг, радиусом в 54° (задача 8). Этот круг пересекает параллель, вычерченную вокруг В' в двух точках. В соответствии с рисунком, принимаем за проекцию грани О ту из них, которая отвечает расположению грани на рисунке. В заключение предлагаем решить дополнительно следующие вопросы: 1. Определить сферические координаты граней В, Р, Q, В', С, О (задача 2). 2. Измерить угол между нормалями к граням С и О (задача 4). 3. Найти стереографические проекции ребер СВ и СР и определить их сферические координаты (задачи 3, 5, 2) *. 4. Построить стереографическую проекцию грани О (задача 6).