Скачать презентацию Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила Студентка Скачать презентацию Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила Студентка

Решение краевой задачи.ppt

  • Количество слайдов: 22

Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила: Студентка гр. 6 -ЭС-2 Логинова А. А. Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила: Студентка гр. 6 -ЭС-2 Логинова А. А.

Понятие краевой задачи Решение дифференциального уравнения – функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает Понятие краевой задачи Решение дифференциального уравнения – функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Выделяются общие и частные решения дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: где с - произвольные постоянные. Частное решение – такое решение, которое получается из общего при определенном значении произвольной постоянной c.

Понятие краевой задачи Для нахождения частного решения уравнения второго порядка вида: где , , Понятие краевой задачи Для нахождения частного решения уравнения второго порядка вида: где , , - заданные функции. требуется задать два условия. В зависимости от вида этих условий различают две задачи: задачу Коши, краевую задачу. В случае краевой задачи задаются значения искомой функции в каких-либо двух точках интервала интегрирования:

Решение краевой задачи методом конечных разностей (метод сеток) Алгоритм метода заключается в выполнении следующих Решение краевой задачи методом конечных разностей (метод сеток) Алгоритм метода заключается в выполнении следующих трех этапов: 1. Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения; 2. Замена дифференциального оператора не -которым разностным оператором, формулировка разностного аналога для граничных условий; 3. решение полученной в результате осущест-вления первых трех этапов алгебраической системы линейный уравнений.

Первый этап метода конечных разностей Требуется найти решение дифференциального уравнения на определенном отрезке. Выбираем Первый этап метода конечных разностей Требуется найти решение дифференциального уравнения на определенном отрезке. Выбираем произвольное число разбиений отрезка – n. Тогда получим (n+1) узел разностной сетки:

Первый этап метода конечных разностей Шаг сетки h определяется по формуле: Сами узлы вычисляются Первый этап метода конечных разностей Шаг сетки h определяется по формуле: Сами узлы вычисляются так: Узлы сетки , - граничные узлы, - внутренние узлы разност-ной сетки.

Второй этап метода конечных разностей Второй этап - замена производных, входящих в данное дифференциальное Второй этап метода конечных разностей Второй этап - замена производных, входящих в данное дифференциальное уравнение, соответствующими конечно-разностными соотношениями. Для этого необходимо выразить значение первой производной в произвольном узле. Введем обозначения: Рассмотрим три последовательных узла сетки , , (рис. 1).

Второй этап метода конечных разностей (Рис. 1) у L M А 0 h h Второй этап метода конечных разностей (Рис. 1) у L M А 0 h h B C

Второй этап метода конечных разностей В треугольнике АВС стороны АС=2 h, ВС= , тогда Второй этап метода конечных разностей В треугольнике АВС стороны АС=2 h, ВС= , тогда Проведем касательную ML к кривой в точке Обозначим через угол наклона касательной с осью абсцисс. Как известно, касательная – это предельное положение секущей АВ, когда , поэтому при Согласно геометрическому смыслу производной, имеем. Сравнивая выражения , получим аппроксимацию первой производной: где - бесконечно малая порядка . (1)

Второй этап метода конечных разностей Для вывода формулы второй производной в разностном виде воспользуемся Второй этап метода конечных разностей Для вывода формулы второй производной в разностном виде воспользуемся тем, что , а первую производную запишем по формуле (1) в промежуточных узлах и : Окончательное выражение второй производной: (2)

Третий этап метода конечных разностей Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: где , Обозначим: Третий этап метода конечных разностей Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: где , Обозначим: , - заданные функции. , , Используя формулы (1) и (2), перепишем уравнение следующим образом: .

Третий этап метода конечных разностей Запишем полученное уравнение в следующей форме: , где Третий этап метода конечных разностей Запишем полученное уравнение в следующей форме: , где

Третий этап метода конечных разностей Записав уравнение для всех внутренних узлов сетки, получим систему Третий этап метода конечных разностей Записав уравнение для всех внутренних узлов сетки, получим систему линейных алгебраических уравнений, состоящую из (n-1) уравнений и содержащую (n+1) неизвестных. Недостающие два уравнения получаются из краевых условий.

Решение СЛАУ через обратную матрицу Окончательную полную конечно-разностную систему можно представить в матричном виде: Решение СЛАУ через обратную матрицу Окончательную полную конечно-разностную систему можно представить в матричном виде:

Решение СЛАУ через обратную матрицу Матрицу коэффициентов А выглядит следующим образом: Решение СЛАУ через обратную матрицу Матрицу коэффициентов А выглядит следующим образом:

Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Решение системы ищется в виде: , где Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Решение системы ищется в виде: , где - неизвестные прогоночные коэффициенты.

Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Следующим шагом является нахождение всех прогоночных коэффициентов. Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Следующим шагом является нахождение всех прогоночных коэффициентов. Нахождение соответствующих значений у осуществляется методом обратного хода с помощью равенств: , ,

Пример. Решение с помощью средств Ms. Excell Алгоритм решения с помощью средств Ms. Excell: Пример. Решение с помощью средств Ms. Excell Алгоритм решения с помощью средств Ms. Excell: 1. Построение таблицы для занесения дан-ных и произведения необходимых расче-тов; 2. В соответствующие ячейки заносятся первоначальные данные; 3. В следующие столбцы записываются со-ответствующие формулы и рассчитывают-ся значения , , a, c, b ,

Решение краевой задачи с помощью средств Ms. Excell 4. С помощью полученных значений a, Решение краевой задачи с помощью средств Ms. Excell 4. С помощью полученных значений a, c, b рассчитываются значения прогоночных коэффициентов. 5. С помощью использования формул и полученных значений прогоночных коэффициентов в столбце у вычисляются искомые решения уравнения. 6. Последний этап - проверка полученных значений подстановкой их в первоначальное уравнение.

Пример: Граничные условия: h=10. , , Пример: Граничные условия: h=10. , ,

Пример: Решение А В C D E F G a H c I b Пример: Решение А В C D E F G a H c I b K f L M N у Прове рка 0 1 -1 1 3 0 0 0 0 1 1, 1 -1, 1 1, 21 3, 3 0 1, 988 0, 945 0, 033 0, 475 -0, 017 -0, 038 0, 034 2 1, 2 -1, 2 1, 44 3, 6 1, 06 1, 986 0, 94 0, 036 0, 473 -0, 036 -0, 044 0, 031 3 1, 3 -1, 3 1, 69 3, 9 1, 065 1, 983 0, 935 0, 039 0, 632 -0, 052 -0, 017 0, 038 4 1, 4 -1, 4 1, 96 4, 2 1, 07 1, 980 0, 93 0, 042 0, 713 -0, 075 0, 055 0, 043 5 1, 5 -1, 5 2, 25 4, 5 1, 075 1, 977 0, 925 0, 045 0, 764 -0, 104 0, 183 0, 045 6 1, 6 -1, 6 2, 56 4, 8 1, 08 1, 974 0, 92 0, 048 0, 800 -0, 139 0, 376 0, 048 7 1, 7 -1, 7 2, 89 5, 1 1, 085 1, 967 0, 91 0, 051 0, 828 -0, 184 0, 644 0, 051 8 1, 8 -1, 8 3, 24 5, 4 1, 095 1, 964 0, 905 0, 054 0, 856 -0, 242 1 0, 054 9 1, 9 -1, 9 3, 61 5, 7 1, 1 1, 96 0, 9 0, 057 0, 884 -0, 317 1, 45 0, 058 10 2 -2 4 6 0 2 0 0, 06 0 2 2 0, 6

Пример: График Пример: График