Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила Студентка

Решение краевой задачи методом конечных разностей Выполнила: Студентка гр. 6 -ЭС-2 Логинова А. А.

Понятие краевой задачи Решение дифференциального уравнения – функция, которая, будучи подставлена в уравнение, обращает его в тождество. Выделяются общие и частные решения дифференциального уравнения. Общее решение дифференциального уравнения имеет вид: где с - произвольные постоянные. Частное решение – такое решение, которое получается из общего при определенном значении произвольной постоянной c.

Понятие краевой задачи Для нахождения частного решения уравнения второго порядка вида: где , , - заданные функции. требуется задать два условия. В зависимости от вида этих условий различают две задачи: задачу Коши, краевую задачу. В случае краевой задачи задаются значения искомой функции в каких-либо двух точках интервала интегрирования:

Решение краевой задачи методом конечных разностей (метод сеток) Алгоритм метода заключается в выполнении следующих трех этапов: 1. Замена области непрерывного изменения аргумента областью его дискретного изменения; 2. Замена дифференциального оператора не -которым разностным оператором, формулировка разностного аналога для граничных условий; 3. решение полученной в результате осущест-вления первых трех этапов алгебраической системы линейный уравнений.

Первый этап метода конечных разностей Требуется найти решение дифференциального уравнения на определенном отрезке. Выбираем произвольное число разбиений отрезка – n. Тогда получим (n+1) узел разностной сетки:

Первый этап метода конечных разностей Шаг сетки h определяется по формуле: Сами узлы вычисляются так: Узлы сетки , - граничные узлы, - внутренние узлы разност-ной сетки.

Второй этап метода конечных разностей Второй этап - замена производных, входящих в данное дифференциальное уравнение, соответствующими конечно-разностными соотношениями. Для этого необходимо выразить значение первой производной в произвольном узле. Введем обозначения: Рассмотрим три последовательных узла сетки , , (рис. 1).

Второй этап метода конечных разностей (Рис. 1) у L M А 0 h h B C

Второй этап метода конечных разностей В треугольнике АВС стороны АС=2 h, ВС= , тогда Проведем касательную ML к кривой в точке Обозначим через угол наклона касательной с осью абсцисс. Как известно, касательная – это предельное положение секущей АВ, когда , поэтому при Согласно геометрическому смыслу производной, имеем. Сравнивая выражения , получим аппроксимацию первой производной: где - бесконечно малая порядка . (1)

Второй этап метода конечных разностей Для вывода формулы второй производной в разностном виде воспользуемся тем, что , а первую производную запишем по формуле (1) в промежуточных узлах и : Окончательное выражение второй производной: (2)

Третий этап метода конечных разностей Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка: где , Обозначим: , - заданные функции. , , Используя формулы (1) и (2), перепишем уравнение следующим образом: .

Третий этап метода конечных разностей Запишем полученное уравнение в следующей форме: , где

Третий этап метода конечных разностей Записав уравнение для всех внутренних узлов сетки, получим систему линейных алгебраических уравнений, состоящую из (n-1) уравнений и содержащую (n+1) неизвестных. Недостающие два уравнения получаются из краевых условий.

Решение СЛАУ через обратную матрицу Окончательную полную конечно-разностную систему можно представить в матричном виде:

Решение СЛАУ через обратную матрицу Матрицу коэффициентов А выглядит следующим образом:

Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Решение системы ищется в виде: , где - неизвестные прогоночные коэффициенты.

Решение СЛАУ методом прогонки для трехдиагональных матриц Следующим шагом является нахождение всех прогоночных коэффициентов. Нахождение соответствующих значений у осуществляется методом обратного хода с помощью равенств: , ,

Пример. Решение с помощью средств Ms. Excell Алгоритм решения с помощью средств Ms. Excell: 1. Построение таблицы для занесения дан-ных и произведения необходимых расче-тов; 2. В соответствующие ячейки заносятся первоначальные данные; 3. В следующие столбцы записываются со-ответствующие формулы и рассчитывают-ся значения , , a, c, b ,

Решение краевой задачи с помощью средств Ms. Excell 4. С помощью полученных значений a, c, b рассчитываются значения прогоночных коэффициентов. 5. С помощью использования формул и полученных значений прогоночных коэффициентов в столбце у вычисляются искомые решения уравнения. 6. Последний этап - проверка полученных значений подстановкой их в первоначальное уравнение.

Пример: Граничные условия: h=10. , ,

Пример: Решение А В C D E F G a H c I b K f L M N у Прове рка 0 1 -1 1 3 0 0 0 0 1 1, 1 -1, 1 1, 21 3, 3 0 1, 988 0, 945 0, 033 0, 475 -0, 017 -0, 038 0, 034 2 1, 2 -1, 2 1, 44 3, 6 1, 06 1, 986 0, 94 0, 036 0, 473 -0, 036 -0, 044 0, 031 3 1, 3 -1, 3 1, 69 3, 9 1, 065 1, 983 0, 935 0, 039 0, 632 -0, 052 -0, 017 0, 038 4 1, 4 -1, 4 1, 96 4, 2 1, 07 1, 980 0, 93 0, 042 0, 713 -0, 075 0, 055 0, 043 5 1, 5 -1, 5 2, 25 4, 5 1, 075 1, 977 0, 925 0, 045 0, 764 -0, 104 0, 183 0, 045 6 1, 6 -1, 6 2, 56 4, 8 1, 08 1, 974 0, 92 0, 048 0, 800 -0, 139 0, 376 0, 048 7 1, 7 -1, 7 2, 89 5, 1 1, 085 1, 967 0, 91 0, 051 0, 828 -0, 184 0, 644 0, 051 8 1, 8 -1, 8 3, 24 5, 4 1, 095 1, 964 0, 905 0, 054 0, 856 -0, 242 1 0, 054 9 1, 9 -1, 9 3, 61 5, 7 1, 1 1, 96 0, 9 0, 057 0, 884 -0, 317 1, 45 0, 058 10 2 -2 4 6 0 2 0 0, 06 0 2 2 0, 6

Пример: График