Решение комбинаторных задач Размещения, перестановки, сочетания
Задача. Семь девушек водят хоровод. Сколькими различны ми способами они могут встать в круг? Решение. Если бы они стояли на месте, то получилось бы Pn=P 7=7! = 5040 перестановок. Перестановки кругу n различных предметов можно расположить по (n-1)! cпособами Pn=(7 -1)! = 6!=720 перестановок.
А теперь сосчитаем, сколько ожерелий можно составить из 7 различных бусин? По аналогии с только что решенной задачей можно подумать, что число различимых ожерелий равно 720. Но ожерелье можно не только повернуть по кругу, но и перевернуть (см. рис. ). Поэтому ответом на эту задачу является 720 : 2=360.
Пример. Вдоль дороги стоят 6 светофоров. Сколько может быть различных комбинаций их сигналов, если каждый светофор имеет 3 состояния: "красный", "желтый", "зеленый"? (Размещения с повторениями N=36=729)
Пример. Из урны, в которой находятся 3 красных шара, 3 синих и 2 зеленых, вынимают шар, отмечают его цвет и возвращают в урну. Всего эта операция проводится 5 раз. Сколько существует вариантов вытягивания шаров? (Размещения с повторениями. Всего 3 цвета шаров, вытаскивают 5 раз N=35=243)
Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, так, чтобы цифры в числе не повторялись? Перестановки без повторений Решение. Из данных четырех цифр можно составить Р = 3*3*2*1 перестановок. Числа, начинающиеся на нуль, не являются четырехзначными.
Пример. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 так, чтобы цифры в числе не повторялись? Размещения без повторений Решение. 6!/(6 -4)!=3*4*5*6=360 = все возможные комбинации. 5!/(5 -3)!=3*4*5=60 – кол-во комбинаций, где 0 на 1 месте. Ответ: 360 -60=300
Пример. Сколькими способами можно расставить белые фигуры (2 ладьи, 2 коня, 2 слона, ферзь и король) на первой линии шахматной доски? Решение. Первая линия шахматной доски представляет собой 8 клеток, на которых и надо расположить эти 8 фигур. Различные варианты расположения будут отличаться только порядком фигур, значит, это будут перестановки с повторениями Р 8 (2, 2, 2). Получаем способов :
Сколькими способами можно выбрать к предметов из n? Например: а) одновременно вынимают две карты из колоды: C = 36! / (36 - 2)!2! = (36 ∙ 35) / 2 = 630; б) наугад зачеркивают 6 чисел из 49: C = 49! / (43! ∙ 6!) = 13 980 000; в) случайно отбирают трех человек из 25: C = 25! / (22! ∙ 3!) = 2 300.
1. Имеется пять различных стульев и семь рулонов обивочной ткани различных цветов. Сколькими способами можно осуществить обивку стульев 2. Сколько существует четных пятизначных чисел, начинающихся нечетной цифрой? 3. Сколькими способами можно составить флаг, состоящий из трех горизонтальных полос различных цветов, если имеется материал пяти цветов? 4. Сколько существует различных номеров автомашин? 5. На рояле 88 клавиш. Сколькими способами можно извлечь последовательно 6 звуков? 6. Сколько есть шестизначных чисел, делящихся на 5? 7. Сколькими способами можно разложить 7 разных монет в три кармана? 8. Сколько можно составить пятизначных чисел, в десятичной записи которых хотя бы один раз встречается цифра 5? 9. Сколькими способами можно усадить 20 человек за круглым столом, считая способы одинаковыми, если их можно получить один из другого движением по кругу?
Скачать презентацию Решение комбинаторных задач Размещения перестановки сочетания Задача
Решение комбинаторных задач.ppt