Решение классических задач на оптимизацию Безусловный экстремум функции
Постановка задачи. Найти вектор при котором дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция достигает максимального или минимального значения: . Здесь Х– подмножество евклидова пространства Rn.
Решение основано на известных из курса математического анализа положениях: в точке экстремума функции 1) её частные производные равны нулю, т. е. 2) главные диагональные миноры матрицы Гессе
положительны – в точках локального минимума, а в точках локального максимума миноры четных степеней положительны, нечетных – отрицательны. Пример. Исследовать на экстремум функцию. Решение. 1). 2). Составим матрицу Гессе
3). Вычислим главные диагональные миноры матрицы Гессе в стационарной точке (2, 2): точка (2, 2) является точкой минимума функции, т. к. оба минора положительны.
Условный экстремум функции Постановка задачи. Найти вектор удовлетворяющий заданному условию, при котором дважды непрерывно дифференцируемая скалярная функция достигает максимального или минимального значения: или
Метод множителей Лагранжа Для решения задачи используется метод множителей Лагранжа, состоящий в переходе от задачи на отыскание условного экстремума функции f(x) к задаче определения безусловного экстремума функции Лагранжа: Если функции f(x) и gi(x)- дважды непрерывно дифференцируемы в заданной области, а - точка локального экстремума, то существует ненулевой вектор удовлетворяющий условиям:
где - векторы первых частных производных функции Лагранжа по xj , j=1, 2, …, n и , i=1, 2, …, m. Характер стационарных точек определяется с помощью матрицы из вторых частных производных функции Лагранжа по хj. В экономических задачах введенные факторы имеют определенное смысловое содержание: например, f (x) – прибыль предприятия при производстве n товаров xj , gi (x) – издержки i-го ресурса, - скорость изменения оптимума целевой функции в зависимости от изменения i-го ресурса (его оценка). Из-за сложности математического анализа характер стационарных точек в этих задачах определяется, исходя из смыслового содержания, геометрической интерпретации или априорных свойств целевой функции.
Пример
Скачать презентацию Решение классических задач на оптимизацию Безусловный экстремум функции
Решение классических задач на оптимизацию.ppt