Решение функциональных уравнений Ученик 11 Б класса Лицея № 130 Илюхин Павел
Проблема, актуальная для всех участников различных олимпиад: В региональных олимпиадах МГУ, Ур. ФУ и других вузов, в демовариантах ЕГЭ встречаются уравнения, содержащие функции. Решение таких уравнений не рассматривается на уроках.
Объект исследования: Функциональные уравнения. Предмет исследования: Методы решения функциональных уравнений.
Задачи: 1. 2. 3. Классифицировать функциональные уравнения по методам решения Рассмотреть как можно более широкий спектр методов решения функциональных уравнений Найти применение методов решения функциональных уравнений к решению олимпиадных задач
Методы решения ФУ 1. 2. 3. 4. Теоремы о функциональных уравнениях Решение функциональных уравнений методом разделения переменных Метод Коши О решении уравнений вида f(α(x))=f(β(x))
Теоремы о функциональных уравнениях ¡ Если четная функция определена на отрезке и возрастает (или убывает) при , то на данном отрезке уравнение равносильно совокупности уравнений и при условии, что и.
Теоремы о функциональных уравнениях Решить уравнение Решение: 1) 2) 3) x = f(x)
Решение функциональных уравнений методом разделения переменных. • Найдите все пары числовых функций f(x) и g(x), определенных на множестве всех действительных чисел и таких, что для любых х и у выполняется равенство. • Решение. 1) 2) 3)
Метод Коши • Найдите все функции f: N → N, для которых: а) f(1) = 1; б) f(x + у) = f(х) + f(у) + ху для всех. • Решение. При х = n, у = kn, где n, m — произвольные натуральные числа, а k = 1, . . . , m − 1, имеем равенства: f(2 n) = 2 f(n) + n 2, f(3 n) = f(n) + f(2 n) + 2 n 2, f(4 n) = f(n) + f(3 n) + 3 n 2, . . f(mn) = f(n) + f((m − l)n) + (m − 1)n 2.
Метод Коши f(mn) = mf(n) + (1 + 2 + 3 +. . . + (m − 1))n 2. Учитывая, что имеем равенство при n = 1 оно запишется так:
О решении уравнений вида f(α(x))=f(β(x)). ¡ ¡ Утверждение 1. Пусть функция f(u) строго монотонна (строго возрастает или строго убывает) на R. Тогда уравнение f(α(x)) = f(β(x)) равносильно уравнению α(x) = β(x). Утверждение 2. Пусть функция f(u) имеет область существования промежуток J, и пусть она строго монотонна на J. Тогда уравнение f(α(x))=f(β(x)) равносильно системе
О решении уравнений вида f(α(x))=f(β(x)). ¡ Решить уравнение 87 cos(x 2) + (8 – 6 x)4 = x 8 + 87 cos(8 – 6 x). Решение. x 8 – 87 cos(x 2) = (8 – 6 x)4 – 87 cos(8 – 6 x). f(x 2)=f(8 -6 x) , где f(t) = t 4 – 87 cost Значит, f(t) четная и возрастающая на f(t 1) = f(t 2)
Заключение ¡ ¡ ¡ За время работы над проектом я узнал много нового о функциональных уравнениях. Я познакомился c теоремами о функциональных уравнениях, с методами разделения переменных, методом Коши, методом подстановки и другими. Я понял принципы составления некоторых видов функциональных уравнений. Кроме этого, я решил много задач различных региональных олимпиад с помощью методов решения функциональных уравнений. Ранее эти задачи были мне непосильны. Материалы проекта полезны при подготовке к олимпиадам.
Список литературы ¡ ¡ ¡ Супрун В. П. Математика для старшеклассников: Задачи повышенной сложности. – М. : Издательство ЛКИ, 2008. – 200 с. Математика для старшеклассников. Нестандартные методы решения задач: Пособие для учащихся общеобразоват. учреждений / В. П. Супрун. – Мн. : «Аверсев» , 2003. – 254 с. Московская математическая олимпиада: задачи и решения окружного этапа: 11 класс – М. : Издательство МЦНМО, 2007. Супрун В. П. Математика для старшеклассников: Нестандартные методы решения задач. – М. : Книжный дом «ЛИБРОКОМ» , 2009. – 272 с. Прасолов В. В. Задачи по алгебре, арифметике и анализу: Учебное пособие. – М. : МЦНМО, 2007. – 608 с. : ил.
Спасибо за внимание
Скачать презентацию Решение функциональных уравнений Ученик 11 Б класса Лицея
Решение функциональных уравнений Илюхин Павел.ppt