Рене Декарт. Рассуждения о методе. Анализ работы “Геометрия”
Рене Дека рт (фр. René Descartes; лат. Renatus Cartesius — Картезий; 31 марта 1596, Лаэ (провинция Турень), ныне Декарт (департамент Эндр и Луара) — 11 февраля 1650, Стокгольм) — французский математик, философ, физик и физиолог, создатель аналитической геометрии и современной алгебраической символики, автор метода радикального сомнения в философии, механицизма в физике, предтеча рефлексологии.
Рассуждения о методе В 1637 году вышел в свет главный математический труд Декарта, «Рассуждение о методе» (полное название: «Рассуждение о методе, позволяющем направлять свой разум и отыскивать истину в науках» ). В этой книге излагалась аналитическая геометрия, а в приложениях — многочисленные результаты в алгебре, геометрии, оптике (в том числе — правильная формулировка закона преломления света) и многое другое.
В «Рассуждении о методе» Декарт сформулировал «главные правила метода» и отметил: «Я принял твердое решение постоянно соблюдать их без единого отступления» . Вот эти правила. p Первое: не принимать за истинное что бы то ни было, прежде чем не признал это несомненно истинным, т. е. старательно избегать поспешности и предубеждения и включать в свои суждения только то, что представляется моему уму так ясно и отчетливо, что никоим образом не может дать повод к сомнению. p Второе: делить каждую из рассматриваемых мною Второе: трудностей на столько частей, на сколько потребуется, чтобы лучше их разрешить. p Третье: руководить ходом своих мыслей, начиная с Третье: предметов простейших и легко познаваемых, и восходить мало-помалу, как по ступеням, до познания наиболее сложных, допуская существование порядка даже среди тех, которые в естественном порядке вещей не предшествуют другу.
И последнее: делать всюду настолько полные перечни и последнее: такие общие обзоры, чтобы быть уверенным, что ничего не пропущено» . Декарт подчеркивал, что в основе научной теории должны лежать ясные и простые принципы. Необходимо изучать, описывать, классифицировать явления природы, проводить эксперименты и математические расчеты. Изучая природу, нужно полагаться лишь на свои силы, а не ждать помощи свыше, божественного откровения. Эти взгляды ученого были несовместимы с теологией и схоластикой. К сочинению «Рассуждение о методе» Декарт написал три приложения, которые должны были разъяснить и проиллюстрировать его научный метод, — «Диоптрику» , «Метеоры» и «Геометрию» . Проблемы оптики, теории метеорологических явлений, математики были тесно связаны с практическими задачами, стоящими в то время перед мореплавателями, инженерами, астрономами, мастерами по изготовлению оптических инструментов. p
Особо следует отметить переработанную Декартом математическую символику Виета, с этого момента близкую к современной. Коэффициенты он обозначал a, b, c…, а неизвестные — x, y, z. Натуральный показатель степени принял современный вид (дробные и отрицательные утвердились благодаря Ньютону). Появилась черта над подкоренным выражением. Уравнения приводятся к канонической форме (в правой части — нуль). Символическую алгебру Декарт называл «Всеобщей математикой» , и писал, что она должна объяснить «всё относящееся к порядку и мере» . Создание аналитической геометрии позволило перевести исследование геометрических свойств кривых и тел на алгебраический язык, то есть анализировать уравнение кривой в некоторой системе координат. Этот перевод имел тот недостаток, что теперь надо было аккуратно определять подлинные геометрические свойства, не зависящие от системы координат (инварианты). Однако достоинства нового метода были исключительно велики, и Декарт продемонстрировал их в той же книге, открыв множество положений, неизвестных древним и современным ему математикам.
В приложении «Геометрия» были даны методы решения алгебраических уравнений (в том числе геометрические и механические), классификация алгебраических кривых. Новый способ задания кривой — с помощью уравнения — был решающим шагом к понятию функции. Декарт формулирует точное «правило знаков» для определения числа положительных корней уравнения, хотя и не доказывает его. Декарт исследовал алгебраические функции (многочлены), а также ряд «механических» (спирали, циклоида). Для трансцендентных функций, по мнению Декарта, общего метода исследования не существует. Комплексные числа ещё не рассматривались Декартом на равных правах с положительными, однако он сформулировал (хотя и не доказал) основную теорему алгебры: общее число вещественных и комплексных корней уравнения равно его степени. Отрицательные корни Декарт по традиции именовал ложными, однако объединял их с положительными термином действительные числа, отделяя от мнимых (комплексных). Этот термин вошёл в математику. Впрочем, Декарт проявил некоторую непоследовательность: коэффициенты a, b, c… у него считались положительными, а случай неизвестного знака специально отмечался многоточием слева.
Все неотрицательные вещественные числа, не исключая иррациональные, рассматриваются Декартом как равноправные; они определяются как отношения длины некоторого отрезка к эталону длины. Позже аналогичное определение числа приняли Ньютон и Эйлер. Декарт пока ещё не отделяет алгебру от геометрии, хотя и меняет их приоритеты; решение уравнения он понимает как построение отрезка с длиной, равной корню уравнения. Этот анахронизм был вскоре отброшен его учениками, прежде всего — английскими, для которых геометрические построения — чисто вспомогательный приём. Книга «Метод» сразу сделала Декарта признанным авторитетом в математике и оптике. Примечательно, что издана она была на французском, а не на латинском языке. Приложение «Геометрия» было, однако, тут же переведено на латинский и неоднократно издавалось отдельно, разрастаясь от комментариев и став настольной книгой европейских учёных. Труды математиков второй половины XVII века отражают сильнейшее влияние Декарта.
Геометрия “Геометрия” Декарта предназначена, как он говорил, не “для всех”, а для ученых, знакомых с классическими трудами по геометрии. В противоположность “Диоптрике” и “Метеорам” сочинение написано трудно, материал в нем расположен беспорядочно. Декарт сделал это с умыслом. По его словам, он опустил многие разъяснения для того, чтобы предоставить читателю удовольствие самому находить их. “Геометрия” состоит из 3 книг. В первой книге, в которой рассматриваются задачи, допускающие построение только циркулем и линейкой, изложены основы аналитической геометрии и буквенного исчисления Декарта. Вначале он объясняет, “как исчисление арифметики относится к построениям геометрии”. Здесь приводятся правила арифметических действий с прямолинейными отрезками.
Декарт заметил, что “часто нет нужды проводить эти линии на бумаге, а достаточно их обозначить какими-нибудь буквами, каждую линию одной буквой”. Поэтому он показывает дальше, “как можно употреблять буквенные обозначения в геометрии”. Известные величины он обозначает буквами a, b, с и т. д. , неизвестные - буквами x, y, z; результат умножения a на b записывается в виде ab, результат возведения в квадрат – в виде a 2, или aa, в куб-a 3, или aaa, и т. д. Буквы у Декарта обозначали только положительные величины. Корни изображались современным знаком, равенство – особым знаком, введенным самим Декартом(напоминает ∞). Декарт создавал свою алгебраическую символику не на пустом месте. Уже до него здесь были достигнуты значительные успехи.
Декарт ввел в математику переменную величину, которая, с одной стороны, представляет собой отрезок переменной длины, а с другой – его числовое выражение. Буквенная алгебра позволила производить арифметические операции над геометрическими объектами. Во второй книге “Геометрии” дается классификация кривых линий. Декарт считает, что в геометрии должны рассматриваться линии, который “описаны непрерывным движением или же несколькими такими последовательными движениями, из которых последующие вполне определяются им предшествующими”. Эти линии он называл “геометрическими”, а в последствии Лейбниц переименовал их в “алгебраические”.
Во второй книге “Геометрии” сделано одно важное замечание. Декарт упомянул здесь о том, что предложенный им метод координат может быть распространен и на случай трехмерного пространства. По его словам, мы можем представить пространственную кривую, спроектировав ее на две взаимно перпендикулярные плоскости, т. е. “проведя из каждой точки рассматриваемой кривой по два перпендикуляра к двум пересекающимся под прямым углом плоскостям”. Однако Декарт не ввел понятия координат точки и уравнения поверхности, что необходимо для построения аналитической геометрии в пространстве. Третья книга “Геометрии” содержит общую теорию решения уравнений. В конце третьей книги “Геометрии” разъясняется общий геометрический способ решения уравнений третьей, четвертой, пятой и шестой степеней.
Распространение и влияние «Геометрии» Сочинение «Рассуждение о методе» было опубликовано в 1637 г. на французском языке. Современники Декарта восприняли его «Геометрию» с большим энтузиазмом. Вскоре она была переведена на латинский язык — международный язык науки той эпохи. За короткое время «Геометрия» выдержала четыре издания. В семнадцатом столетии она была настольной книгой каждого творчески работающего математика. Декарт считал, что математика должна изучать лишь кривые, заданные алгебраическими уравнениями, потому что для исследования других линий нет общего метода. Примером алгебраической кривой может служить декартов лист. Его уравнение х3 + у3 — Зах у = 0. Между тем в математике большую роль играют и неалгебраические (трансцендентные) кривые: спираль Архимеда, квадратриса, трактриса, циклоида и другие. Декарт не включил их в свою «Геометрию» . Это ограничение Декарта преодолели Ньютона и Лейбниц, разработавшие во второй половине XVII века общие приемы исследования трансцендентных кривых. С помощью метода координат они стали изучать синусоиду, логарифметическую, показательную и другие функции. Метод координат плодотворно развивался дальше. Вскоре появилась ординат, а в XVIII веке и стереометрия; в XIX веке возникла «многомерная» геометрия, «бесконечномерная» геометрия в XX веке. Сегодня без метода координат невозможно себе представить ни математику, ни физику. Труды Декарта, его философские, математические и космологические идеи вызывают глубокий интерес и обсуждение в наши дни. В этом его величие ученого.
Скачать презентацию Рене Декарт Рассуждения о методе Анализ работы Геометрия
рене декарт рассуждения о методе.ppt