Скачать презентацию Релятивистское выражение для энергии По определению импульс Скачать презентацию Релятивистское выражение для энергии По определению импульс

Тема 9 Гарм Кол.ppt

  • Количество слайдов: 61

Релятивистское выражение для энергии По определению – импульс релятивистской частицы, а скорость изменения импульса Релятивистское выражение для энергии По определению – импульс релятивистской частицы, а скорость изменения импульса равна силе, действующей на частицу Работа силы по перемещению частицы идет на увеличение энергии частицы:

После интегрирования этого выражения получим релятивистское выражение для энергии частицы: (8. 5. 3) где После интегрирования этого выражения получим релятивистское выражение для энергии частицы: (8. 5. 3) где Е – полная энергия. При в системе координат, где частица покоится, выражение (8. 5. 3) преобразуется: (8. 5. 4) – энергия покоя частицы.

Именно утверждение о том, что в покоящейся массе (материи) огромные запасы энергии, является главным Именно утверждение о том, что в покоящейся массе (материи) огромные запасы энергии, является главным практическим следствием СТО E 0 – внутренняя энергия частицы (учитывающая все). Полная энергия в теории относительности складывается из энергии покоя и кинетической энергии (К). Тогда

Получим еще одно очень важное соотношение, связывающее полную энергию с импульсом частицы. Из уравнения Получим еще одно очень важное соотношение, связывающее полную энергию с импульсом частицы. Из уравнения (8. 5. 2) получим: Таким образом, получили инвариантное выражение, связывающее энергию и импульс.

8. 6. Взаимосвязь массы и энергии покоя Масса и энергия покоя связаны соотношением: (8. 8. 6. Взаимосвязь массы и энергии покоя Масса и энергия покоя связаны соотношением: (8. 6. 1) из которого вытекает, что всякое изменение массы m сопровождается изменением энергии покоя ΔE 0. Это утверждение носит название взаимосвязь массы и энергии покоя и стало символом современной физики.

Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории Взаимосвязь между массой и энергией оценивалась А. Эйнштейном как самый значительный вывод специальной теории относительности. По его выражению, масса должна рассматриваться как «сосредоточение колоссального количества энергии» . При этом масса в теории относительности не является более сохраняющейся величиной, а зависит от выбора системы отсчета и характера взаимодействия между частицами.

Определим энергию, содержащуюся в 1 г. любого вещества, и сравним ее с химической энергией, Определим энергию, содержащуюся в 1 г. любого вещества, и сравним ее с химической энергией, получаемой при сгорании 1 г. угля равной. Согласно уравнению Эйнштейна имеем Таким образом, собственная энергия в 3, 1· 108 раз превышает химическую энергию. Из этого примера видно, что если высвобождается лишь одна тысячная доля собственной энергии, то и это количество в миллионы раз больше того, что могут дать обычные источники энергии.

При взаимодействии частиц суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Пример: пусть две одинаковые по При взаимодействии частиц суммарная масса взаимодействующих частиц не сохраняется. Пример: пусть две одинаковые по массе частицы m движутся с одинаковыми по модулю скоростями навстречу другу и абсолютно неупруго столкнутся. До соударения полная энергия каждой частицы Е равна: Полная энергия образовавшейся частицы (эта новая частица имеет скорость Из закона сохранения энергии: ).

откуда М равно: (8. 6. 2) Таким образом, сумма масс исходных частиц 2 m, откуда М равно: (8. 6. 2) Таким образом, сумма масс исходных частиц 2 m, меньше массы образовавшейся частицы М! В этом примере, кинетическая энергия частиц превратилась в эквивалентное количество энергии покоя, а это привело к возрастанию массы

(это при отсутствии выделения энергии при соударении частиц). Выражение «масса покоя» можно употребить как (это при отсутствии выделения энергии при соударении частиц). Выражение «масса покоя» можно употребить как синоним «энергия покоя» . Пусть система (ядро) состоит из N частиц с массами m 1, m 2…mi. Ядро не будет распадаться на отдельные частицы, если они связаны друг с другом. Эту связь можно охарактеризовать энергией связи Eсв.

Энергия связи – энергия которую нужно затратить, чтобы разорвать связь между частицами и разнести Энергия связи – энергия которую нужно затратить, чтобы разорвать связь между частицами и разнести их на расстояние, при котором взаимодействием частиц друг с другом можно пренебречь: (8. 6. 3) где ΔМ – дефект массы. Видно, что Есв будет положительна, если

Это и наблюдается на опыте. При слиянии частиц энергия связи высвобождается (часто в виде Это и наблюдается на опыте. При слиянии частиц энергия связи высвобождается (часто в виде электромагнитного излучения). Например, ядро U 238 имеет энергию связи Eсв = 2, 9 10– 10 Дж 1, 8 109 э. В = 1, 8 Гэ. В.

Ядерные реакции Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или другим Ядерные реакции Ядерной реакцией называется процесс взаимодействия атомного ядра с элементарной частицей или другим ядром, приводящий к преобразованию исходного ядра. Например: Это реакция взаимодействия протона с ядром лития. Реакция протекает с выделением энергии.

Тема ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. 1. Виды и признаки колебаний 2. Параметры гармонических колебаний 3. Графики Тема ГАРМОНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ. 1. Виды и признаки колебаний 2. Параметры гармонических колебаний 3. Графики смещения скорости и ускорения 4. Основное уравнение динамики гармон колебаний. 5. Энергия гармонических колебаний 6. Гармонический осциллятор 18

Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Примеры колебательных процессов Круговая волна на поверхности жидкости, возбуждаемая точечным источником (гармонически колеблющимся шариком). Генерация акустической волны громкоговорителем. 19

Примеры колебательных процессов Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс Примеры колебательных процессов Поперечная волна в сетке, состоящей из шариков, скреплённых пружинками. Колебания масс происходят перпендикулярно направлению распространения волны. Возможные типы колебаний атомов в кристалле. 20

1. Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические 1. Виды и признаки колебаний В физике особенно выделяют колебания двух видов – механические и электромагнитные и их электромеханические комбинации, поскольку они чрезвычайно актуальны для жизнедеятельности человека. Для колебаний характерно превращение одного вида энергии в другую – кинетической в потенциальную, магнитной в электрическую и т. д. Колебательным движением (или просто колебанием) называются процессы, повторяющиеся во времени. Существуют общие закономерности этих явлений. Поэтому основные, учения о механических колебаниях, которые мы рассматриваем здесь, должны стать фундаментом для изучения любых видов колебаний. 21

Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Говоря о колебаниях или осцилляциях Различные колебательные процессы описываются одинаковыми характеристиками и одинаковыми уравнениями. Говоря о колебаниях или осцилляциях тела, мы подразумеваем повторяющееся движение его туда и обратно по одной и той же траектории. Иными словами колебательное движение является периодическим. Простейшим примером периодического движения служат колебания груза на конце пружины. ) Рисунок 1 22

Рисунок 1 x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв Рисунок 1 x = 0 – положение равновесия; Fвн – внешняя растягивающая сила; Fв – возвращающая сила; A – амплитуда колебаний. Fв = – kx (1 - закон Гука) Знак минус означает, что возвращающая сила, всегда противоположна направлению перемещения x Постоянная k в формуле (1) называется жесткостью 23 пружины. F = + kx

Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной Из приведенного примера следуют три признака колебательного движения: повторяемость (периодичность) – движение по одной и той же траектории туда и обратно; ограниченность пределами крайних положений; действие силы, описываемой функцией F = – kx. 24

Примеры колебательных процессов В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии) скорость и Примеры колебательных процессов В случае абсолютно упругого столкновения шаров (нет потерь энергии) скорость и угол отклонения крайних шаров одинаковы, а все промежуточные шары находятся в покое. В реальности общая энергия системы со временем уменьшается за счет трения о воздух, нагревания шаров, возбуждения акустических волн и т. д. В результате амплитуда отскока крайних шаров уменьшается, а центральные шары начинают совершать колебательные движения. 25

Примеры колебательных процессов Упругое столкновение некоторого тела с баллистическим маятником: при движении маятника его Примеры колебательных процессов Упругое столкновение некоторого тела с баллистическим маятником: при движении маятника его продольная ось остаётся параллельной самой себе, а центр масс движется по окружности. Амплитуда колебаний баллистического маятника пропорциональна скорости налетающего тела. 26

Примеры колебательных процессов Столкновение абсолютно упругого шара с пружинным осциллятором. Со временем колебания затухают, Примеры колебательных процессов Столкновение абсолютно упругого шара с пружинным осциллятором. Со временем колебания затухают, часть энергии системы перейдет в тепло 27

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. • Простейшим типом периодических колебаний являются так называемые гармонические колебания. • Любая колебательная система, в которой возвращающая сила прямо пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком (например, F = – kx), совершает гармонические колебания. • Саму такую систему часто называют 28 гармоническим осциллятором.

Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто Рассмотрение гармонических колебаний важно по двум причинам: колебания, встречающиеся в природе и технике, часто имеют характер, близкий к гармоническому; различные периодические процессы (повторяющиеся через равные промежутки времени) можно представить как наложение гармонических колебаний. Периодический процесс можно описать уравнением: По определению, колебания называются гармоническими, если зависимость некоторой величины имеет вид (2) или Здесь синус или косинус используются в зависимости от условия задачи, 29 А и φ – параметры колебаний, которые мы рассмотрим ниже.

2. Параметры гармонических колебаний • Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой 2. Параметры гармонических колебаний • Расстояние груза от положения равновесия до точки, в которой находится груз, называют смещением x. • Максимальное смещение – наибольшее расстояние от положения равновесия – называется амплитудой и обозначается, буквой A. определяет смещение x в данный момент времени t и называется фазой колебания. • называется начальной фазой колебания при. • Фаза измеряется в радианах. Т. к. синус и косинус изменяются в пределах от +1 до – 1, то х может принимать значения от +А до –А (рисунок 30 2)

Рисунок 2 31 Рисунок 2 31

32 32

 • Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например • Движение от некоторой начальной точки до возвращения в ту же точку, например от к и обратно в , называется полным колебанием. • Частота колебаний ν определяется, как число полных колебаний в 1 секунду. Частоту, измеряют в герцах (Гц): • 1 Гц = 1 колеб. в секунду. (3) • Т – период колебаний – минимальный промежуток времени, по истечении которого повторяются значения всех физических величин, (4) характеризующих колебание 33

 • ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. • ω – циклическая (круговая) частота – число полных колебаний за 2π секунд. (5) • Фаза φ не влияет на форму кривой х(t), а влияет лишь на ее положение в некоторый произвольный момент времени t. • Гармонические колебания являются всегда синусоидальными. • Частота и период гармонических колебаний не зависят от амплитуды. 34

 • Смещение описывается уравнением тогда, по определению: (6) скорость (7) ускорение – амплитуда • Смещение описывается уравнением тогда, по определению: (6) скорость (7) ускорение – амплитуда скорости; – амплитуда ускорения. 35

3. Графики смещения скорости и ускорения Уравнения колебаний запишем в следующем виде: (8) Из 3. Графики смещения скорости и ускорения Уравнения колебаний запишем в следующем виде: (8) Из этой системы уравнений можно сделать следующие выводы: 36

 скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение скорость колебаний тела максимальна и равна амплитуде скорости в момент прохождения через положение равновесия ( ). При максимальном смещении ( скорость равна нулю. ) Ускорение равно нулю при прохождении телом положения равновесия и достигает наибольшего значения, равного амплитуде ускорения при наибольших смещениях. 37

Рисунок 3 38 Рисунок 3 38

Найдем разность фаз φ между фазами смещения х и скорости υx. , (9) то Найдем разность фаз φ между фазами смещения х и скорости υx. , (9) то есть скорость опережает смещение на π/2. Аналогично можно показать, что ускорение в свою очередь опережает скорость по фазе на π/2: (10) Тогда ускорение опережает смещение на π, или (11) 39 то есть, смещение и ускорение находятся в противофазе

4. Основное уравнение динамики гармонических колебаний • Исходя из второго закона, , можно записать 4. Основное уравнение динамики гармонических колебаний • Исходя из второго закона, , можно записать (12) сила F пропорциональна х и всегда направлена к положению равновесия (поэтому ее и называют возвращающей силой). Период и фаза силы совпадают с периодом и фазой ускорения. • Примером сил удовлетворяющих (12) являются упругие силы. Силы же имеющие иную природу, но удовлетворяющие (12) называются квазиупругими. (13) Квазиупругая сила где k – коэффициент квазиупругой силы. 40

Сравнивая (12) и (13) видим, что Получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими Сравнивая (12) и (13) видим, что Получим основное уравнение динамики гармонических колебаний, вызываемых упругими силами: или ; , тогда Основное уравнение динамики гармонических колебаний Решение этого уравнения всегда будет выражение вида 41

Круговая частота колебаний но тогда Период колебаний 42 Круговая частота колебаний но тогда Период колебаний 42

5. Энергия гармонических колебаний Рисунок 4 Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой, которую 5. Энергия гармонических колебаний Рисунок 4 Потенциальная энергия тела U, измеряется той работой, которую произведет возвращающая сила 43

, отсюда • Потенциальная энергия или (14) • Кинетическая энергия (15) • Полная энергия: , отсюда • Потенциальная энергия или (14) • Кинетическая энергия (15) • Полная энергия: , или (16) Полная механическая энергия гармонически колеблющегося 44 тела пропорциональна квадрату амплитуды колебания.

Колебания груза под действием сил тяжести Максимум потенциальной энергии, Максимум кинетической энергии но когда Колебания груза под действием сил тяжести Максимум потенциальной энергии, Максимум кинетической энергии но когда , и наоборот. 45

При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную При колебаниях совершающихся под действием потенциальных (консервативных) сил, происходит переход кинетической энергии в потенциальную и наоборот, но их сумма в любой момент времени постоянна. Рисунок 6 46

На рисунке 7 приведена кривая потенциальной энергии Рисунок 6 К=Е-U 47 На рисунке 7 приведена кривая потенциальной энергии Рисунок 6 К=Е-U 47

6. Гармонический осциллятор 1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно 6. Гармонический осциллятор 1. Пружинный маятник – это груз массой m, подвешенный на абсолютно упругой пружине с жесткостью k, совершающий гармонические колебания под действием упругой силы Рисунок 8 48

Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx получим уравнение Из второго закона Ньютона F = mа; или F = - kx получим уравнение движения маятника: (17) или Решение этого уравнения – гармонические колебания вида: циклическая частота ω период Т 49

2 Математическим маятником – называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую 2 Математическим маятником – называется идеализированная система, состоящая из невесомой, нерастяжимой нити, на которую подвешена масса, сосредоточенная в одной точке (шарик на длинной тонкой нити). • При отклонении маятника от вертикали, возникает вращающий момент (18) • Уравнение динамики вращательного движения для маятника: Момент инерции маятника -угловое ускорение 50

Тогда , или Обозначим : Уравнение движения маятника (19) - Это уравнение динамики гармонических Тогда , или Обозначим : Уравнение движения маятника (19) - Это уравнение динамики гармонических колебаний. Решение уравнения (1. 5. 3) имеет вид: Т – зависит только от длины маятника и ускорения свободного падения. 51

3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг 3 Физический маятник – это твердое тело, совершающее под действием силы тяжести колебания вокруг неподвижной горизонтальной оси, проходящей через точку подвеса О, не совпадающую с центром масс С Вращающий момент маятника: l – расстояние между точкой подвеса и центром инерции маятника О-С. Обозначим: J – момент инерции маятника относит. точки подвеса 52 O.

- угловое ускорение, тогда Уравнение динамики вращательного движения , где – приведенная длина физического - угловое ускорение, тогда Уравнение динамики вращательного движения , где – приведенная длина физического маятника – это длина такого математического маятника, период колебания которого совпадает с 53 периодом колебаний данного физического маятника.

 • Точка называется центром качаний • Применяя теорему Штейнера, получим: Рисунок 10 всегда • Точка называется центром качаний • Применяя теорему Штейнера, получим: Рисунок 10 всегда больше l. Точки и всегда будут лежать по обе стороны от точки С. 54

Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости. На этом свойстве основано Точка подвеса О маятника и центр качаний обладают свойством взаимозаменяемости. На этом свойстве основано определение ускорения силы тяжести g с помощью так называемого оборотного маятника. Это такой маятник, у которого имеются две точки подвеса и два груза, которые могут перемещаться вдоль оси маятника. 55

 • Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых углов • Все приведенные соотношения для математического и физического маятников справедливы для малых углов отклонения (меньше 15°), когда мало отличается от длины хорды (меньше чем на 1%). 56

Комплексная форма представления гармонических колебаний Уравнение гармонических колебаний Сделаем замену: x = e λt Комплексная форма представления гармонических колебаний Уравнение гармонических колебаний Сделаем замену: x = e λt Продифференцировав, получаем: Уравнение примет вид: После сокращения на экспоненту - характеристическое уравнение, корни которого дадут общее решение однородного ДУ 58

Корни характеристического уравнения – мнимые: λ = ± i ω0 Общее решение однородного ДУ Корни характеристического уравнения – мнимые: λ = ± i ω0 Общее решение однородного ДУ В силу вещественности функции х(t) имеем (х = х*): В результате условия на коэффициенты С 1, С 2: 59

Представим их в комплексной форме Z = ρ e i φ, где в качестве Представим их в комплексной форме Z = ρ e i φ, где в качестве модуля выбрано значение А/2: Тогда выражение для функции х имеет вид 60

Из формул Эйлера Получаем выражение для гармонических функций: И выражение для функции х приобретает Из формул Эйлера Получаем выражение для гармонических функций: И выражение для функции х приобретает вид - гармоническое колебание. 61