Скачать презентацию Рекурсивные и рекурсивноперечислимые множества l До сих Скачать презентацию Рекурсивные и рекурсивноперечислимые множества l До сих

рекурсивные множества.ppt

  • Количество слайдов: 19

Рекурсивные и рекурсивноперечислимые множества Рекурсивные и рекурсивноперечислимые множества

l До сих пор понятия примитивной рекурсивности, общей и частичной рекурсивности были определены лишь l До сих пор понятия примитивной рекурсивности, общей и частичной рекурсивности были определены лишь для функций. Теперь понятия будут перенесены на подмножества натуральных чисел, а также на множества некоторых других объектов.

l Подмножество А множества всех натуральных чисел N называется рекурсивным (примитивно рекурсивным), если характеристическая l Подмножество А множества всех натуральных чисел N называется рекурсивным (примитивно рекурсивным), если характеристическая функция множества А частично рекурсивна (соответственно примитивно рекурсивна).

l Характеристическая функция множества А (в современной терминологии - индикатор А) - функция f l Характеристическая функция множества А (в современной терминологии - индикатор А) - функция f (x), определённая на некотором множестве Е, содержащем множество А, и принимающая значение f (x) = 1, если x принадлежит множеству А, и значение f (x) = 0, если x не принадлежит ему.

l Так как все примитивно рекурсивные функции частично рекурсивны, то каждое примитивно рекурсивное множество l Так как все примитивно рекурсивные функции частично рекурсивны, то каждое примитивно рекурсивное множество рекурсивно.

l Проблемой вхождения для числового множества А называется задача отыскания алгоритма, который по стандартной l Проблемой вхождения для числового множества А называется задача отыскания алгоритма, который по стандартной записи (например, десятичной) произвольного набора числа а позволяет узнать, входит число а в А или нет, то есть позволяет вычислять значения характеристической функции множества А.

l В силу тезиса Чёрча существование такого алгоритма равносильно рекурсивности характеристической функции. Поэтому можно l В силу тезиса Чёрча существование такого алгоритма равносильно рекурсивности характеристической функции. Поэтому можно сказать, что рекурсивные множества – это множества с алгоритмически разрешенной проблемой вхождения.

Свойства примитивных и примитивно рекурсивных множеств l 1. Функция пустого множества и множества всех Свойства примитивных и примитивно рекурсивных множеств l 1. Функция пустого множества и множества всех натуральных чисел N являются постоянные одноместные функции 1 и 0. Эти функции примитивно рекурсивные. Поэтому и множества: пустое и натуральных чисел также примитивно рекурсивны.

l 2. Характеристической функцией для конечного множества чисел { а 1 , . . l 2. Характеристической функцией для конечного множества чисел { а 1 , . . . , аn } (а 1<а 2<. . . <аn) служит примитивно рекурсивная функция sg (ǀx-а 1ǀ ǀх-а 2ǀ … ǀх-аnǀ) Поэтому каждое конечное множество натуральных чисел примитивно рекурсивно.

l Множество А называется рекурсивно перечислимым, если существует двуместная примитивно рекурсивная функция f (a, l Множество А называется рекурсивно перечислимым, если существует двуместная примитивно рекурсивная функция f (a, x) такая, что f (a, x)=0 имеет решение х тогда и только тогда, когда а ϵ А.

Следствие 1. l Каждое примитивно рекурсивное множество рекурсивно перечислимо. Следствие 1. l Каждое примитивно рекурсивное множество рекурсивно перечислимо.

Следствие 2. Пусть F(a, x 1, . . . , xn) - примитивно рекурсивная Следствие 2. Пусть F(a, x 1, . . . , xn) - примитивно рекурсивная функция от переменных a, x 1, . . . , xn. Множество тех значений параметра а для которых уравнение F(a, x 1, . . . , xn)=0 (1) имеет хоть одно решение x 1, . . . , xnявляется рекурсивно перечислимым.

Теорема 1. l Непустое множество А тогда и только тогда рекурсивно перечислимо, когда оно Теорема 1. l Непустое множество А тогда и только тогда рекурсивно перечислимо, когда оно совпадает с совокупностью всех значений некоторой примитивно рекурсивной функции.

Теорема 2. l Сумма и пересечение конечного числа рекурсивно перечислимых множеств являются рекурсивно перечислимыми Теорема 2. l Сумма и пересечение конечного числа рекурсивно перечислимых множеств являются рекурсивно перечислимыми множествами.

Доказательство. Пусть множество Аi – множество тех значений параметра а, для которых существует решение Доказательство. Пусть множество Аi – множество тех значений параметра а, для которых существует решение х уравнения fi(a, x)=0 (i=1, 2, . . . , n), где fi-некоторая примитивно рекурсивная функция. Тогда совокупность значений параметра а, при которых относительно х1, . . . , хn разрешимо уравнение f 1(a, x 1)·. . . ·fn(a, xn)=0 (4) или соответственно уравнение f 1(a, x 1)+. . . +fn(a, xn)=0, (5) будет объединение или пересечение множеств Аi.

Так как левые и правые части уравнений (4) и (5) примитивно рекурсивны, то согласно Так как левые и правые части уравнений (4) и (5) примитивно рекурсивны, то согласно следствию 2 объединение и пересечение множеств Аi рекурсивно перечислимы.

Теорема 3 (Пост). l Если какое-нибудь множество А рекурсивно перечислимо и его дополнение А' Теорема 3 (Пост). l Если какое-нибудь множество А рекурсивно перечислимо и его дополнение А' также рекурсивно перечислимо, то множества А и A' рекурсивны.

Доказательство. Пусть множества А и А' являются совокупностями тех значений параметра а, для которых Доказательство. Пусть множества А и А' являются совокупностями тех значений параметра а, для которых разрешимы уравнение f(a, x)=0 и соответственно уравнение g(a, x)=0, где f, g – примитивно рекурсивные функции. Так как для любого а одно из указанных уравнений заведомо разрешимо, то функция h(a)=μx( f(a, x) g(a, x)=0) (6) всюду определена и, следовательно, общерекурсивна.

Поэтому функция F(a)=sg f(a, h(a)) также общерекурсивна. Из формулы (6) видно, что F(a) – Поэтому функция F(a)=sg f(a, h(a)) также общерекурсивна. Из формулы (6) видно, что F(a) – характеристическая функция для А, и поэтому А и А' рекурсивны.