Рейтинговая система 3 -ий семестр Максимальный рейтинг составляет

Рейтинговая система 3 -ий семестр Максимальный рейтинг составляет 120 баллов. По рейтингу без экзамена можно получить « 4» и « 5» . « 4» – это 90 – 107 баллов. (или >0, 75 от максимального рейтинга) « 5» – это 108 – 120 баллов. (или >0, 9 от максимального рейтинга) Основная литература 1. Савельев И. В. Курс общей физики: учебное пособие для втузов: В 3 т. – 7 -е изд. , стереотип. – СПб. : Лань, 2007. Т. 2: Электричество и магнетизм. Волны. Оптика. – 496 с. 2. Сивухин Д. В. Общий курс физики: учебное пособие для вузов в 5 т. – М. : Физматлит, 2005 -2006. Т. 4: Оптика. – 3 -е изд. , стереотип. – М. : Физматлит, 2005. – 791 с. 3. Зисман Г. А. , Тодес О. М. Курс общей физики. В 3 -х тт. [Электронный ресурс] – СПб. : Лань, 2007. Т. 3: Оптика. Физика атомов и молекул. Физика атомного ядра и микрочастиц. – 6 -е изд. – 512 с. 1

Распределение максимального рейтинга по элементам контроля. Защита лабораторных работ – 4 х5=20 баллов. Зачет или ноль баллов за работу – доп. вопрос на экзамене. Решение тестов на практиках – 4 х3=12 баллов. Домашние задания – 4 х10=40 балла. Всего 4 индивидуальных задания по 6 -7 задач в каждом. Одна правильно решенная задача – 1 балл. Одна защищенная задача +1 балл. На зачет 3 решенные задачи. Теоретические коллоквиумы – 2 х24=48 баллов. 2 письменных коллоквиума. Теоретическая и практическая часть. ИТОГО: 120 баллов + баллы за активность на практиках и лекциях Допуск к экзамену – защита лабораторных работ. 2

Физика колебаний и волн Колебаниями называются процессы, которые обладают той или иной степенью повторяемости во времени. Колебания разделяют на свободные и вынужденные, автоколебания и параметрические колебания. Большинство физических систем нелинейны, однако, при малых отклонениях от положения равновесия они демонстрируют линейные свойства. Между колебательными процессами различной природы имеется аналогия. Колебания различной природы подчиняются одинаковым законам. Пример: колебания груза, подвешенного на пружине, и изменение заряда конденсатора в колебательном контуре происходят по одному и тому же закону. 3

Гармонические колебания и их характеристики Гармоническими называются такие колебания, при которых колеблющаяся величина изменяется со временем по закону косинуса (синуса). Гармонические колебания некоторой величины описываются уравнениями вида: или где А - амплитуда колебания, т. е. наибольшее положительное отклонение величины х от ее значения в состоянии равновесия; - круговая или циклическая частота; - фазы колебаний, характеризующие текущее отклонение величины x от равновесия. и При или , т. е. и - это начальные фазы колебаний. 4

где - частота колебаний (количество колебаний в единицу времени), T - период колебаний, или время полного колебания. Скорость и ускорение колеблющейся материальной точки. 5

Кинетическая энергия колеблющейся материальной точки массой m: Для определения потенциальной энергии П материальной точки, запишем выражение для силы F , действующей на точку. По второму закону Ньютона Поскольку , . Такая зависимость характерна для упругой силы. Работа этой силы при элементарном бесконечно малом изменении конфигурации системы (изменении x) равна приращению потенциальной энергии взятому со знаком минус: 6

Кинетическая и потенциальная энергии периодически изменяются от 0 до по гармоническому закону с частотой . Колебания энергий происходят в противофазе, а их сумма в любой момент времени одинакова (закон сохранения энергии). 7

Основное уравнение динамики гармонических колебаний Гармонический осциллятор Любую колебательную систему принято называть осциллятором, а если поведение осциллятора подчиняется гармоническому закону, то гармоническим осциллятором Если учесть, что , то Это дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Решение этого уравнения: Уравнение гармонического осциллятора является линейным, его решения подчиняются принципу суперпозиции. 8

Маятники (самостоятельно) Математический маятник Физический маятник Пружинный маятник 9

Представление колебаний посредством векторных диаграмм (метод векторных диаграмм) Рассмотрим произвольный вектор , образующий с осью x угол A 0 0 A 0 t x Координата этой проекции будет изменяться со временем по закону 0 x Следовательно, проекция конца вектора будет совершать гармоническое колебание – проекция вектора на опорную линию Таким образом, гармоническое колебание может быть задано с помощью вектора, длина которого равна амплитуде колебания, а направление вектора образует с осью угол, равный начальной фазе колебания. 10

Сложение гармонических колебаний, направленных вдоль одной прямой Пусть колебания заданы уравнениями и Оба вектора вращаются против часовой стрелки с одинаковой угловой скоростью 0 и постоянной разностью фаз 2 – 1 между ними (Два колебания, разность фаз между которыми не меняется со временем называются когерентными) Результирующее колебание должно быть гармоническим с частотой 0 11

В этом уравнении (вывести самостоятельно, используя теорему косинусов) Метод векторной диаграммы позволяет свести сложение нескольких гармонических колебаний одной частоты к операции сложения векторов. Выводы: а) Если разность фаз колебаний равна или кратна нечетному числу , т. е. колебания находятся в противофазе, то амплитуда результирующего колебания будет равна по модулю разности амплитуд . Колебания будут ослаблять друга. б) Если частоты колебаний различны, то векторы и будут вращаться с разными угловыми скоростями на векторной диаграмме. Результирующий вектор в этом случае уже не будет определять гармоническое колебание. Его величина и скорость вращения 12 будут меняться со временем.

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний Фигуры Лиссажу Сложение двух гармонических колебаний одинаковой частоты, происходящих во взаимно перпендикулярных направлениях вдоль осей x и y Начало отсчета выберем так, чтобы 1 = 0 ( = 2 – 1 = ) Для нахождения уравнения траектории результирующего колебания исключим из уравнений параметр t (вывести самостоятельно) После преобразований получим уравнение эллипса, оси которого ориентированы произвольно относительно осей х и у: 13

Параметры траектории определяются соотношением амплитуд и разностью фаз исходных колебаний Если , то уравнение преобразуется к виду Это каноническое уравнение эллипса с полуосями A и B 14

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения может иметь вид сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Пример: Пусть отношение частот взаимно перпендикулярных колебаний равно 1: 2 и разность фаз . Уравнения колебаний имеют вид 15

Электромагнитные колебания Для возбуждения и поддержания электромагнитных колебаний используется колебательный контур. Колебательный контур – это электрическая цепь, состоящая из последовательно включенных резистора сопротивлением . катушки индуктивностью , и конденсатора емкостью . Свободные электромагнитные колебания в контуре без активного сопротивления Рассмотрим идеализированный контур, сопротивление которого пренебрежимо мало ( ) L Закон Ома для этой цепи 3 2 1 В рассматриваемом случае

Напряжение на конденсаторе В итоге получим: Обозначим Это дифференциальное уравнение гармонических не затухающих колебаний в контуре. 17

Стадии колебательного процесса В конденсаторе В катушке Аналогия между электромагнитными колебаниями в контуре и механическими колебаниями Начало разрядки конденсатора Начинает течь ток Е=Пmax Конденсатор разряжен Ток максимален Е=Кmax Конденсатор перезаряжается Ток равен нулю Е=Пmax Конденсатор вновь разряжен Ток максимален и направлен противопол. Е=Кmax 18

Решение дифференциального уравнения колебаний: Заряд на обкладках конденсатора изменяется по гармоническому закону с частотой, определяемой параметрами контура L и C 0 ¯ называется собственной частотой контура и соответствует собственной частоте гармонического осциллятора. Формула Томсона Напряжение на конденсаторе 19

Выражение для тока в контуре Сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на – это волновое сопротивление (измеряется в Ом). 20

Свободные затухающие электрические колебания в контуре Реальный контур обладает активным сопротивлением. Энергия, запасенная в контуре, постепенно расходуется на этом сопротивлении на нагревание, вследствие чего свободные колебания затухают. I Разделим это уравнение на L и заменим ток I на заряд q Коэффициент затухания: Учтём Это дифференциальное уравнение затухающих колебаний в контуре. 21

Уравнение имеет действительное решение при т. е. при Это частота затухающих колебаний При R=0 получится выражение для собственной частоты незатухающих свободных колебаний в контуре. 22

При наличии активного сопротивления в контуре сила тока опережает по фазе напряжение на конденсаторе на угол больший, чем ( ). График подобен соответствующему графику для механических колебаний. 23

Для характеристики колебательной системы используют следующие параметры: 1. Логарифмический декремент затухания. Если и - амплитуды двух последовательных колебаний, которые соответствуют моментам времени, отличающимся на период, то отношение называется декремент затухания. Логарифм декремента затухания называется логарифмическим декрементом затухания (тета) - число колебаний, совершаемых за время уменьшения амплитуды в раз. Время , за которое амплитуда колебаний уменьшится в e раз, называется временем релаксации. 24

2. Добротность колебательной системы. При малых затуханиях следовательно, можно записать: Добротность колебательной системы пропорциональна числу колебаний , совершаемых за время релаксации. Добротность контура определяется ещё и по-другому Это отношение энергии в контуре в данный момент времени к убыли энергии за один период, следующий за этим моментом 25

При , т. е. при происходит апериодический разряд конденсатора Сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический, называется критическим сопротивлением UC t 26

Вынужденные электрические колебания в контуре Для компенсации потерь в колебательном контуре нужно оказывать на контур периодически изменяющееся воздействие. ε ~ Уравнение вынужденных электрических колебаний имеет вид: Это неоднородное линейное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний - амплитуда заряда на конденсаторе (пси) – разность фаз между колебаниями заряда и внешней э. д. с. 27

а) напряжение на изменяется в фазе с током; б) напряжение на индуктивности опережает по фазе ток на угол ; Установление колебаний Установившиеся колебания в) напряжение на емкости отстает по фазе от тока на угол . 28

Резонанс напряжений (последовательный контур) R – активное сопротивление цепи - реактивное сопротивление Полное сопротивление цепи (или импеданс): Резонанс напряжений (последовательный резонанс) при Х=0. При этом сдвиг фаз между током и напряжением обращается в нуль. Амплитуда тока максимальна: UC и UL одинаковы по величине и противоположны по фазе. 29

Резонанс напряжений (последовательный контур) Резонансная частота: Т. е. при резонансе на ёмкости и индуктивности можно получить напряжение с амплитудой Q·Umax в узком диапазоне частот 30

Резонанс токов ( параллельный контур) В цепях переменного тока содержащих параллельно включённые ёмкость и индуктивность наблюдается другой тип резонанса I 1 C I Токи I 1 и I 2 направлены в противоположные стороны. L I 2 Если то Imax 1 = Imax 2 и Imax = 0 Явление резкого уменьшения тока во внешней цепи приближении частоты приложенного напряжения к резонансной частоте рез называется резонансом токов или параллельным резонансом Imax рез 31

Переменный электрический ток Под действием внешнего напряжения: Ток в цепи изменяется по закону: Задача сводится к определению амплитуды силы тока и сдвига тока по фазе относительно напряжения U Векторная диаграмма напряжений в цепи 32

Только активное сопротивление определяет необратимые процессы в цепи, такие, например, как преобразование электромагнитной энергии в джоулеву теплоту Мощность, выделяющаяся в цепи переменного тока Мгновенное значение мощности равно произведению мгновенных значений напряжения и тока Практическое значение имеет среднее за период колебания значение мощности Учтём и запомним на будущее, что 33

Средняя за период мощность Из векторной диаграммы: Величины и называются действующими (или эффективными) значениями тока и напряжения. Все амперметры и вольтметры градуированы по действующим значениям тока и напряжения Множитель cos называется коэффициентом мощности 34

35

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник – это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой , подвешенной на невесомой нерастяжимой нити, и совершающая колебания под действием силы тяжести. Изобразим маятник в момент, когда нить подвеса отклонена влево от вертикали на угол , маятник движется влево. - неподвижная точка подвеса, - радиус-вектор. - сила тяжести, - сила натяжения нити, - ось, направленная от нас перпендикулярно плоскости рисунка Общая физика. «Физика колебаний и волн» 36

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник. Покажем расположение параметров колебательной системы в пространстве. - орт оси - угловая скорость. Вектор направлен вдоль оси вращения так, что образует правый винт с направлением движения маятника. - угловое ускорение. Направление вектора совпадает по направлению с вектором , если увеличивается, и направлено в противоположную сторону, если угловая скорость уменьшается. - момент силы тяжести Общая физика. «Физика колебаний и волн» 37

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник. Пренебрежем силами трения и сопротивления среды. Получим уравнение движения, применив основной закон вращательного движения твердого тела относительно оси - момент инерции точки относительно оси . Момент силы относительно оси равен нулю. Момент силы тяжести стремится возвратить маятник в положение равновесия. Общая физика. «Физика колебаний и волн» 38

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник. Величины, входящие в уравнение запишем следующим образом: Отсюда основной закон вращательного движения в проекции на ось может быть записан в виде: Общая физика. «Физика колебаний и волн» 39

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник. Знак «минус» означает, что действие силы тяжести направлено против движения маятника. Окончательно получим: , где Это нелинейное дифференциальное уравнение, описывающее движение математического маятника при любой величине угла отклонения от вертикали. Если рассматривать малые отклонения маятника от положения равновесия , то получим дифференциальное уравнение гармонических колебаний (при ): Общая физика. «Физика колебаний и волн» 40

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Математический маятник. В этом уравнении имеет смысл собственной круговой частоты малых колебаний математического маятника. Период этих колебаний определяется по формуле Решением полученного уравнения является известная формула гармонических колебаний Общая физика. «Физика колебаний и волн» 41

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Физический маятник – это твердое тело, совершающее в поле сил тяжести колебания относительно горизонтальной оси, которая проходит через точку, не совпадающую с центром инерции. - точка подвеса, - положение центра инерции тела, - расстояние от точки подвеса до центра инерции. - масса тела, Вывод уравнения движения физического маятника идентичен выводу уравнения движения математического маятника. Общая физика. «Физика колебаний и волн» 42

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Физический маятник. Отличие состоит в том, что в общем случае невозможно записать вид выражения для момента инерции маятника. Пусть собственная частота колебаний физического маятника выражается как Получим такие же уравнения, как и для математического маятника: решение: Общая физика. «Физика колебаний и волн» 43

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Физический маятник. Для физического маятника вводят понятие приведенной длины Приведенной длиной физического маятника . называется длина такого математического маятника, для которого Действительно, В итоге получим Общая физика. «Физика колебаний и волн» 44

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Пружинный маятник – это колебательная система, состоящая из груза массой , подвешенного на абсолютно упругой пружине и совершающего прямолинейные гармонические колебания в поле сил тяжести под действием упругой силы. Пусть груз сместился от положения равновесия вниз и продолжает движение вниз На груз действует сила тяжести и сила упругости деформированной пружины, пропорциональная смещению . от положения равновесия: - величина, называемая жесткостью пружины. Общая физика. «Физика колебаний и волн» 45

Кафедра физики ФИЗИКА КОЛЕБАНИЙ Гармонический осциллятор Пружинный маятник. Закон пружинного движения маятника: Отсюда уравнение колебаний маятника запишется в виде: Маятник совершает гармонические колебания по закону с собственной круговой частотой Приведенные примеры показывают, что различные механические системы совершают колебания, которые описываются одинаковыми уравнениями, т. е. ведут себя аналогичным образом. Общая физика. «Физика колебаний и волн» 46