Реализация методологических основ обучения решению задач на нахождение объемов многогранников Бесхлебная Ю. В. учитель математики МБОУ СОШ № 3 города Суража 2015
Анализ условия задачи Задача: Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды равен 2ϕ. Найдите объем пирамиды. Дано: АВСД- правильная треугольная пирамида, ДО=h, двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды равен 2ϕ Д Найти: V 1. Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче? 2. О какой пирамиде идет речь в задаче? 3. Как выполняется построение правильной пирамиды? 4. Что известно о пирамиде? 5. Что требуется найти? h А В О С
Анализ условия задачи Задача: Высота правильной треугольной пирамиды равна h, а двугранный угол, ребром которого является боковое ребро пирамиды равен 2ϕ. Найдите объем пирамиды. Дано: АВСД- правильная 1. Какое боковое ребро выберем, чтобы отметить угол 2 φ? треугольная пирамида, ДО=h, 2. Как строят угол двугранного угла? Найти: V 3. Как это построение будет выглядеть для нашей пирамиды? Д К h 2φ А А В О В К С С Д
Комментарий 1. Деятельность учащихся направлена на анализ условия задачи. 2. Самостоятельную успешность учащихся обеспечивают приемы: q. Специальная серия вопросов диалога (-Какая геометрическая фигура рассматривается в задаче? -О какой пирамиде идет речь в задаче? -Как выполняется построение правильной пирамиды? -Что известно о пирамиде? -Что требуется найти? -Какое боковое ребро выберем, чтобы отметить угол 2 φ? -Как строят угол двугранного угла? -Как это построение будет выглядеть для данной пирамиды ) q Оформление краткой записи с одновременными ответами учащихся, что дает возможность проследить этапы решения задачи. q Подчеркивание в тексте ответов на вопросы, что обеспечивает понимание. q Последовательное построение чертежа в соответствии с ответами учащихся, что дает возможность увидеть все связи. q Нанесение данных на чертеж, что помогает увидеть, каких данных не хватает, чтобы решить задачу. q Использование абстрактного чертежа, для повторения алгоритма построения линейного угла двугранного угла. q Конкретизация алгоритма построения на пирамиде с опорой на абстрактный чертеж, что обеспечивает умение переходить от общего к частному.
Д Поиск способа решения задачи Дано: АВСД- правильная треугольная пирамида, ДО=h, Найти: V h К 2φ А В V-? О С h а-? 1. Что нужно найти в задаче? 2. По какой формуле находится объем пирамиды? 3. Что нужно знать, чтобы найти объем? 4. Известны ли нам величины? 5. Что нужно знать, чтобы найти площадь основания? 6. Есть ли треугольник, из которого можно найти сторону основания? 7. Как поступаем в таком случае? нет Алгебраический метод
Д Поиск способа решения задачи Д К С 1. x 7. В L В 2φ 4. 6. Д О А DL-? В L 3. DB-? Д h О С 2. В K CK-? x 1. x треугольная пирамида, ДО=h, Найти: V K h Дано: АВСД- правильная Условие для составления уравнения 5. А Е C 9. С чего начинаем решение задачи алгебраическим методом? 10. Если выбрать ДВС, чтобы составить уравнение, то Какое условие выберем? Составьте схему уравнения 11. Что делаем дальше? Что обозначим за неизвестное? ( за х) 12. Как найти площадь треугольника ДВС? 13. Можно ли вычислить площадь иначе? 14. Что нужно знать чтобы найти S 1 ? 15. Из какой фигуры можно найти DL? 16. Что еще нужно знать, чтобы найти DL? 17. Из какой фигуры можно найти ДВ? 18. Как найти ДВ? 19. Вычислите самостоятельно S 2. 20. Итак нужные величины выразили через х. Сможем ли теперь составить уравнение? 21. Назовите план решения уравнения
Д Поиск способа решения задачи Дано: АВСД- правильная треугольная пирамида, ДО=h, Найти: V h К 2φ А В V-? О III. С h II. 8. а-? 1. Что нужно найти в задаче? 2. По какой формуле находится объем пирамиды? 3. Что нужно знать, чтобы найти объем? 4. Известны ли нам величины? 5. Что нужно знать, чтобы найти площадь основания? 6. Есть ли треугольник из которого можно найти сторону основания? 7. Как поступаем в таком случае? нет Алгебраический метод
Комментарий 1. Деятельность учащихся направлена на поиск способа решения задачи. 2. Самостоятельную успешность учащихся обеспечивают приемы: Специальная серия вопросов диалога (9. С чего начинаем решение задачи алгебраическим методом? 10. Если выбрать ДВС, чтобы составить уравнение, то какое условие выберем? Составьте схему уравнения. 11. Что делаем дальше? Что обозначим за неизвестное? ( за х)12. х ввели. Что делаем дальше? Какие величины нужны, и можно ли их выразить через х? 13. Как найти площадь треугольника ДВС? Можно ли вычислить площадь иначе? 14. Что нужно знать чтобы найти S 1 ? 15. Из какой фигуры можно найти DL? 16. Что еще нужно знать чтобы найти DL? 17. Из какой фигуры можно найти ДВ? 18. Как найти ДВ? 19. Вычислите самостоятельно S 2. 20. Итак нужные величины выразили через х. Сможем ли теперь составить уравнение? 21. Назовите план решения уравнения q. Метод анализа ( рассуждение от требования), что дает возможность наметить последовательность действий. q. Диалог сопровождает метод анализа. q. Граф-схема поиска, что позволяет увидеть и установить связи между величинами q. Вопрос «Как поступаем в таком случае? » , который мотивирует выбор алгебраического метода §Дополнительные построения, что позволяет установить связь между данными и искомыми величинами. q. Сохранение краткой записи и чертежа, так как они помогают. q. Выделение условия, на основе которого составляем уравнение. q. Самостоятельное нахождение площади треугольника. q. Составление плана решения задачи, дает возможность составить и решить уравнение относительно введенной неизвестной.
Д Оформление решения Дано: АВСД- правильная треугольная пирамида, ДО=h, Найти: V h К Решение 2φ ВI. 1. Пусть х – сторона основания пирамиды DABC Выразим все необходимые величины через х: А О 2. Рассмотрим прямоугольный ∆DOB, у которого DO=h (по условию), OB=R= Тогда по теореме Пифагора т. к. L 3. Рассмотрим прямоугольный ∆DLB: C ( т. к. LB- высота равнобедренного ∆DBC), (из п. 1). Тогда по теореме Пифагора 4. Рассмотрим ∆DBC у которого DL- высота, СВ- основание. Выразим площадь этого треугольника через х. . .
5. Рассмотрим равнобедренный ∆ АВС: пусть КЕ - высота ∆ АВС. Тогда рассмотрим прямоугольный ∆ КЕС: (КЕ-высота, биссектриса, медиана т. к Д ∆ АВС - равнобедренный). Имеем h К 2φ А 6. Выразим через х площадь ∆DBC , если DB-основание, CK- высота. ВI. О 7. Составим и решим уравнение: Основание треугольника и высоту связывает площадь, причем результат вычисления площади не зависит от способа вычисления, поэтому за условие для составления уравнения можно выбрать следующее: Имеем уравнение C
II. , т. к. в основании пирамиды лежит правильный ∆АВС. Получаем III. Находим объем пирамиды Ответ:
Комментарий 1. Деятельность учащихся направлена на оформление решения задачи. 2. Самостоятельную успешность учащихся обеспечивают приемы: q. Поэтапная запись решения в соответствии с составленным планом. q. Сохранение способа оформления алгебраического метода решения задачи. q. Возможность сравнить своё решение с решением на слайде, откорректировать свои действия, если это необходимо.
Д Подведение итогов 1. Какого типа рассматривалась задача? -геометрическая 2. С каких вопросов мы начинали рассуждение? h Какое боковое ребро выберем, чтобы отметить угол 2 φ? Как строят угол двугранного угла? 3. Можно ли построить угол двугранного угла другим способом? 4. Перечислите возможные варианты и наметьте пути дальнейшего построения. К W Да -Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно построить плоскость перпендикулярную ребру ДВ 1)Построим перпендикуляр ОW к ребру ДВ 2) через точку О построить FZ параллельно АВ 3)Тогда , т. к. ( , по построению), следовательно , значит В F А О 5. Каким методом решали задачу? Алгебраическим Q 6. Какое условие выбрали для составления схемы уравнения? ∆СДВ 7. Можно ли было, рассуждая подобным образом , решить задачу другим способом взяв за исходный «прозрачный» треугольник АКС? Да Z С Д 7. Что для этого нужно сделать? -Построить высоту КQ ∆АКС Тогда К С В х L
Комментарий 1. Деятельность учащихся направлена на подведение итогов 2. Самостоятельная успешность учащихся обеспечивают приемы: q Специальная серия вопросов диалога -Какого типа рассматривалась задача? -С каких вопросов мы начинали рассуждение? -Можно ли построить угол двугранного угла другим способом? -Перечислите возможные варианты и наметьте пути дальнейшего построения. -Каким методом решали задачу? -Какое условие выбрали для составления схемы уравнения? -Можно ли было, рассуждая подобным образом , решить задачу другим способом взяв за исходный «прозрачный» треугольник АКС? -Что для этого нужно сделать? q. Диалог направлен на поиск вариантов другого пути решения задачи q. Акцент делается на уже примененный способ, начиная с самого начала рассуждений (за основу берется другой треугольник). q. Линейный угол строится вторым способом, что обогащает опыт учащихся
Скачать презентацию Реализация методологических основ обучения решению задач на нахождение
33cc01877a682892c09281c07dc66660.ppt