Развитие понятия числа в ШКМ Методика изучения основных

Развитие понятия числа в ШКМ. Методика изучения основных числовых множеств.

План: Понятие числа. Основные этапы его развития в ШКМ. 2. Методика изучения натуральных чисел. 3. Изучение дробных чисел, десятичных дробей. 4. Изучение положительных и отрицательных чисел. Множество рациональных чисел. 5. Методика введения понятия об иррациональных числах. Действительные числа. 1.

1. Понятие числа относится к основным неопределяемым понятиям математики. Фактически это первая самостоятельная абстракция, отражающая, например, такое общее свойство различных множеств, как число элементов (5 яблок, 5 пальцев, 5 палочек – число 5). В математике развитие понятия числа, понятие о числовых множествах происходит на основе принципа расширения множества А до множества В. Этот принцип определяется следующими условиями: 1). Множество А содержится во множестве В; 2). На множестве В выполняются те же операции, что и на А, причем смысл этих операций не меняется; 3). На множестве В должна быть определена, т. е. выполнима, операция, которая на множестве А не выполнима или не всегда выполнима; 4). Расширение В должно быть максимальным из всех расширений А и определяться однозначно с точностью до изоморфизма. В ШКМ развитие числа происходит в иной последовательности. Таким образом, последовательности изучения числовых множеств в ШКМ отличается от логики развития понятия числа в математике. Такая последовательность отражает путь развития понятия числа в математике.

2. Первое знакомство с натуральными числами происходит в начальной школе. В 5 классе проводится систематизация и расширение сведений о натуральных числах. В итоге изучения натуральных чисел важно рассмотреть с учащимися вопрос о выполнимости на множестве натуральных чисел операций сложения, умножения, вычитания и деления и установить, что первые два выполняются всегда, а последние не всегда.

3. Первое расширение понятия числа в 5 классе является введение дробных чисел, которые изучаются до отрицательных. Одним из достаточно трудных моментов является введение понятия десятичной дроби. 3 дм 5 см = 3 5/10 дм = 35/100 м. В математической энциклопедии под десятичной дробью понимают дробь, знаменателем которой является целая степень числа 10, и указывают, что для таких дробей принята специальная форма записи. Для подготовки к введению определения и формы записи десятичных дробей, полезно вернуться к результатам измерения величин. 5 м 6 дм 8 см = (5+ 6 • 1/10 +8 • 1/100) м = 5 68/100 м.

4. В различных вариантах изложения ШКМ сочетается реально-конкретный и формально-логический подходы к введению понятия отрицательного числа. Первый опирается на связь с действительностью и конкретный представления учащихся; второй, связан с внутренними потребностями самой математики: с необходимостью выполнения операции вычитания и решения уравнения вида: х+а=в. Мотивация введения отрицательных чисел может отталкиваться от проблемной ситуации, которая основана на необходимости, вычесть из меньшего числа большее: 3+5=8; 3 • 5=15, 3: 5=0, 6; 3 -5=? (например, днем была температура 3 тепла, а к ночи понизилась на 50, какая была тем-ра ночью? ). С введение отрицательных чисел следует рассмотреть числовое множество, которое получено в результате добавления к положительным целым и дробным числам отрицательных чисел. И на этой основе сформировать и учащихся представление о множестве рациональных чисел. Необходимо показать из каких чисел это множество состоит, какие операции на нем всегда выполнимы, а также продемонстрировать справедливость законов сложения и умножения.

Учащиеся оперируют множеством рациональных чисел вплоть до 8 класса. Основная цель изучения темы «Действительные числа» состоит в том, чтобы систематизировать сведения о рациональных числах, ввести понятие иррациональных и действительных чисел, расширив тем самым представления о числах. Анализ методической литература для средней школы позволяет выделить два различных полхода к введению понятия иррационального числа. Первый подход реализуется по следующей схеме: первый шаг: предпринимается попытка к решению уравнения х2 – 2=0. Не удается найти такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2. Второй шаг: ставится задача отыскания такого числа, квадрат которого был бы близок к числу 2. Находя приближенные значения с точностью до 10 -ых, 1000 -ых и т. д. получают последовательность: 1; 1, 41; . 1, 4142… чисел, квадраты которых все более приближаются к числу 2. Ставится вопрос о том, закончится ли этот процесс приближения на какойто цифре или он бесконечен. Далее формулируется и обосновывается вывод о том, что не существует такого рационального числа, квадрат которого был бы равен 2. Т. е. процесс бесконечен (док-во от противного). Третий шаг: анализируется вид числа, полученного в виде бесконечного ряда приближений, и устанавливается, что это бесконечная непериодическая десятичная дробь. Четвертый шаг: вводится понятие иррационального числа. Пятый шаг: рассматривается множество действительных чисел, как расширение множества рациональных путем прибавлением к ним рациональных.

Второй подход: предусматривает следующую последовательность действий: 1. числа рассматриваются как результат измерения величин, демонстрируются примеры того, как в результате измерение отрезка, может быть получено целое, дробное, рациональное число; 2. ставится задача измерения отрезка равного: а) абсциссе точки графика функции у=х2 с ординатой равной 2; б) гипотенузе прямоугольного треугольника с катетами равными по 1; в) диагонали квадрата со стороной равной 1; г) равного стороне квадрата с площадью S=2. 3. устанавливается, что длина такого отрезка д. быть равна числу, квадрат которого равен 2, но отыскать такое положительное рациональное число не удается. 4. вводится понятие несоизмеримых отрезков и, т. о. , обосновывается необходимость расширение множества рациональных чисел, предпринимается попытка отыскания десятичного приближения длинны рассматриваемого отрезка; 5. исследуются возможные случаи для результатов измерения отрезков: бесконечные периодические дроби; бесконечные непериодические дроби. Используется возможность обращения обыкновенной дроби в периодическую и обратно; вводится понятие иррационального числа и множества действительных чисел.