РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ 1 • Разверткой называется

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ 1

• Разверткой называется плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с одной плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). • Приступая к изучению развертки поверхности, последнюю целесообразно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. • Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой. 2

ОСНОВНЫЕ СВОЙСТВА РАЗВЕРТКИ • Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; • Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; • Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; • Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; • Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. 3

РАЗВЕРТКА ПОВЕРХНОСТИ МНОГОГРАННИКОВ • Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью. • Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников. 4

Пример 1. Развертка пирамиды 5

• При построении развертки пирамида применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника - основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих. Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания. 6

7

Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом • Определяют натуральную величину основания пирамиды (например методом замены плоскостей проекций); • Определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S); • Строят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, 8 пристраивая к ней следующие.

• Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. • Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. • Примером первой точки на рисунках служит точка К 0 и К 0 SАD, а иллюстрацией второго случая являются точки М 0*. • Для определения точки К 0 на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ ( метод замены плоскостей проекций) и SК (метод вращения). • Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S 0 М 0 и, наконец, точки К 0. 9

Построение развертки пирамиды 10

Пример 2. Развертка призмы 11

• В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. • Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину. • Пересекая призму вспомогательной плоскостью α, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. • На примере она найдена методом вращения. 12

• В дальнейшем строим отрезок 10 -10*, равный периметру нормального сечения. • Через точки 10, 20, 30 и 10* проводят прямые, перпендикулярные 10 -10*, на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. • Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 10, отложены отрезки 10 D 0=14 D 4 и 10 А 0=14 А 4. • Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание. 13

РАЗВЕРТКА ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ПОВЕРХНОСТИ • Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. • Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму. • Чем больше углов в призме, тем точнее развертка ( при n →∞призма преобразуется в цилиндр). 14

Развертка цилиндрической поверхности 15

Развертка конической поверхности • Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус nугольную пирамиду. Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ=360 о r / l, где r – радиус окружности основания конуса. 16

17

Развертки кривых поверхностей По возможности развертываться в плоскость кривые поверхности делятся на развертываемые и условно-развертываемые. Развертки условноразвертываемых поверхностей могут быть произведены только приближенно. Разверткой прямого кругового конуса является сектор окружности с радиусом, равным длине образующей конуса и углом при вершине конуса. Разверткой прямого кругового цилиндра является прямоугольник шириной, равной высоте цилиндра и длиной, равной длине окружности основания. 18

Отсек цилиндрической поверхности вращения радиуса r и высотой h имеет разверткой прямоугольник со сторонами h и 2πr Разверткой конической поверхности вращения высотой h и основанием радиуса r является сектор радиуса c углом 19

Развертки неразвертываемых (условно-развертываемых) поверхностей могут быть осуществлены путем аппроксимации отсеков поверхностей. Аппроксимация – это приближенная замена отсеков неразвертываемой поверхности отсеками развертывемой поверхности. В качестве аппроксимирующих поверхностей используют плоскости, конические и цилиндрические поверхности. На рисунке представлена аппроксимация параболоида вращения цилиндрическими и коническими поверхностями. 20

Задача. Дана поверхность вращения. Построить ее развертку. Очевидно, данная поверхность не является развертывающейся и для нее можно построить лишь условную развертку. Разделим поверхность вращения осевыми плоскостями ∆i, где i = 1, 2, 3, …, на равное число частей (отсеков). Выберем одну из них (например, шестую часть), ограниченную проецирующими плоскостями ∆1 и ∆2 , имеющими горизонтальные следы ∆11 и ∆21. Примем очерковую линию t(t 1, t 2) за направляющую линию цилиндрической поверхности с отрезками ее фронтально проецирующих образующих между плоскостями ∆1 и ∆2. Отсеком этой поверхности выполнена аппроксимация выбранной части исходной поверхности. 21

В соответствии со схемой построения условной развертки выполним вторую аппроксимацию, заменив отсек цилиндрической поверхности отсеком призматической поверхности. Для этого выберем на направляющей t ряд точек, например S, 1, 2, 3, 4, 5, и проведем через них фронтально проецирующие образующие, например, АВ ∋ 5. Отрезки этих прямолинейных образующих между осевыми плоскостями ∆1 и ∆2 заменяют соответствующие отрезки параллелей (окружностей) исходной поверхности и являются ребрами призматической поверхности, а ломаная линия S 12345, вписанная в линию t , является направляющей линией этой поверхности. Точная развертка призматической поверхности, вписанной в цилиндрическую поверхность, будет служить приближенной разверткой описанной цилиндрической поверхности и условной разверткой отсека исходной поверхности 22 вращения.

Для построения развертки отсека вписанной призматической поверхности проведем в стороне от исходного КЧ горизонтальную линию и выберем на ней точку 5. По обе стороны от точки 5 отметим горизонтально и симметрично точки А и В такие, что АВ = А 1 В 1. Вертикально от точки А отложим отрезок 54 = 5242. Затем от точки 4 горизонтально и симметрично отметим точки С и D такие, что CD = C 1 D 1 и т. д. 23

В итоге построений получаем два ряда точек, симметричных относительно линии 5 S. Соединив точки каждого ряда лекальными кривыми, получим условную развертку выделенного отсека исходной поверхности. Присоединив к ней такие же (равные) развертки остальных отсеков, получим полную условную развертку поверхности. 24