Разрешимость алгебраических уравнений Выполнила студентка IV курса Чалбаева

Зарегистрируйтесь, чтобы просмотреть полный документ!

Разрешимость алгебраических уравнений Выполнила: студентка IV курса Чалбаева Ирина Научный руководитель: доцент, кандидат физико-матем. наук Яшина Елена Юрьевна

Целью моей работы является изучение Целью моей работы доказательства критерия разрешимости уравнений в радикалах, т. е. необходимого и уравнений в радикалах, достаточного условия, которое по коэффициентам a 0, a 1, …, an любого заданного уравнения позволяло бы судить, разрешимо ли данное уравнение в радикалах и его приложений.

Задачи: Рассмотреть понятие автоморфизмов простых расширений и их группу (G Р[α]), изучить доказательство теоремы о количестве элементов в G Р[α]; Проанализировать доказательство критерия разрешимости группы автоморфизмов; Рассмотреть применение теории Галуа к теории геометрических построений; Рассмотреть понятие симметрических функций и дискриминанта (вывести формулы дискриминанта для уравнений низших степеней); рассмотреть общее уравнение nстепени, а также решение уравнений низших степеней; Привести практическое вычисление групп Галуа конкретных уравнений

Данная работа состоит из 16 параграфов. В § 1 и § 2 даются ключевые понятия теории групп и полей. В этих параграфах теоремы рассматриваются без доказательства , за исключением теоремы о том, что S 1, S 2, S 3, S 4 – разрешимые группы, а Sn (n ≥ 5) неразрешимы, поскольку является особо значимой. В дальнейшем все теоремы приводятся с доказательством.

Основные определения Нормальное расширение (простое алгебраическое расширение Р[δ] поля Р называется нормальным, если существует полином f(x) над Р, такой что расширение поля совпадает с расширением с помощью корней полинома, т. е. Р[δ] = Р[β 1, …, βn], где { β 1, …, βn }- множество всех корней f(x)); Автоморфизмы простых расширений (пусть Р[α] – простое расширение поля Р. Биективное отображение f: Р[α] → Р[α] называется автоморфизмом, если: 1) а, b ϵ Р[α] f(а + b) = f(а) + f (b), т. е. образ суммы есть сумма образов; 2) f(а b) = f(а) f (b); 3) β ϵ Р f(β) = β ; У нормального расширения размерность совпадает с количеством элементов в группе автоморфизмов; ее называют группой Галуа нормального расширения P[α] Группы Галуа (пусть а 0 хn + a 1 xn-1 + …+an = 0 - алгебраическое уравнение, где аi ϵ Р, α 1, …, αn – его корни; группа автоморфизмов GP[α 1, …, αn] расширения P[α 1, …, αn] называется группой Галуа данного уравнения)

Основные теоремы Расширение Р[α] поля Р размерности n является нормальным ⇔ |G Р[α]| = n. Пусть Р 1 = Р[α] – нормальное расширение поля Р. Для того чтобы все элементы из Р 1 выражались в радикалах через Р необходимо и достаточно, чтобы группа автоморфизмов GР[α] была разрешимой. Пусть р – простое число; дано уравнение хр + а 1 хр-1 +…+ ар = 0 с корнями α 1, …, αр. f(x) = хр + а 1 хр-1 +…+ ар – полином над Q, неприводимый и имеющий ровно 2 невещественных корня. Тогда GQ[α , …, αn] ≈ Sp (Sp – группа подстановок ) 1

Также теория Галуа дает единый подход к решению классической задачи о том, какие фигуры можно построить циркулем и линейкой. Основная теорема геометрических построений: число ξ может быть построено ⇔ ξ пифагорово (имеет место и для комплексных чисел). Для применения теории Галуа удобно сформулировать ее в терминах теории полей: число ξ может быть построено ⇔ решение неприводимого уравнения над Р = R[α, β, …] с корнем ξ сводится к решению цепи квадратных уравнений, т. е. число ξ выражается в квадратных радикалах через элементы поля Р.

В § 11 более подробно рассматриваются пифагоровы расширения. Теорема: степень любого пифагорова расширения К поля Р является степенью 2, т. е. имеет вид dim. PK= 2 n (но для нормальных расширений имеет место и обратное утверждение, т. е. нормальное расширение К поля Р пифагорово ⇔ dim. PK= 2 n). И тогда важнейшим следствием является: корень ξ следствием неприводимого над Р многочлена f(x) является пифагоровым числом (т. е. может быть построен с помощью циркуля и линейки) ⇔ степень поля расширения многочлена f(x) является степенью 2.

В работе представлены конкретные задачи на построение: Ø задача об удвоении куба (построение невозможно) Ø задача о трисекции угла (построение в общем случае невозможно) Ø задача о построении правильного n-угольника ( построение правильного pa – угольника циркулем и линейкой возможно либо р=2, либо а=1 и число р является простым числом Ферма. Если числа n 1 и n 2 взаимно просты, то построение правильного n 1 n 2 – угольника возможно ⇔ возможно построение правильного n 1 -угольника и правильного n 2 – угольника)

В § 13 вводится понятие симметрических функций (пусть К – произвольное коммутативное кольцо с единицей; многочлен кольца К[х1, х2, …, хn] называется симметрической функцией переменных х1, х2, …, хn , если он переходит в себя при любой перестановке переменных х1, х2, …, хn ) и дискриминанта (практическое вычисление дискриминанта для уравнений 2, 3 и 4 степеней).

В § 14 рассматривается общее уравнение n-ой степени вида zn – u 1 zn-1 - … + (-1)nun = 0 (1), где u 1, …, un – неопределенные коэффициенты, присоединенные к полю К. В § 15 обсуждается вопрос о решении уравнений низших степеней (т. е. уравнений 2, 3 и 4 степеней). Далее приводятся примеры практического вычисления групп Галуа.

Рассмотрим решение уравнения 4 -ой степени, т. е. уравнение вида x 4 + px 2 + qx + r = 0 Композиционному ряду S 4 ⊃ А 4⊃ К ⊃ ϑ 2 ⊃ Е (где К – «четверная группа Клейна» , ϑ 2 – ее любая подгруппа порядка 2) соответствует ряд полей Δ ⊂ Δ( )⊂ Λ 1 ⊂ Λ 2⊂Σ. Поле Λ 1 порождается над Δ( ) таким элементом, который выдерживает подстановки из группы Клейна. Вот один из таких элементов: θ 1 = (х1 + х2) (х3 + х4). Указанный элемент выдерживает не только подстановки из группы Клейна, т. е. подстановки вида (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23), но подстановки (12), (1), (12)(34), (13)(24), (14)(23), (34), (1324), (1423), которые вместе с группой Клейна (34), (1324), (1423), составляют группу порядка 8.

Проверим, что элемент θ 1 = (х1 + х2) (х3 + х4) выдерживает подстановки из группы Клейна. (1): θ 1 = (х1 + х2) (х3 + х4) (12)(34): х1 х2 ; х3 х4 ; θ 1 = (х2 + х1) (х4 + х3) (12)(34) (13)(24): х1 х3 ; х2 х4 ; θ 1 = (х3 + х4) (х1 + х2) (13)(24) (14)(23): х1 х4 ; х2 х3 ; θ 1 = (х4 + х3) (х2 + х1) (14)(23): Проверим подстановки вида (12), (34), (1324), (1423). (12): х1 х2 ; θ 1 = (х2 + х1) (х3 + х4) (12) (34): х3 х4 ; θ 1 = (х1 + х2) (х4 + х3) (34): (1324): х1 х3 х2 х4 х1; θ 1 = (х3 + х4) (х2 + х1) (1324) (1423): х1 х4 х2 х3 х1; θ 1 = (х4 + х3) (х1 + х2) (1423)

Над полем Δ элемент θ имеет три различных сопряженных элемента, в которые он переводится подстановками из S 4 : θ 1 = (х1 + х2) (х3 + х4), θ 2 = (х1 + х3) (х2 + х4), θ 3 = (х1 + х4) (х2 + х3). Элемент θ 2 = (х1 + х3) (х2 + х4) выдерживает ) подстановки из группы Клейна и подстановки (13), (24), (1234), (1432). Элемент θ 3 = (х1 + х4) (х2 + х3) выдерживает также ) подстановки из группы Клейна и подстановки (14), (23), (1243), (1342). Каждый отдельный корень θ выдерживает группу из восьми подстановок, а все три корня выдерживают только группу Клейна.

Эти элементы являются корнями уравнения третьей степени: Θ 3 – b 1θ 2 + b 2θ – b 3 = 0, где bi – элементарные = 0 симметрические функции от θ 1 , θ 2 , θ 3 b 1 = 2 р b 2 = р2 - 4 r b 3 = -q 2 Тогда подставляя значения bi в уравнение, получаем Θ 3 – 2 р θ 2 + (р2 - 4 r)θ + q 2= 0 - кубическая резольвента уравнения четвертой степени, корни которого (θ 1 , θ 2 , θ 3) по формулам Кардано могут быть выражены через радикалы.

Получаем формулы решения общего уравнения четвертой степени: 2 х1 = х1+ х1 + (х1 + х2 + х3 + х4 ) = = ( х1 + х2 )+ (х1 + х3 )+ (х1 + х4) = + + 2 х2 = х2+ х2 + (х1 + х2 + х3 + х4 ) = ( х1 + х2 )+ (х2 + х4 ) + (х2 + х3) = - 2 х3 = х3+ х3 + (х1 + х2 + х3 + х4 ) = ( х3 + х4 )+ (х1 + х3 ) + (х2 + х3) = - + - 2 х4 = х4+ х4 + (х1 + х2 + х3 + х4 ) = ( х3 + х4 )+ (х2 + х4 ) + (х1 + х4) = - +

Дискриминант для уравнения третьей степени х3 + ах2 + bх + c вычисляется D = a 2 b 2 – 4 b 3 – 4 a 3 c + 18 abc – 27 c 2 Тогда дискриминант для уравнения четвертой степени будет равен D = (-2 p)2 (p 2 – 4 r)2 – 4(p 2 – 4 r)3 – 4(-2 p)3 q 2 + 18 (2 p)(p 2 - 4 r)q 2 – 27(q 2)2 = = 4 p 6 – 32 p 4 r + 64 p 2 r 2 – 4 p 6 + 48 p 4 r – 192 p 2 r 2 + 256 r 3 + 32 p 3 q 3 – 36 p 3 q 2 + 144 pq 2 r – 27 q 4 = = 16 p 4 r - 128 p 2 r 2 - 4 p 3 q 2 + 144 pq 2 r – 27 q 4+ 256 r 3

Вычисление групп Галуа Для вычисления групп Галуа неприводимых многочленов четвертой степени можно воспользоваться следующим правилом : 1) если дискриминант многочлена f(x) не является точным квадратом и многочлен кубической резольвенты g(θ)= θ 3 – 2 р θ 2 + (р2 - 4 r)θ + q 2 не имеет в поле Р корней, то группой Галуа многочлена f(x) является группа S 4; 2) если дискриминант многочлена f(x) является точным квадратом, но многочлен кубической резольвенты не имеет в поле Р корней, то группой Галуа многочлена f(x) является группа А 4; 3) если дискриминант многочлена f(x) не является точным квадратом, но многочлен кубической резольвенты имеет в поле Р хотя бы один корень, то группа Галуа многочлена f(x) является группа D 4 – группа Диэдра 4) если дискриминант многочлена f(x) является точным квадратом и все корни многочлена кубической резольвенты принадлежат полю Р, то группой Галуа многочлена f(x) является группа К 4.

1) Определить группу уравнения х4 + х2 + 1 = 0 – неприводимый над Q f(x) = х4 + х2 + 1 D = 144 = 122 ; g(θ)= θ 3 – 2θ 2 – 3θ = θ (θ 2 - 2 θ - 3). Тогда корнями кубической резольвенты будут θ 1 = 0; θ 2= 3; θ 3 =3. Значит, дискриминант многочлена f(x) является точным квадратом и все корни кубической резольвенты ϵ Q , тогда группой Галуа многочлена f(x) является группа К 4. 2) Определить группу уравнения х4 - 5 х2 + 6 = 0 – неприводимый над Q f(x) = х4 - 5 х2 + 6 D = 96; g(θ)= θ 3 +10 θ 2 + θ = θ (θ 2 + 10 θ + 1). Тогда корнями кубической резольвенты будут θ 1 = 0; θ 2, 3 = - 5 2. Значит, дискриминант многочлена f(x) не является точным квадратом и корень кубической резольвенты ϵ Q, тогда группой Галуа многочлена f(x) является группа D 4.

3) Определить группу уравнения х4 + 2 х2 + х + 3 = 0 - неприводимый над Q f(x) = х4 + 2 х2 + х + 3 D = 3301 g(θ)= θ 3 -4θ 2 -8 θ + 1. Группой Галуа данного уравнения является группа S 4. Рассмотрим вычисление группы Галуа для уравнения х4 + 2 х2 + х + 3 = 0 другим методом. Теорема: транзитивная группа подстановок n- ой степени, содержащая один двойной цикл и один (n - 1)-членный цикл, является симметрической Пусть дано уравнение х4 + 2 х2 + х + 3 = 0. По модулю 3 левая часть раскладывается в произведение х(х3 + 2 х + 1), а по модулю 5 – в произведение (х2 + 3 х + 2)(х2 + 2 х + 4). Действительно, (х2 + 3 х + 2)(х2 + 2 х + 4) = х4 + 2 х3+ 4 х2+ 3 х3 + 6 х + 12 х + 2 х2+ 4 х + 8 = (mod 5) х4 + 2 х2 + х + 3 Значит, группой Галуа данного является группа S 4 , поскольку транзитивная группа подстановок 4 - ой степени содержит один двойной цикл и один тричленный цикл.

За свою короткую жизнь Галуа успел создать теорию, которая до сих пор стоит в фокусе математической мысли. Рассматривая численные уравнения, он установил понятие их группы. Эта группа определяет для каждого уравнения алгебраическую структуру его корней.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ

Скачать презентацию Разрешимость алгебраических уравнений Выполнила студентка IV курса Чалбаева

ДИПЛОМ ПРЕЗЕНТАЦИЯ.pptx

Количество слайдов: 22