Разработала Свиридова Светлана ученица 11 я класса МБОУ

Разработала: Свиридова Светлана ученица 11 «я» класса МБОУ «Первомайская средняя общеобразовательная школа» в с. Новокленское Руководитель: Умрихина Зинаида Даниловна

1. Обобщить и систематизировать свои знания по теме «Логарифмы» ; 2. Расширить свои знания по данной теме; 3. Получить хорошую оценку по алгебре; 4. Более углубленно изучить работу с программой Microsoft Power. Point.

Поистине безграничны приложения показательной функции и логарифмической функций в самых различных областях науки и техники, а ведь придумывали логарифмы для облегчения вычислений. Более трёх столетий прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Они помогали Непером астрономам и инженерам, сокращая вычисления, и тем самым, как сказал знаменитый французский учёный Лаплас, «удлиняя жизнь вычислителям» . Ещё недавно трудно было представить инженера без логарифмической линейки в кармане; изобретённая через десяток лет после появления логарифмов Непера английским математиком Гунтером, она позволяла быстро получать ответ с достаточной для инженера точностью в три значащие цифры. Теперь её из инженерного обихода вытеснили микрокалькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы построены ни первые компьютеры, ни калькуляторы.

Простые уравнения вида можно решать с помощью графика, но как быть с более сложными уравнениями ? Для решения таких уравнений существует логарифм: , потому что Логарифмом положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠ 1, называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b.

Логарифм положительного числа b по основанию a, где a>0, a≠ 1 – это показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить b. при b>0, a≠ 1 (основное логарифмическое тождество). СВОЙСТВА: (При a>0, a≠ 1, b>0, c>0, r – любое действительное число) 1) 2) 3)

Графики логарифмической функции.

Десятичный логарифм числа – логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо Натуральный логарифм числа – логарифм этого числа по основанию e, где e – иррациональное число, приближенно равное 2, 7. При этом пишут ln b, вместо

Число е ≈ 2, 71828459 – одна из важнейших постоянных в математике. По определению, оно равно пределу последовательности при неограниченном возрастании n. Обозначение е ввёл Леонард Эйлер в 1736 г. Он вычислил первые 23 знака этого числа в десятичной записи.

Число е — иррациональное и трансцендентное. Доказательство трансцендентности числа е впервые дал французский математик Шарль Эрмит в 1873 г. Число е играет особую роль в математическом анализе. Показательная функция с основанием е, называемая экспонентой, — удивительная функция, производная которой равна ей самой:

Формула перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию: где b>0, a≠ 1, c>0, c≠ 1.

Свойства логарифмической функции: 1) Область определения логарифмической функции – множество всех положительных чисел; 2) Множество значений логарифмической функции – множество R всех действительных чисел; 3) Логарифмическая функция является возрастающей на промежутке x>0, если a>0, и убывающей, если b<a<1; 4) Если a>1, то функция принимает положительные значения при x>1, отрицательные при 0<x<1. Если 0<a<1, то функция принимает положительные значения при 0<x<1, отрицательные при x>1.

Теорема, используемая при решении уравнений: Теорема: Если , где a>0, a≠ 1, то Доказательство: Предположим, что например Если a>1, то из неравенства следует, что если 0<a<1, то из неравенства следует, что В обоих случаях получилось противоречие с условием Следовательно, Ч. Т. Д.

Логарифмическая функция и показательная функция где a>0, a≠ 1, взаимно обратны.

, откуда Задание. Вычислить: Решение. Обозначим По определению логарифма Так как то Ответ:

Задание. Вычислить: Решение. Применяя свойства логарифмов, находим Ответ: 2.

Задание. Решить уравнение Решение. По формуле перехода откуда Поэтому уравнение принимает вид x=2. Ответ: x=2.

определена при x>0 и возрастает, то неравенство Задание. Решить неравенство: выполняется при x>0 и x<8. Решение. Пользуясь тем, что запишем данное неравенство так: Так как функция Ответ: 0<x<8.

Если t=2, то Задание. Решить уравнение: Если то Решение. Уравнение имеет смысл, если x>0, x≠ 1. Пусть тогда и уравнение примет вид или откуда Найденные значения x удовлетворяют условиям, при которых уравнение имеет смысл, и являются корнями данного уравнения. Ответ:

Задание. Решить неравенство: Решение. Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть – при x+1>0, откуда x>-1, т. е. x>-1 – область определения неравенства. Исходное неравенство запишем так: Так как 10>1, то x+1≤ 100, откуда x≤ 99. Учитывая область определения исходного неравенства, получаем -1<x≤ 99. Ответ: -1<x≤ 99.

№ 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень уравнения № 1. Решите уравнение 1)± 7; 2)12; 3)± ; 4)3. № 2. Найдите область определения функции 1)(-∞; 2) (4; +∞); 3)(0, 5; 4); 2)(0; 4); 4)(-4; 2). 1)(-5; -3); 3)(4; 7); 2)(-2; 3); 4)(-3; 0).

№ 1. Решите неравенство № 2. Найдите частное наибольшего и наименьшего целых чисел, входящих в область определения функции № 3. Найдите значение выражения

№ 1. Из области определения функции № 2. Найдите производную функции в точке выбрали все натуральные числа и нашли их сумму. Найдите все значения a, при которых полученная сумма будет больше 31, но меньше 41. № 3. Решите уравнение

Значит, Задание: Решите уравнение Решение: ОДЗ: 6 -x>0. Пусть k-любое число, тогда x=3 Проверка: 6 -3>0, верно, 3 Є ОДЗ. , где Ответ: x=3 (№ 4).

Задание: Найдите значение выражения Решение:

№ 1. (x + 4) 2 log (x + 2) или 0 < 2 cosα < 1 x + 4 > 0 опр. логар. x + 2 > 0 x + 4 (x + 2) монотн. логар. ф-ции 2 cosα > 1 x + 4 > 0 x + 2 > 0 x + 4 (x + 2) 0 < cosα > x > -2 x > - 2 +3 x 0 + 3 х 0

-2 -2 -3 -3 0 [0; + ) 0 y y (-2; 0] x - - Ответ: при α (- +2 k; - +2 k) ( +2 k; +2 k), k Z, x [0; + ) при α (- +2 k; +2 k), k Z, x (-2; 0]

Задание. № 3. Шесть чисел образуют возрастающую арифметическую прогрессию. Первый, второй и четвертый члены этой прогрессии являются решениями неравенства , а остальные не являются решениями этого неравенства. Найдите множество всех возможных значений первого члена таких прогрессий. Решение. 1)По условию Если то

Если то Кроме того, так как и то. Значит, Следовательно, все числа в интервале являются решениями исходного неравенства. Объединяя найденные множества решений, получаем ответ: 2) Пусть и и и – первый член и разность прогрессии. Если лежат в одном и том же из двух промежутков , то в нем лежит и. Но тогда третий член

прогрессии также будет решением заданного неравенства. Противоречие. Значит, 3) Требуется найти все значения , при которых эта система неравенств имеет решения относительно неравенства относительно . Выпишем четыре : Систему этих линейных неравенств решим графическим способом. Построим прямые , , На интервале , прямая .

лежит ниже прямых и , а прямая лежит выше прямых 4) Поэтому достаточно найти все значения , при которых решения имеет только одно неравенство и пересекаются в точке Ответ: . Прямые и