Размерность величин На рисунке эффект Прандтля-Глоерта Измерение

Размерность величин На рисунке эффект Прандтля-Глоерта

Измерение – это сопоставление величины с некоторым эталоном, который называется единицей измерения. Ø Если изменить единицу измерения (эталон), то изменится и измеренное значение величины. Ø Однако, по смыслу, результат измерения должен отражать физическое явление и не должен зависеть от выбранной единицы измерений. Ø Это возможно, на основе принципа абсолютности отношений.

Принцип абсолютности отношений Если величину X измерить в единицах [X 1] и получить значение K 1, а затем эту же величину X измерить в единицах [X 2] и получить значение K 2, то отношение результатов измерения K 1/K 2 не зависит от значения измеряемой величины. Ø Доказательство элементарно: Ø

Пример От метро до РГГМУ для англичанина Ø Х = 1, 24 [мили] Ø От метро до РГГМУ для Пушкина Ø Х = 1, 87 [версты] Ø 1, 24/1, 87=0. 633 o От Парижа до Санкт-Петербурга o Y=2629[мили] o Y=3964 [версты] o 2629/3964=0. 633 Ø

Ø Х=10[миль]=16[км]->1, 6 км=1 миля Ø Y=300 $=9000 руб->1$=30 руб Применение принципа абсолютности отношений позволяет нам, например, вводить более мелкие и более крупные единицы — 1 км=1000 м= 100000 см.

Наиболее употребительные приставки для изменения единиц измерения Наименование Тера Гига Мега Кило Гек Де то ка Деци Сан ти Множитель к основной единице 1012 109 106 103 102 101 10 -2 Дециг радус Сан тим етр дгрд см Пример Обозначение Тера Гига- Мега Килопа Гек Де вольт Герц тонн скаль то ка а пас ли кал тр ь Тв Ггц Мт к. Па г. Па Да л Милли Микро 10 -3 10 -6 Милли Микр -метр ометр мм мкм

Первичные и вторичные величины По отношению к процедуре измерения все величины могут быть разбиты на две группы: первичные величины (измеряемые) и вторичные величины (вычисляемые с помощью основных по формулам). Ø Вторичные величины имеют свои единицы измерения, которые вычисляются через единицы измерения основных величин по формулам связи. Ø Формулы связи единиц измерения называются размерностями величин. Ø Обозначения слов «размерность величины X» : Ø [X] или Dim(X)

Основные единицы измерения Ø Масса (M) – ( в СИ 1 кг) Ø Длина (L) ( в СИ 1 м) Ø Время (t )- ( в СИ 1 c) Ø Угол (f) – ( в СИ 1 радиан) Ø Температура (T )- ( в СИ 1 К) НО ДЛЯ СВОИХ ЗАДАЧ МОЖНО НАЗНАЧАТЬ ОСНОВНЫМИ ЛЮБЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

Вспоминаем – 1: вторичные единицы измерения Ø Ускорение (a) – 1 мс-2 ( в СИ ) Ø Сила (F) – 1 кгмс-2 ( в СИ 1 н) Ø Работа (А), энергия (Е) – 1 кгм 2 с-2 ( в СИ 1 дж) Ø Мощность (N) – 1 кгм 2 с-3 ( в СИ 1 джс-1 =1 вт) Они возникают из определений по законам физики

Первая теорема теории размерностей Бриджмена: Ø Размерность любой физической величины [F ] является степенным комплексом основных единиц Перси Бриджмен, физик, лауреат нобелевской премии

Запись этой теоремы в виде формулы: Обозначение [F]- читать, как «размерность величины F Ø Не обязательно, чтобы все основные единицы входили в формулу размерности конкретной величины (см. пример 3) Ø Эти показатели определяются с помощью формул, определяющих конкретные физические величины (см. пример 3) Ø Показатели степени могут быть дробными Ø

Примеры : Ø [F]=[m*a]=кг·м-1·с-2=1 н Ø [A]=[F*s]= кг·м-2·с-2=1 дж Ø [N]=[A/t]= кг·м-2·с-3=1 вт Ø НО основные можно выбрать произвольно, например, выберем первичными н, дж, вт Ø ТОГДА Ø [t]=[N/A]=дж·вт-1 Ø [s]=[A/F]= дж·н-1 Ø [m]=[F]·[t 2]/[s]=[F·(N 2 A-2)·(A-1·F)]= =н 2 вт2 дж-3

Размерности вторичных величин получают из определяющих их формул физических законов Ø Сила (F )– это произведение массы на ускорение, поэтому Ø Напряжения трения (как и давление) – это отношение силы к площади

Запомнить важные величины! Ø Поток тепла - энергия на единицу площади за единицу времени Ø Приток тепла –разность (остаток) потоков тепла после прохождения единицы расстояния или энергия в единице объема

Поток и приток! Ø В конце XIX века на Всемирной выставке в Париже изобретатель О. Мушо демонстрировал инсолятор аппарат, который при помощи зеркала фокусировал лучи на паровом котле. Котел приводил в действие печатную машину, печатавшую по 500 оттисков газеты в час. Энергия солнечных лучей, падающих на поверхностьэто поток тепла Ø Поглощенная объемом энергия, идущая на нагревание – это приток тепла Ø

Для своих задач можно использовать как основные и вспомогательные удобные для себя единицы измерения! Ø Например: l l l Тепловую энергию удобно измерять в килокалориях – 1 ккал=4182 Дж=4, 182 к. Дж Электроэнергию измеряют в к. Вт·ч – 1 к. Вт·ч= 1 к. Вт· 3600 с=3, 6 м. Дж Энергопотребление в тоннах условного топлива (при сгорании 1 кг. Ут выделяется 7000 ккал тепла)

Поэтому необходимо уметь решать задачи на перевод размерностей Ø Скорость ветра 10 м/с не измениться, как физическая величина, если расстояние измерять в километрах, а время в часах. Отсюда следует полезная для работы переводная формула:

При анализе воздействия опасных явлений погоды для характеристики силы используют единицу 1 кгс (один килограмм силы). Это сила, с которой масса 1 кг притягивается Землей в месте хранения эталона массы (Севр, Франция, g = 9, 80665 м/с2). Так как сила, сообщающая телу массой 1 кг ускорение 1 м/с2 , равна 1 ньютону (1 н), то нетрудно вычислить значение 1 кгс в ньютонах :

Калория – это энергетическая единица, равная 4, 18 джоуля В старых учебниках по метеорологии и климатологии солнечная постоянная считается приблизительно равной 2 кал/(см 2 мин). Ø Требуется выразить эту величину в современных единицах (Вт/м 2). Ø

Тротиловый эквивалент Ø При взрыве 1 кг тринитротолуола (ТНТ) выделяется 4, 6 г. Дж энергии Ø Перейдем к от СИ к системе СГС (см, грамм, сек): Ø 1 Дж=1 н·м=1 кг·м 2/с2=103 г · 104 см 2 /с2 =107 эрг (1 эрг=1 гсм 2 /с2 ) Ø 4, 6 г. Дж=4, 6 · 109+7 эрг=4, 6 · 1016 эрг Ø (это энергия сильного горного удара)

Теплота сгорания условного топлива - 7000 ккал/кг Для того чтобы к 2025 году человечество смогло удовлетворить свои потребности в энергоресурсах, потребуется в год около 25 миллиардов тонн условного топлива. (Энергопотребление человечества –ЭП) Ø Для того, чтобы сравнить эту величину с потоком (СЭ) энергии солнца (1. 38 к. Вт/м 2), поступающей на земную поверхность (510· 106 км 2), нужно вычислить эти энергии в одинаковых единицах. Воспользуемся единицами СИ. Ø

Если требуется изменять основные единицы измерения, то следует согласованно изменить и остальные. Пример: Пусть имеется зависимость: В нее входят величины: Здесь три основные величины (M, L, t ), но вместо них можно взять за основу три другие величины, например: будем плотность измерять в D (1 D= 1 кг/м 3), вместо Т-1 можно использовать 1 (гц) герц, ну и оставим метры для Z. Тогда, по 1 теореме Бриджмена, следует изменить и размерность напряжения по формуле:

Как вычислить показатели? Сравнивая размерности в СИ! Запомните этот результат! Он скоро пригодится!

Пи-теорема теории размерностей (вторая теорема Бриджмена) Ø Всякая зависимость между n размерными переменными, из которых m имеют независимую размерность, может быть сведена к зависимости между n-m безразмерными комплексами. Ø Не доказывая эту теорему в общем виде, разберем всю процедуру доказательства и использования выводов на конкретном примере задачи Прандтля о логарифмическом профиле скорости потока у стенки

Потренируемся. Пример Центробежное ускорение Ускорение: A [мс-2] Линейная скорость вращения : V[мс-1] Радиус вращения: R[м] Доказать, что A=C* V 2/R

Потренируемся. Пример Ø Расход жидкости в трубе Q[м 3 с-1] Ø Радиус трубы r[м], Ø Градиент давления dp/dx [кгм-2 с-2] Ø Динамический коэффициент вязкости k [кгм-1 с-1] Ø Доказать, что Q=C*r 4 / k dp/dx

Потренируемся. Пример Ø Фазовая скорость волны на глубокой воде [мс-1] Ø Плотность жидкости ro [кгм-3] Ø Ускорение силы тяжести g [мс-2] Ø Длина волны L [м] Ø Доказать, что с = С*(Lg)1/2 c

Потренируемся. Пример Ø Сила трения, действующая на дождевую каплю F [кгмс-2] Ø Скорость падения дождевой капли V [мс-1] Ø К-т динамической вязкости воздуха k [кгм-1 с-1] Ø Радиус капли r[ м ] Ø Доказать, что F =C*k r V (C=6 p) (откуда при весе капли P = 4/3 p r 3 , r =1 и F=P следует формула Стокса V= 2 gr 2/9 k)

Потренируемся. Пример: Скорость подъема воздушного шара (w) зависит от плотности воздуха (ρ), силы Архимеда (g ρ), отнесенная к единице объема, и размера шара (r) Три основные единицы (M, L, t ) заменим на три новые: объемную силу будем измерять в Архимедах (1 А=1 кг/м 2/с2), плотность в D, а размер снова в метрах. Тогда размерность скорости шара можно найти по формуле:

Особый случай. Как классик орудовал размерностями (Рассеяние Релея) Ø Амплитуда падающей св. волны A [м] Ø Амплитуда рассеянной св. волны S [м] Ø Линейный размер частицы l [м] Ø Расстояние до частицы r [м] Ø Длина падающей и рассеянной волны l [м ] Релей: хотя размерности и одинаковы, все величины, кроме A и S независимы, поэтому из 5 независимых 4, т. е. Ø S=C*Aa lb rc ld

А дальше дополнительные соображения По ф-ле размерностей м=мaмbмcмd, 1=a+b+c+d Ø Т. к. A и S – одной природы, a=1 Ø Т. к. амплитуда убывает с расстоянием, то с = -a=1 Ø Тогда b=1 -d и S=C*Albr-1 l 1 -b=C*(Al/r)(l/l)b Ø Наконец, учтем, что рассеивает объем, поэтому b=3(понятно? ), тогда получим Ø S=C*Al 3/rl 2 Ø Учитывая, что интенсивность света пропорциональна квадрату его амплитуды получим знаменитое следствие Релея (Какое? ) Ø

Задача: почему профили скоростей ламинарного и турбулентного потоков в трубе различны по форме? При малой скорости потока в гладкой трубе (число Рейнольдса Re < 2300) режим движения жидкости ламинарный и профиль скорости описывается параболой u(z)=U·z·(h-z) Ø А при высокой скорости (Re > 10000) – турбулентный и профиль скорости гораздо более пологий и описывается логарифмикой u(z)=U·ln(z/z 0) Ø

В начале ХХ в Людвиг Прандтль объяснил это на основе анализа размерностей Он указал, что для градиента скорости du/dz течения любой турбулентной жидкости вблизи стенки влияющими параметрами являются: значение касательного напряжения в пристеночном слое , плотность жидкости ρ, расстояние до стенки z. Ø Это значит, что существует, функциональная зависимость между этими размерными переменными Ø

Эту ситуацию мы рассматривали в примере 2 : Пусть имеется зависимость: В нее входят величины: Здесь три основные величины (M, L, t ), поэтому их можно заменить на три другие величины, например: плотность (в нее входит M), градиент скорости (в него входит t ) и высоту над стенкой Z (в нее входит L). Тогда, по 1 теореме Бриджмена, размерность касательного напряжения в этих единицах определяется по формуле:

Как вычислить показатели? Сравнивая размерности в СИ!

Пусть в эксперименте получено, что Ø du/dz=A[du/dz] - т. е. значение величины градиента скорости равно числу А с размерностью [du/dz] Ø ρ=B[ρ] - т. е. значение величины плотности жидкости равно числу А с размерностью [ρ] Ø z=C[z] - т. е. значение величины расстояния до стенки равно числу С с размерностью [z] Ø А =D[] - т. е. значение величины напряжения трения равно числу D с размерностью [ ]=[ρ][z]2[du/dz]2

А теперь выберем масштабы основных величин равными их значениям в эксперименте! Тогда будет А=1, В=1, С=1 Ø А значение D измениться и станет, предположим D 1 Ø Тогда формула связи этих величин преобразуется: Ø

Чтобы понять, что отсюда следует, рассмотрим пример 7 Предположим, что у нас есть функция 3 х переменных: Ф(x, y, z)=0 (скажем, 3 x 2*sinz/exp(y)-5=0) Ø А теперь используем значения z=1, y=1. Ø Получим Ф(x, 1, 1)=0. Что это за математический объект? Ø Вернемся к конкретике 3 x 2*sin 1/exp(1)-5=0 Ø Ø Что это ? Это уравнение с решением x={5/[3 sin(1)/exp(1)]}1/2 q Таким образом при Ф(х, 1, 1)=0 это уравнение вида х=const

Вернемся к решению Прандтля

Ну, и что? А вот что! Ø Не прибегая ни к каким гипотезам, кроме анализа размерностей, Прандтль объяснил важный экспериментальный факт. Ø А мы доказали для случая произвольной функции с 4 аргументами, из которых 3 имели независимую размерность, Питеорему Бриджмена:

Логарифмический профиль ветра Нужна нейтральная стратификация Height above surface (m) Вычислено при u* = 1 м с-1. k =0, 4 – безразмерная постоянная Кармана Теодор фон Карман Fig. 8. 3

Как оценить шероховатость? ln z Выбираем случаи нейтральной стратификации 1) Находим скорости ветра на различных высотах 2) Наносим их на график в зависимости от логарифма высоты (Следить, чтобы основание логарифмов было одинаковым!) 3) Находим регрессионную прямую и экстраполируем ее до значения скорости, равного нулю) Fig. 6. 5

Пример на дом : Ø Вычислить уровень шероховатости по данным наблюдений из учебника (с. 202)

Еще раз формулировку 2 теоремы Бриджмена Всякая зависимость между n (у нас 4) размерными переменными, из которых m (у нас 3) имеют независимую размерность, может быть сведена к зависимости между nm (у нас n-m=1) безразмерными комплексами. Ø (Отметим, что при n-m=1 получаем сразу окончательное решение – безразмерный комплекс равен постоянной, которую можно найти из опыта)

Обобщение теории Прандтля Обухов, A. M. , 1946: Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере Ø Параметры, характеризующие динамику атмосферы выше вязкого подслоя: Ø g: ускорение силы тяжести T 0: температура поверхности v∗: динамическая скорость трения q: турбулентный поток тепла cp: удельная теплоемкость ρ: плотность воздуха

Масштаб высоты приземного слоя Ø Обухов ввел масштаб высоты: Κ=0, 38 – постоянная Кармана. L характеризует толщину динамического подслоя, где влияние стратификации пренебрежимо мало Ø L пропорционально толщине, а не равно Ø L помогает провести анализ размерностей для замыкания УБЭТ Ø

Универсальное описание приземного слоя Ø А. С. Монин, А. М. Обухов. Безразмерные характеристики турбулентности в приземном слое атмосферы. ДАН СССР, 93, № 2.

Доказательство теоремы Монина-Обухова Ø Пусть факторы, определяющие турбулентность в Призем. Слое: l динамической скоростью V*, размерность которой [LT-1] l Параметр пловучести. Размерность величины gβ это [LT-2 K-1]. l Поток тепла w’T’=H 0/cpρ, Размерность этого потока [LT-1 K]. l высота рассматриваемого уровня над земной поверхностью z, размерность которой – [L]. Ø Независимых размерностей в задаче 3: L -длтна, T-время, Ктемпература Таким образом, задача определения формы профиля скорости ветра в стратифицированном приземном слое состоит в нахождении функциональной зависимости между пятью переменными , из которых 3 имеют независимую размерность

Выразим размерности зависимых переменных u и z в виде степенных комплексов от принятых за независимые. Начнем с определения размерности скорости: Таким образом, в качестве эталона для измерения скорости должна быть выбрана динамическая скорость трения V*

Теперь выразим размерность высоты через размерности взятых за независимые переменных Т. е. в качестве эталона высоты должна быть выбрана характерная длина Монина-Обухова

Получилось, что профиль скорости ветра в приземном слое при любой стратификации должен определяться только высотой Z, динамической скоростью V* и параметром стратификации, принявшим форму некоторой характерной длины L

Параметр стратификации L При неустойчивой стратификации, когда у земли теплее и начинается конвекция, параметр L становится положительным (L>0), а при устойчивости атмосферы он отрицателен (L<0)

Порядок величины и изменчивость L от DU и DT D U D T -1. 5 -1 -0. 5 -0. 25 -0. 1 0. 25 0. 5 1 1. 5 10 -742. 9 -1114. 3 -2228. 6 -4457. 1 -11142. 9 4457. 1 2228. 6 1114. 3 742. 9 9 -601. 7 -902. 6 -1805. 1 -3610. 3 -9025. 7 3610. 3 1805. 1 902. 6 601. 7 8 -475. 4 -713. 1 -1426. 3 -2852. 6 -7131. 4 2852. 6 1426. 3 713. 1 475. 4 7 -364 -546 -1092 -2184 -5460 2184 1092 546 364 6 -267. 4 -401. 1 -802. 3 -1604. 6 -4011. 4 1604. 6 802. 3 401. 1 267. 4 5 -185. 7 -278. 6 -557. 1 -1114. 3 -2785. 7 1114. 3 557. 1 278. 6 185. 7 4 -118. 9 -178. 3 -356. 6 -713. 1 -1782. 9 713. 1 356. 6 178. 3 118. 9 3 -66. 9 -100. 3 -200. 6 -401. 1 -1002. 9 401. 1 200. 6 100. 3 66. 9 2 -29. 7 -44. 6 -89. 1 -178. 3 -445. 7 178. 3 89. 1 44. 6 29. 7 1 -7. 4 -11. 1 -22. 3 -44. 6 -111. 4 44. 6 22. 3 11. 1 7. 4 0. 5 -1. 9 -2. 8 -5. 6 -11. 1 -27. 9 11. 1 5. 6 2. 8 1. 9

Поскольку все четыре перечисленных фактора, определяющих турбулентность в приземном слое, сохраняются и в задаче о профиле температуры, то Значительные усложнения вносит необходимость учета переноса водяного пара. Но получаемая зависимость аналогична

Как получают профильные функции?

Современное состояние теории Ø Hogstrom (1988) получил используемые в настоящее время формулы универсальных функций Используются значения κ =0. 40, =Prt− 1=1. 05 До настоящего времени значение числа Прандтля известно не точно, а значение числа Шмидта, совсем плохо изучено.