Разложение по плоским волнам Импульсное представление волновой функции

Разложение по плоским волнам. Импульсное представление волновой функции. Волны де Бройля

Разложение в ряд Фурье Теорема. Пусть функция f(x) и ее первая производная являются кусочнонепрерывными в интервале (-T/2; T/2), причем точки разрыва являются регулярными: Тогда функцию f(x) можно представить в интервале (-Т/2, T/2) рядом Фурье Линейная комбинация функций Cn – коэффициенты линейной комбинации Надо: зная f(x) определить коэффициенты разложения С

- ортогональная в интервале (-T/2; T/2) - система функций, ортогональная в интервале (a; b)

- условие ортогональности - условие нормировки - условие ортонормировки

- ортонормированная система Домашнее задание: В интервале (-π; π) разложить в ряд Фурье f(x)=x 2

L-множество функций ψ(x) Пусть {ψn(x)} из L, такая что Тогда система функций {ψn(x)} – полная в L Полная и ортонормированная система функций – базис в L Пример. L- множество всех функций ψ(x), удовлетворяющих в (-Т/2; Т/2) условию теоремы о разложении в ряд Фурье. - полная в L - ортонормированная - базис в L

Дельта-функция Дирака Пусть имеется функция δ(x, α) вещественной переменной х, которая также зависит от параметра α. Причем эта функция обладает следующими свойствами: Тогда говорят, что функция δ(x, α) при α→ α 0 слабо сходится к дельта-функции Дирака. Символическая запись:

- Д/З доказать

Строго говоря, дельта-функция Дирака не является функцией в обычном понимании. Однако, формально с ней можно формально обращаться как с обычной четной сколь-угодно раз непрерывно дифференцируемой функцией, обладающей следующим специфическим свойством

Условие полноты системы функций Пусть {ψn(x)} – базис в функциональном пространстве L

Разложение в интеграл Фурье Надо: разложение при - разложение в итеграл Фурье

Домашнее задание: доказать, что

- полный набор физических величин 1) они одновременно измеримы; 2) Состояние с определенным значением p является единственным - ортогональный набор функций, полный на множестве волновых функций системы Волновую функцию произвольного состояния системы можно представить в виде линейной комбинации волновых функций состояний с определенным импульсом Спектр проекции импульса является непрерывным и простирается от минус до плюс бесконечности. Комбинация любых значение импульса является допустимой (допустимым является любое значение импульса p) - Волновая функций в импульсном представлении

- элементарный объем импульсного пространства pz py px Принцип суперпозиции => Надо выразить A Плотность вероятности результата измерения импульса (одновременно трех компонент)

условие ортонормировки

Принцип суперпозиции => Плотность вероятности результата измерения импульса (одновременно трех компонент)

- Полная вероятность результата измерения px

Задача. Найти распределение вероятности импульса частицы в состоянии с волновой функцией