Разложение многочлена на множители Немного теории Разложить

Разложение многочлена на множители

Немного теории Разложить многочлен на множители – это значит представить его в виде произведения. Существует несколько способов разложения: n Вынесение общего множителя за скобку n Способ группировки n С помощью формул сокращенного умножения

Вынесение общего множителя за скобку Если все члены многочлена содержат общий множитель, то этот множитель можно вынести за скобки. 19 а-38 b= 19·а - 19· 2 b = 19(а – 2 b) 3 аb 2 + 4 bc 3 = b· 3 a 2+b· 4 c 3=b(3 a 2+4 c 3)

Алгоритм нахождения общего множителя нескольких одночленов n Найти наибольший общий делитель коэффициентов всех одночленов, входящих в многочлен, - он и будет общим числовым множителем (это относится к случаю с целочисленными коэффициентами). n Найти переменные, которые входят в каждый член многочлена, выбрать для каждого из них наименьший показатель степени. n Произведение коэффициента и переменной, найденных на первом и втором шагах, является общим множителем, который следует вынести за скобки.

Пример 1 Разложить на множители: х4 у3 – 2 х3 у2 + 5 х2. Воспользуемся сформулированным алгоритмом. Наибольший общий делитель коэффициентов 1, -2 и 5 равен 1. Переменная x входит во все члены многочлена с показателями соответственно 4, 3, 2; следовательно, можно вынести за скобки x 2. Переменная y входит не во все члены многочлена; значит, ее нельзя вынести за скобки. Вывод: за скобки можно вынести x 2. Получим: х4 y 3 - 2 x 3 y 2 + 5 x 2=x 2(x 2 y 3 - 2 xy 2 + 5).

Способ группировки Данный способ применяют к многочленам, которые не имеют общего множителя для всех членов многочлена. Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, нужно: n Объединить члены многочлена в такие группы, которые имеют общий множитель в виде многочлена n Вынести этот общий множитель за скобки

Пример 2 Рассмотрим пример: разложить на множители многочлен xy-6+3 y-2 y Первый способ группировки: Второй способ группировки: xy-6+3 y-2 y=(xy-6)+(3 x-2 y). Группировка неудачна. xy-6+3 y-2 y=(xy+3 x)+(-6 -2 y)=x(y+3)-2(y+3)=(y+3)(x-2). Третий способ группировки: xy-6+3 y-2 y=(xy-2 y)+(-6+3 x)=y(x-2)+3(x-2)=(x-2)(y+3). Ответ: xy-6+3 y-2 y=(x-2)(y+3). Как видите, не всегда с первого раза группировка оказывается удачной. Если группировка оказалась неудачной, откажитесь от нее, ищите иной способ.

Разложение на множители с помощью формул сокращенного умножения Вспомним эти формулы: a 2 -b 2=(a-b)(a+b); a 3 -b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2); a 3+b 3=(a+b)(a 2 -ab+b 2); a 2+2 ab+b 2=(a+b)2; a 2 -2 ab+b 2=(a-b)2.

Пример 3 Разложить на множители 1) x 6 -4 a 4. Воспользуемся первой формулой (разность квадратов): x 6 -4 a 4=(x 3)2 -(2 a 2)2=(x 2 -2 a 2)(x 3+2 a 2). 2) a 6+27 b 3. Воспользуемся третьей формулой (сумма кубов): a 6+27 b 3=(a 2)3+(3 b)3=(a 2+3 b)((a 2)2 -a 2· 3 b+(3 b)2)= =(a 2+3 b)(a 4 -3 a 2 b+9 b 4). 3) a 2 -4 ab+4 b 2. В этом примере дан трехчлен, для его разложения на множители будем пользоваться пятой формулой, если, конечно, убедимся в том, что трехчлен является полным квадратом: a 2 -4 ab+4 b 2=a 2+(2 b)2 -2·a· 2 b=(a-2 b)2.

Пример 4 Найти значение числового выражения 532 -472 612 -392 Дважды воспользуемся формулой разности квадратов: 532 -472 = (53 -47)(53+47) = 6· 100 = 6 = 3 612 -392 (61 -39)(61+39) 22· 100 22 11 Разложение на множители позволило нам сократить дробь. Позднее мы оценим это и при выполнении действий с алгебраическими дробями

Комбинации различных приемов разложения на множители В математике не так часто бывает, чтобы при решении примера применялся только один прием. Чаще встречаются комбинированные примеры, где сначала используется один прием, затем другой и т. д. Рассмотрим такой пример.

Пример 4 Разложить на множители многочлен 36 a 6 b 3 -96 a 4 b 4+64 a 2 b 5 1) Вынесем за скобки 4 a 2 b 3. Получим: 36 a 6 b 3 -96 a 4 b 4+64 a 2 b 5=4 a 2 b 3(9 a 4 -24 a 2 b+16 b 2). 2) Рассмотрим трехчлен в скобках: 9 a 4 - 2 4 a 2 b + 16 b 2. Он является полным квадратом, т. е. 9 a 4 -24 a 2 b+16 b 2=(3 a 2 -4 b)2. 3) Комбинируя два приема (вынесение общего множителя за скобки и использование формул сокращенного умножения), получаем окончательный результат: 36 a 6 b 3 -96 a 4 b 4+64 a 2 b 5=4 a 2 b 3(3 a 2 -4 b)2.

Основные результаты Вы познакомились со следующими приемами разложения многочлена на множители: n вынесение общего множителя за скобки n способ группировки n использование формул сокращенного умножения

Автор учитель математики МОУ-СОШ № 41 г. Тулы Полянцева Галина Александровна