Различные интерпретации геометрии Лобачевского. Модель Клейна. Студентки ФМИи. Ф 3 курса 34 гр. Харисовой Э. А.
Различные интерпретации геометрии Лобачевского. Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) — одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского.
Выделяют три различные модели геометрии Лобачевского: 1) Модель Пуанкаре 2) Модель Клейна 3) Модель Бельтрами
Модель Клейна 1849 – 1925 г. г. Феликс Клейн родился в Дюссельдорфе, в семье чиновника. Закончил гимназию в Дюссельдорфе, потом учился математике и физике в Боннском университете. К середине XIX века геометрия разделилась на множество плохо согласованных разделов: евклидова, сферическая, гиперболическая, проективная, аффинная, риманова, многомерная, комплексная и т. д. ; на рубеже веков к ним добавились ещё псевдоевклидова геометрия и топология.
Клейну принадлежит идея алгебраической классификации различных отраслей геометрии в соответствии с теми классами преобразований, которые для этой геометрии несущественны. Более точно выражаясь, один раздел геометрии отличается от другого тем, что им соответствуют разные группы преобразований пространства, а объектами изучения выступают инварианты таких преобразований.
В 1871 году Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. С помощью неё удалось доказать непротиворечивость геометрии Лобачевского в предположении непротиворечивости Евклидовой геометрии. Плоскостью в этой модели служит внутренность круга, прямой — хорда круга без концов, а точкой — точка внутри круга.
«Движением» назовём любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды. Соответственно, равными называются фигуры внутри круга, переводящиеся одна в другую такими преобразованиями. Тогда оказывается, что любой геометрический факт, описанный на таком языке, представляет теорему или аксиому геометрии Лобачевского. Иными словами, всякое утверждение геометрии Лобачевского на плоскости есть не что иное, как утверждение евклидовой геометрии, относящееся к фигурам внутри круга, лишь пересказанное в указанных терминах. Евклидова аксиома о параллельных здесь явно не выполняется, так как через точку Р, не лежащую на данной хорде а (то есть «прямой» ), проходит сколько угодно много не пересекающих её хорд ( «прямых» ) Таким образом, геометрия Лобачевского в модели Клейна имеет вполне реальный смысл с той точностью, с какой вообще имеет смысл геометрия в применении к реальным телам.
Вопросы : 1. Сколько интерпретаций (моделей) геометрии Лобачевского выделяют? Назовите их. 2. Что является прямой в модели Клейна? 1) хорда круга с концами; 2) диаметр круга; 3) хорда круга без концов. 3. Что называется движением в модели Клейна?
Скачать презентацию Различные интерпретации геометрии Лобачевского Модель Клейна Студентки ФМИи
Различные интерпритации геометрии Лобачевского.ppt