Раздел N 5 Основы теории вероятностей и Математической

Раздел N 5 Основы теории вероятностей и Математической статистики. Лекция N 6 Основополагающие понятия, проблематика, понятия теории вероятности и математической статистики. Случайные события и их вероятности.

Элементы комбинаторики Комбинаторика - раздел математики, изучающий дискретные объекты, множества, и отношения на них. Теорема 6. 1 Пусть имеется m множеств по n 1 , n 2. . nm элементов в каждом. Выбрать по одному элементу можно n 1 * n 2. . * n m Определение. Множество из n элементов называется упорядоченным, если каждому элементу из множества поставлен в соответствие свой номер от 1 до n.

Определение. Упорядоченные наборы элементов составленные из всех элементов данного множества называются перестановками этого множества. Пример. Пусть имеется множество 1; 2; 3 Тогда имеются следующие перестановки (1, 2, 3) (2, 1, 3), (3, 1, 2), (3, 2, 1), (1, 3, 2), (2, 3, 1). Всего шесть таких комбинаций. Определение. Упорядоченные наборы, состоящие из k элементов взятых из данных n элементов, называются размещениями из n элементов по k. Пример. Пусть имеется множество 1; 2; 3 С учетом порядка, по два элемента можно выбрать следующие комбинации (1, 2) (2, 1), (3, 1), (1, 3), (3, 2), (2, 3). Всего шесть таких комбинаций.

Определение. Неупорядоченные наборы, состоящие из k элементов взятых из данных n элементов, называются сочетаниями из n элементов по k. Примечание. Сочетания отличаются друг от друга лишь элементами. Порядок среди элементов неважен. Пример. Для рассмотренного выше множества 1; 2 ; 3 сочетаниями по два элемента Будут следующие комбинации (1, 2) (1, 3), (2, 3). Всего три комбинации.

Число комбинаций. 1. Размещение Это любое упорядоченное подмножество m из элементов множества n. (Порядок важен). 2. Перестановки Если m = n, то эти размещения называются перестановками. 3. Сочетания Это любое подмножество из m – элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n – различных элементов. (Порядок не важен). Следствие. Число сочетаний из n элементов по n – m равно число сочетаний из n элементов по m, т. е.

Основы теории вероятности. Случайные события и их свойства

В основе теории вероятности лежит понятие случайного события, эксперимента, который может закончиться любым из некоторого множества результатов, но заранее не известным, каким именно. Различные результаты эксперимента будем называть исходами. Определение. Пространством элементарных событий называют множество всех взаимоисключающих результатов эксперимента. Событие может состоять из одного или нескольких исходов. Cобытия будем обозначать буквами : A, B, C … Если событие неизбежно произойдет при каждой реализации комплекса условий, то его называют ДОСТОВЕРНЫМ, если же оно не может произойти - НЕВОЗМОЖНЫМ Событие, которое может произойти, а может и не произойти называют СЛУЧАЙНЫМ.

Операции над событиями. Сумма событий (А+В или АÈВ) Событие С называется суммой (или объединением) событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих как в А, так и в В. Причём если элементарное событие входит и в А, и в В, то в С оно входит только один раз Обозначения на диаграмме Эйлера-Венна: W - множество всех элементарных событий А(В) –множество элементарных событий, входящих в событие А(В) А В А+В Таблица читается по 0 0 0 строкам. Например : последняя 1 0 1 строка будет читаться так: если наступает А и 0 1 1 наступает В, то наступает и А+В. 1 1 1 Сумма произвольного количества событий состоит из всех элементарных исходов, входящих в хотя бы одно из рассматриваемых событий. Другими словами, сумма любого множества событий есть событие, которое наступает в тех и только тех случаях, когда наступает хотя бы одно из событий данного множества.

Операции над событиями. Произведение событий (А×В или АÇВ). Событие С является произведением событий А и В, если оно состоит из всех элементарных событий, входящих и в А, и в В. Событие С обозначается как А×В или АВ. Операция произведения двух событий соответствует операции произведения (пересечения) множеств и операции конъюнкции высказываний. А В А+В 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 Произведение любого множества событий определяется как совместное наступление всех событий из данного множества.

Операции над событиями. Разность событий (А-В). Разностью событий А и В называется событие С (С=А-В), состоящее из всех элементарных событий входящих в А, но не входящих в В. А В А-В 0 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 Например, если в опыте с бросанием игральной кости событие А – это выпадение нечетного числа, а событие В – выпадение числа, большего 4, то событие А-В будет означать выпадение чисел 1 и 3.

Операции над событиями. Противоположное событие (А). По определению событие А наступает тогда и только тогда, когда событие А не наступает. А А 0 1 1 0 Операция перехода к противоположному событию соответствует операции отрицания для высказываний и операции дополнения множества А до множества W (универсального множества).

Виды случайных событий. События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании. Несовместные события никогда не могут произойти в результате одного испытания. Пример. Брошена монета. Появление “герба” исключает появление цифры. События “появился герб” и "появилась цифра” – несовместные. Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания обязательно появление хотя бы одного из них, т. е. появление хотя бы одного события из полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий. Два противоположных события образуют полную группу. Пример. Приобретены два лотерейных билета. Обязательно произойдёт одно и только из следующих событий: “выигрыш выпал на оба билета”, “выигрыш выпал только на первый билет”, “выигрыш выпал только на второй билет”, “на оба билета выигрыш не выпал”. События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое. Пример. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости – равновозможные события, если предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника и наличие надписи о числе очков не оказывает влияние на выпадение той или иной грани.

Классическое определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа m исходов, благоприятствующих этому событию , к числу n всех равновозможных несов- местных элементарных исходов. P(A) = m / n

Статистическое определение вероятности. К числу основных понятий теории вероятностей также относят частоту события, под которой понимают отношение числа испытаний, в которых это событие произошло, к общему числу фактически произведенных испытаний. Частоту события называют статистической вероятностью. m – число испытаний, в которых число А наступило n – общее число испытаний

Теоремы сложения и умножения вероятностей. Условная вероятность. Теорема сложения вероятностей. Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий. P(A+B) = P (A) + P (B) Эта теорема обобщается на случай произвольного числа попарно несовместных событий. Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Определение. Вероятность события А, вычисленную при условии, что имело место другое событие В, называют условной вероятностью события А и обозначают P (A/B). Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии что первое имело место. P(AB) = P (A) * P (B/А) или P(AB) = P (В) * P (А/В) Если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от А, тогда P(AB) = P (A) * P (B)

Формула полной вероятности. Формула Бейеса. Пусть известно, что бытие А может произойти вместе с одним из событий H 1 H 2 …. Hn, образующих полную группу попарно несовместных событий. Тогда событие А можно представить как объединение событий АН 1 , АН 2… АН n , A = АН 1 + АН 2 + …АН n , вероятность события А тогда выразится формулой P(A) = P (H 1 ) * P (A / H 1 )+ P (H 2 )*P (A / H 2 )+…+ P (Hn ) * P (A / Hn ) Формула полной вероятности

Условная вероятность события Hi в предположении, Что событие А уже имеет место, определяется по формуле Бейеса : ( i = 1, 2 , …. . n)