Раздел N 3 Интегральное исчисление Лекция N 4

Раздел N 3 Интегральное исчисление. Лекция N 4 Основные принципы интегрального исчисления. Неопределенный интеграл. Его свойства. Методы нахождения неопределенного интеграла.

Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц z =F(x) y = f(x) dx a x Идея Ньютона Идея Лейбница

Как по заданной функции y = f(x) найти функцию F(x), чтобы F / (x) = f(x) ?

Определение. Дифференцируемая функция F(x) называется первообразной для функции f (x), на отрезке (a; b), если F /(x) = f(x) на отрезке (a; b). Основное свойство первообразной. Если задана непрерывная функция y = f (x), которая имеет первообразную F (x), то F (x) + C – множество всех первообразных для данной функции f (x), где С = const. Множество всех первообразных функций F(x) + C, для f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x). Операция нахождения неопределенного интеграла от функции называется интегрированием этой функции: f(x) – подинтегральная функция x – переменная интегрирования ∫ - знак неопределенного интеграла

Семейство интегральных кривых График любых двух первообразных функции y = f(x) получается друг из друга параллельным переносом вдоль оси OY.

Свойства неопределенного интеграла 1. Производная от неопределенного интеграла равна подинтегральной функции. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подинтегральному выражению. 2. Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произвольной постоянной. 3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла. 4. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа Непрерывных функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых.

Интегралы от элементарных функций. α≠ -1

Основные методы интегрирования 1. Метод непосредственного интегрирования 2. Метод внесение под знак дифференциала 3. Метод замены переменной 4. Метод интегрирования по частям

Непосредственное интегрирование Этот метод основан на применении свойств неопределенного интеграла и тождественных преобразований. Пример 1. Пример 2.

Внесение под знак дифференциала. Этот метод основан на применении формулы f´(x)dx=df(x), которая называется внесением под знак дифференциала. В частности,

Примеры: 1) 2) 3) 4) 5)

Замена переменной (подстановкой) Этот метод основан на применении формул x = φ(t) или t=φ(x), где t – новая переменная. Вычислив интеграл, нужно вернуться к первоначальной переменной. Пример. Вычислить. Обозначим 3 x+1=t, откуда, Получаем

Интегрирование по частям Пусть u = u(x) и v = v(x) – функции, имеющие непрерывные производные, тогда d(uv)= vdu+udv или udv=d(uv)-vdu. Проинтегрировав последнее равенство и учитывая свойство 2 неопределенного интеграла, получаем формулу интегрирования по частям: При необходимости эта формула может применяться последовательно несколько раз. Отметим три вида интегралов, которые вычисляются методом интегрирования по частям. 1. , , , где Pn(x) – многочлен n – й степени от х, k – произвольное число. В этих интегралах нужно обозначить u = Pn(x). Формула интегрирование по частям применяется последовательно n раз. При этом n > 0

2. , где a>0, a≠ 1 – число, Pn(x) – многочлен n – й степени от х, k – произвольное число. В этих интегралах за n нужно обозначать логарифм или обратную тригонометрическую функцию, при этом не исключается случай n=0. 3. , где m, k – числа, отличные от нуля. Эти интегралы вычисляются двукратным применением формулы интегрирования по частям.

Примеры: 1. Воспользуемся формулой: (табличный) 2.

3. (*)

Пусть : I

Определенный интеграл Задача о количестве вещества, образовавшегося в результате химической реакции. Предположим, что в результате химической реакции образуется некоторое Вещество. Скорость химической реакции V = f(t) , t – время. Задача состоит в том, чтобы определить количество вещ – ва, образовавшегося от момента времени t = a, до момента t = b, где b > a 1) Разобьем временной промежуток [a; b] точками : t 0 =a, t 1 > t 0, t 2 > t 1…tn =b 2) Если отрезок [tn ; tn+1 ] достаточно мал, то можно пренебречь изменением скорости реакции на этом отрезке и приближенно считать, что скорость реакции постоянна и равна f ( tk ) 3) Тогда масса вещ –ва, образовавшегося в рез –те хим. раакции за время от момента t = tn до момента t n+ 1 приближенно равна: Δm ≈ f( t k ) Δt V = f(t) Δt a t 1 t 2 b tn t

4) Тогда масса вещ –ва, образовавшегося за время от момента t = a до момента t = b приближенно равна: m ≈ ∑ Δmn = ∑ f( t k) Δt Результат вычислений будет тем точнее, чем короче промежуток времени Δt, Δt → 0 Существует большое количество задач, приводящих к вычислению таких сумм. Определение. Предел, к которому стремится интегральная сумма ∑ f( tk)Δt, при Δt → 0 называется определенным интегралом. В общем случае, для произвольной непрерывной функции можно записать:

Свойства определенного интеграла 1. 2. 3. 4. 5. где, a < c < b если, a < b и f(x)≥ 0

6. где a < b , f 1(x) ≤ f 2(x) Вычисление определенного интеграла, формула Ньютона-Лейбница где F – первообразная для f(x) Примеры 1. 2. Положим lnx = t, тогда dx/x = dt; если x = 1, то t = 0; если x = e то t=1

Следовательно, 3. Воспользуемся методом интегрирования по частям. Положим u = x, dv = e-xdx, откуда du = dx, v = - e – x. Тогда получим

Геометрический смысл интеграла. Определение. Часть плоскости , которая ограничена графиком функции, прямыми x = a , x = b и осью абсцисс называется криволинейной трапецией. Интеграл от функции f(x) численно равен площади криволинейной трапецией.

Геометрические приложения определенного интеграла. 1. 1. 1 1. 2 Вычисление площадей плоских фигур.

1. 3 2. Вычисление площадей плоских фигур, заданных параметрически. Вычисление длины дуги плоской кривой.

3. Вычисление объема тела, тела вращения.

4. Вычисление площади поверхности тела вращения.

Физические приложения определенного интеграла. 1. Вычисление работы при растяжении (сжатия ) тела. x dx

2. Движение вязкой жидкости по трубам. Формула Пуазейля. Рассмотрим участок трубы длиной l и радиусом R. Выделим элементарный цилиндр радиуса r и длиной l. R l На торцах этого цилиндра будет разность давлений, что вызовет силу:

На боковую поверхность будет действовать сила трения: Так как жидкость движется равномерно, то силы F и Fтр должны уравновесить друга: Проинтегрируем это уравнение:

Имеется параболическая зависимость скорости движения жидкости от расстояния. Слои в центре будут иметь максимальную скорость, слои около стенок сосуда минимальную.

1. Численные методы вычисления определенного интеграла. Формула прямоугольников.

2. Формула трапеций.

3. Формула парабол (Симпсона). Пусть дана функция y = f(x), b – a = 2 h y 0 y 1 y 2