Раздел N 2 Дифференциальное исчисление Лекция N 2

Раздел N 2 Дифференциальное исчисление. Лекция N 2 Основополагающие понятия дифференциального исчисления. Производная функции. Дифференциал функции.

Задачи, приводящие к понятию производной функции. 1. Задача об определении мгновенной скорости движения тела. Пусть имеется прямолинейно движущееся тело. И пусть оно проходит путь s за промежуток t. Таким образом можно задать функцию s = F(t) Уравнение s = F (t) – называют уравнением движения. Рассмотрим движение тела в течение интервала времени Δt от некоторого момента t до некоторого момента t + Δt. Если тело двигается равномерно, то за время Δt тело переместится на расстояние Δ s = F (t + Δ t) – F (t) При равномерном движении, - скорость равномерного движения тела Скорость движения тела не зависит от выбора интервала Δ t.

Предположим, что тело движется неравномерно, тогда: v ср = Δ s / Δ t - является средней скоростью движения, которая зависит от величины Δ t. s B 1 В течение интервала Δt движение может осуществляться самым различным образом Значение v ср будет зависеть от величины Δt 3 2 A t Δs t t + Δt При уменьшении Δ t понятие v ср лучше будет характеризовать движение тела. Устемим Δ t → 0. В результате получим последовательность значений vср : v 1 v 2 …. . vn

Предел средней скорости определяет скорость тела в момент времени t vмг = lim vср = lim t→ 0 F(t + Δ t) - F(t) Δt 2. Плотность Рассмотрим материальную линию (проволоку) и будем определять её длину и массу. m = Φ (S) Если проволока однородная, то её масса определится так S – длина проволоки. m=δ*S - показывает, сколь единиц массы приходится на единицу длины (плотность) S S+ ΔS Пусть материя в проволоке распределена неравномерно, тогда

Рассмотрим участок проволоки длиной от S до S+ΔS Массу этого участка можно выразить так : Δ m = Φ (S + ΔS) - Φ (S ) Cредняя плотность материи участка проволоки выразится так: δ ср = Δ m / Δ S δ = lim δ ср = lim ) Δ S→ 0 3. Теплоемкость Δ m / Δ S = lim Δ S→ 0 Φ (S + ΔS) - Φ (S ΔS Сообщим телу некоторое количество теплоты q. При этом температура тела повысится до некоторого значения t. q = ψ (t) Если бы количество тепла q было бы пропорционально температуре t, то величина Δ q / Δ t была бы постоянной. Опыт обнаруживает, что величина Δ q / Δ t не является постоянной и зависит от t , Δ t и показывает какое необходимо кол-во теплоты на нагрев тела на 1 градус “в среднем”.

Аналогичным образом вводят понятие средней теплоемкости в интервале ( t + Δ t ). cср c- = Δ q / Δ t – средняя теплоемкость тела при температуре t

Рассмотрим уже абстрактную функцию y = f (x) y y = f (x) f (x 0 + Δx ) f (x 0 ) x 0 + Δx x Определение Пусть функция y = f (x) задана на некотором промежутке X и пусть x 0 - точка из этого промежутка. Пусть Δx – приращение аргумента, тогда функция получит приращение Δ y = f (x 0 + Δx ) - f (x) Производной функции y = f(x) в точке x 0 называют предел : limΔx→ 0 f (x 0 + Δx) – f(x 0) Δx

Обозначения производной: y /(x) , f /(x), dy / dx Производная f / (x) - это скорость изменения функции y = f(x) в данной точке x. Геометрический смысл производной 1. Найдем отношение Δy / Δx в точках M 1 M 2 M 3 y M 1 2. При Δx → 0 получим предельное положение секущих, которое будет касательной к графику M 2 M 3 Существование производной в точке x 0 эквивалентно существованию касательной в точке x 0 x 3 x 2 x 1 x

y f (x 0 + Δx ) α f (x 0 ) kx + = Δy Δx x 0 + Δ x Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке x 0 f / (x) = tg α y = f / (x) (x - x 0 ) + y 0 - уравнение касательной b

Понятие производной в химии Понятие на языке химии Обозначение Понятие на языке математики Количество вва в момент времени t 0 c = c(t) Функция Интервал времени ∆t = t 2 – t 1 Приращение аргумента Изменение количества вва ∆c = c(t+ t ) – c(t) Приращение функции ∆c/∆t Отношение приращён. функции к приращён. аргументу Средняя скорость химической реакции

История происхождения производной Происхождение понятия производной связано с возникновением следующих задач: - вычисление углов, под которыми пересекаются две кривые (Декарт) -конструирование телескопов (Галилей) и часов (Гюйгенс 1673 г. ) -нахождение максимума и минимума функции (Ферма 1638) - скорость и ускорение движения (Галилей 1683 г, Ньютон 1686 г. ) -астрономия, проверка Закона Всемирного Тяготения (Кеплер, Ньютон) Задача. Пусть задана кривая y= f(x). Требуется в каждой точке x найти наклон этой кривой и касательную или нормаль к ней.

Правила дифференцирования (u +v +w)/ =u/+v/+w 1. Δ( u + v + w ) / y / = / + …. = Δu + Δv + Δw lim Δx → 0 ( Δu + Δv + Δw) = u /+ v /+ w / + …. Δx 2. (u *v)/ (u *v )/ = u /* v + u * v / = limΔ x→ 0 Δ ( u * v) Δx = lim ( u * Δv + v * Δ u Δx Δx = (u + Δu) * ( v + Δv) - u * v Δx + Δ v * Δu Δx ) = u * v / + v * u/ =

3. (u /v ) u v / = u /* v - u * v / v 2 = limΔ x→ 0 Δ ( u / v) = lim Δ x→ 0 (u + Δu) / ( v + Δv) - u / v Δx Δx = limΔx→ 0 ( u + Δu) * v - (v +Δv) u ) = v ( v + Δv)Δx / = lim Δx → 0 ( v Δu – u Δv) = lim Δx) = v (v + Δv)Δx = lim Δx → 0 ( v lim Δx→ 0 Δu / Δx – u lim Δx→ 0 Δv / Δx ) / limΔx→ 0 v (v + Δv) = = u /v - u v / v 2 =

Производная сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = f (u) u = φ (x), предполагая при этом, что функция f дифференцируема по u , а функция u по x. dy dx = limΔx → 0 Δ y = limΔx → 0 Δx limΔx → 0 Δ y Δu Итак : * Δy * Δu Δu Δx limΔx → 0 Δ u Δx = = dy * du du dx y / x = y / u * u /x Пример : y = sin x 2 В данном случае y = sin u , u = x 2 y / = cos x 2 * ( x 2) / = 2 x * cos x 2

Производная обратной функции Пусть имеется функция y = f(x), и пусть эта функция определена в некоторой области, монотонна, дифференцируема и производная отлична от нуля. Функция y = f(x) имеет обратную функцию x = φ (y). Рассмотрим функцию y = f(x) как сложную функцию с промежуточным аргументом x от самой себя, y = f(x), x = φ (y). На основании правила дифференцирования сложной функции получаем: y /y = y /x * x /y , y / y = 1,

Производные от элементарных функций 1. y = c , c = const y/ =0 2. Степенная функция y = x n , nϵN Зададим аргументу приращение Δх, тогда y + Δy = (x + Δx)n = xn + nxn-1 Δx + Δy = nx n-1 Δx + n (n - 1) * x n -2 1*2 n (n - 1) * x n -2 *Δx 2 + … 1*2 * Δx 2 + … limΔx → 0 Δy / Δx = n x n -1 y / = n x n -1

3. Показательная функция y = a x , a > 0 , x ϵ R Δy Δx y/ = = a x + Δx - a x = ax Δx a Δx - 1 Δx lim Δx → 0 Δ y = lim Δ x→ 0 a x Δx y y= ex , / = a x ln a y / = ex * ln e = e x a Δx - 1 Δx ln a

4. Натуральный логарифм y = ln x , x ϵ R Δy Δx = ln ( x + Δx) - ln x = ln (x + Δx) / x Δx Δx = ln (1 + Δx / x ) Δx y/ y/ = = ln (1 + Δx / x ) Δx *x x lim Δx → 0 Δ y = lim Δ x→ 0 ln (1 + Δx / x ) Δx Δx*x x lim Δx → 0 ln (1 + Δx / x ) Δx/x 1 * lim Δx → 0 1 x = = 1/x

5. Логарифмическая функция y = loga x , x ϵ R Воспользуемся формулой перехода к другому основанию, получим loga x = ln x / ln a y / = ( ln x / ln a ) / = 1 * ( ln x ) / ln a 1/x y / = 1 / x* ln a

6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x Воспользуемся формулой для производной обратной функции y /x = 1 x /y cos y = y/ = = 1 – sin 2 y = 1 1 – x 2 1 т. к (sin y)y / 1 – x 2 x = sin y

y = arccos x y / = - 1 1 – x 2 y = arctg x y /x = 1 x /y y /x = = 1 т. к (tg y)y / 1 = 1 (tg y)y / 1 + tg 2 y x = tg y

y = arcctg x

Таблица производных элементарных функций y= c y = xα y=x y = ax y = ex y = ln x y = loga x y = sinx y = cosx y = tgx y = ctgx y = arcsinx y = arccosx y = arctgx y = arcctgx y / =0 y / = α xα – 1 α ϵ R y/= 1 y / = ax ln a y / = ex y / = 1/x y / = 1 / xln a y / = cox x y / = - sinx y / = 1/ cos 2 x y / = - 1/sin 2 x y /= 1 / 1 – x 2 y / = -1/ 1 – x 2 y / =1/(1 + x 2 ) y / = -1/(1 + x 2 )

Производная от функции, заданной параметрически x = φ (t) y = ψ (t) y /x = ψ / (t) = y /t φ / (t) x /t Пример x = ln t y = e 2 t yx / = ( e 2 t ) / = e 2 t * 2 (ln t) / 1/t = 2 t * e 2 t

Производная от функции, заданной в неявном виде. Пусть функция задана в виде f (x, y) = 0 Будем говорить, что такая функция задана в неявном виде. Для нахождения производной обе части уравнения дифференцируют oтносительно x, помня, что y есть функция от x Пример x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 2 x a 2 + 2 y * yx / = 0 b 2 y /x = - b 2 x a 2 y

Дифференциал функции Согласно определению производной На основании теоремы о представлении функции как суммы её предела и б. м. ф. , данное равенство означает, что где α(Δх) – б. м. при Δх→ 0 Первое слагаемое стремится к нулю при Δx->0 медленнее второго, поэтому его называют главной частью приращения функции. Главная часть приращения функции Δy, равная произведению y ’ Δx, называется дифференциалом первого порядка от функции y=f(x), соответствующим выбранным значениям x и Δx. (аналитический смысл дифференциала) Обозначение: dy = f ’ (x)Δх

Геометрический смысл дифференциала функции f (x 0 + Δx ) B y Δy D A dy f (x 0 ) C Δx α x 0 + Δ x f / (x) * Δx = AC * tg α = CD = dy Дифференциал функции dy равен приращению ординаты касательной к графику функции y = f(x) + = kx b

Свойства дифференциала 1. 2. 3. 4, k- const Дифференциал сложной функции Если y = f(u), u = g(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функция y = f(g(x)) выражается формулой Пример. Вычислить дифференциал функции Решение.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала При стремлении Δ x → 0, получим, что величина α (Δx) – б. м. в В таком случае можно записать : т. е Δy ≈ dy Δy ≈ f / (x) * Δ x Вычислить приближеное значение arcsin 0. 51. Рассмотрим функцию y = arcsin x. Положим x = 0. 5 , Δx = 0. 01 arcsin (x + Δx) ≈ arcsin x + (arcsin x) / Δ x Arcsin 0. 51 ≈ arcsin 0. 5 + 1 / 1 – 0. 52 * 0. 01 = π / 6 + 0. 011 = 0. 513