Раздел N 2 Дифференциальное исчисление. Лекция

Раздел N 2 Дифференциальное исчисление. Лекция N 2 Основополагающие понятия дифференциального исчисления. Производная функции. Дифференциал функции.

Задачи, приводящие к понятию производной функции. 1. Задача об определении мгновенной скорости движения тела. Пусть имеется прямолинейно движущееся тело. И пусть оно проходит путь s за промежуток t. Таким образом можно задать функцию s = F(t) Уравнение s = F (t) – называют уравнением движения. Рассмотрим движение тела в течение интервала времени Δt от некоторого момента t до некоторого момента t + Δt. Если тело двигается равномерно, то за время Δt тело переместится на растояние Δ s = F (t + Δ t) – F (t) Если тело движется равномерно, то Δs - скорость движения Δt тела Скорость движения тела не зависит от выбора интервала Δ t.

Предположим, что тело движется неравномерно, тогда: v ср = Δ s / Δ t - является средней скоростью движения, которая зависит от величины Δ t. s 1 B В течение интервала Δt движение может 3 осуществляться 2 Δs самым различным образом A Значение v ср будет зависеть от величины Δt t + Δt При уменьшении Δ t понятие v ср лучше будет характеризовать движение тела. Устемим Δ t → 0. В результате получим последовательность значений vср : v 1 v 2 …. . vn

Предел средней скорости определяет скорость тела в момент времени t vмг = lim vср = lim t→ 0 F(t + Δ t) - F(t) Δt 2. Плотность Рассмотрим материальную линию (проволоку) и будем определять её плотность Если проволока однородная, то её масса определится так m = δ * S S – длина проволоки. S S+ ΔS Пусть материя в проволоке распределена неравномерно, тогда m = Φ (S)

Рассмотрим участок проволоки длиной от S до S+ΔS Массу этого участка можно выразить так : Δ m = Φ (S + ΔS) - Φ (S ) Cредняя плотность материи участка проволоки выразится так δ ср = Δ m / Δ S δ = lim δ ср = lim Δ S→ 0 Δ m / Δ S = lim Δ S→ 0 Φ (S + ΔS) - Φ (S ) ΔS 3. Теплоемкость Сообщим телу некоторое количество теплоты q. При этом тело нагреется до некоторой температуры t. q = ψ (t) Если бы количество тепла q было бы пропорционально температуре t, то величина Δ q / Δ t была бы постоянной. Опыт обнаруживает, что величина Δ q / Δ t не является постоянной и зависит от t , Δ t.

Аналогичным образом вводят понятие средней теплоемкости в интервале ( t + Δ t ). cср = Δ q / Δ t c = lim c ср = lim Δ t→ 0 ( Δ q / Δ t) c = lim Δ t→ 0 ψ(t + Δt) - ψ (t ) Δt c- теплоемкость тела при температуре t

Рассмотрим уже абстрактную функцию y = f (x) y = f (x) f (x 0 + Δx ) f (x 0 ) x 0 + Δx x Определение Пусть функция y = f (x) задана на некотором промежутке X и пусть x 0 - точка из этого промежутка. Пусть Δx – приращение аргумента, тогда функция получит приращение Δ y = f (x 0 + Δx ) - f (x) Производной функции y = f(x) в точке x 0 называют предел : limΔx→ 0 f (x 0 + Δx) – f(x 0) Δx

Обозначения производной: y /(x) , f /(x), dy / dx Производная f / (x) - это скорость изменения функции y = f(x) в данной точке x. Геометрический смысл производной y 1. Найдем отношение Δy / Δx в точках M 1 M 2 M 3 M 1 2. При Δx → 0 получим предельное M 2 положение секущих, которое будет касательной к графику M 3 Существование производной в точке x 0 эквивалентно существованию касательной в точке x 0 x 0 x 3 x 2 x 1 x

b = kx + y f (x 0 + Δx ) α Δy f (x 0 ) Δx x 0 + Δ x Производная численно равна тангенсу угла наклона касательной к графику y = f (x) в точке x 0 f / (x) = tg α y = f / (x) (x - x 0 ) + y 0 - уравнение касательной

Понятие производной в химии Понятие на Понятие на языке Обозначение языке химии математики Количество в- ва в момент c = c(t) Функция времени t 0 Интервал ∆t = t 2 – t 1 Приращение аргумента времени Изменение ∆c = c(t+ t ) количества в- Приращение функции – c(t) ва Средняя Отношение приращён. скорость ∆c/∆t функции к приращён. химической аргументу реакции

История происхождения производной Происхождение понятия производной связано с возникновением следующих задач: - вычисление углов, под которыми пересекаются две кривые (Декарт) -конструирование телескопов (Галилей) и часов (Гюйгенс 1673 г. ) -нахождение максимума и минимума функции (Ферма 1638) - скорость и ускорение движения (Галилей 1683 г, Ньютон 1686 г. ) -астрономия, проверка Закона Всемирного Тяготения (Кеплер, Ньютон) Задача. Пусть задана кривая y= f(x). Требуется в каждой точке x найти наклон этой кривой и касательную или нормаль к ней.

Правила дифференцирования 1. (u +v +w)/ =u/+v/+w / + …. Δ( u + v + w ) / = Δu + Δv + Δw y / = lim Δx → 0 ( Δu + Δv + Δw) = u /+ v /+ w / + …. Δx 2. (u *v)/ = u /* v + u * v / (u *v )/ = limΔ x→ 0 Δ ( u * v) = (u + Δu) * ( v + Δv) - u * v = Δx = lim ( u * Δv + v * Δ u + Δ v * Δu ) = u * v / + v * u/ Δx

3. u / = u /* v - u * v / v 2 (u /v ) / = limΔ x→ 0 Δ ( u / v) = lim Δ x→ 0 (u + Δu) / ( v + Δv) - u / v = Δx = limΔx→ 0 ( u + Δu) * v - (v +Δv) u ) = v ( v + Δv)Δx = lim Δx → 0 ( v Δu – u Δv) = lim Δx) = v (v + Δv)Δx = lim Δx → 0 ( v lim Δx→ 0 Δu / Δx – u lim Δx→ 0 Δv / Δx ) / limΔx→ 0 v (v + Δv) = = u /v - u v / v 2

Производная сложной функции Рассмотрим сложную функцию y = f (u) u = φ (x), предполагая при этом, что функция f дифференцируема по u , а функция u по x. dy = limΔx → 0 Δ y = limΔx → 0 Δy * Δu = dx Δx Δu Δx limΔx → 0 Δ y * limΔx → 0 Δ u = dy * du Δu Δx du dx Итак : y / x = y / u * u /x Пример : y = sin x 2 В данном случае y = sin u , u = x 2 y / = cos x 2 * ( x 2) / = 2 x * cos x 2

Производная обратной функции Пусть имеется функция y = f(x), и пусть эта функция определена в некоторой области, монотонна, дифференцируема и производная отлична от нуля. Функция y = f(x) имеет обратную функцию x = φ (y). Рассмотрим функцию y = f(x) как сложную функцию с промежуточным аргументом x от самой себя, y = f(x), x = φ (y). На основании правила дифференцирования сложной функции получаем: y /y = y /x * x /y , y / y = 1, x /y = 1 y /x

Производные от элементарных функций 1. y = c , c = const y/ =0 2. Степенная функция y = x n , n ϵ N Зададим аргументу приращение Δх, тогда y + Δy = (x + Δx)n = xn + nxn-1 Δx + n (n - 1) * x n -2 *Δx 2 + … 1*2 Δy = nx n-1 Δx + n (n - 1) * x n -2 * Δx 2 + … 1*2 limΔx → 0 Δy / Δx = n x n -1 y / = n x n -1

3. Показательная функция y = a x , a > 0 , x ϵ R Δy = a x + Δx - a x = ax a Δx - 1 Δx y/ = lim Δx → 0 Δ y = lim Δ x→ 0 a x a Δx - 1 Δx y / = a x ln a ln a y= ex , y / = ex * ln e = e x

4. Натуральный логарифм y = ln x , x ϵ R Δy = ln ( x + Δx) - ln x = ln (x + Δx) / x = Δx = ln (1 + Δx / x ) Δx *x x y/ = lim Δx → 0 Δ y = lim Δ x→ 0 ln (1 + Δx / x ) = Δx*x x y/ = lim Δx → 0 ln (1 + Δx / x ) * lim Δx → 0 1 = 1/x Δx/x 1

5. Логарифмическая функция y = loga x , x ϵ R Воспользуемся формулой перехода к другому основанию, получим loga x = ln x / ln a y / = ( ln x / ln a ) / = 1 * ( ln x ) / ln a 1/x y / = 1 / x* ln a

6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x Воспользуемся формулой для производной обратной функции y /x = 1 т. к x = sin y x /y (sin y)y / cos y = 1 – sin 2 y = 1 – x 2 y/ = 1 1 – x 2

y = arccos x - 1 y / = 1 – x 2 y = arctg x y /x = 1 = 1 т. к x = tg y x /y (tg y)y / y /x = 1 = 1 (tg y)y / 1 + tg 2 y y /x = 1 1 + x 2

y = arcctg x y /x = -1 1 + x 2

Таблица производных элементарных функций y= c y / =0 y = xα y / = α xα – 1 α ϵ R y=x y/= 1 y = ax y / = ax ln a y = ex y / = ex y = ln x y / = 1/x y = loga x y / = 1 / x ln a y = sinx y / = cox x y = cosx y / = - sinx y = tgx y / = 1/ cos 2 x y = ctgx y / = - 1/sin 2 x y = arcsinx y /= 1 / 1 – x 2 y = arccosx y / = -1/ 1 – x 2 y = arctgx y / =1/(1 + x 2 ) y = arcctgx y / = -1/(1 + x 2 )

Производная от функции, заданной параметрически x = φ (t) y = ψ (t) y /x = ψ / (t) = y /t φ / (t) x /t Пример x = ln t y = e 2 t yx / = ( e 2 t ) / = e 2 t * 2 = 2 t * e 2 t (ln t) / 1/t

Производная от функции, заданной в неявном виде. Пусть функция задана в виде f (x, y) = 0 Будем говорить, что такая функция задана в неявном виде. Для нахождения производной обе части уравнения дифференцируют oтносительно x, помня, что y есть функция от x Пример x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1 2 x + 2 y * yx / = 0 a 2 b 2 y /x = - b 2 x a 2 y

Дифференциал функции Согласно определению производной На основании теоремы о представлении функции как суммы её предела и б. м. ф. , данное равенство означает, что где α(Δх) – б. м. при Δх→ 0 Первое слагаемое стремится к нулю при Δx->0 медленнее второго, поэтому его называют главной частью приращения функции. Главная часть приращения функции Δy, равная произведению y ’ Δx, называется дифференциалом первого порядка от функции y=f(x), соответствующим выбранным значениям x и Δx. (аналитический смысл дифференциала) Обозначение: dy = f ’ (x)Δх

Геометрический смысл дифференциала функции f (x 0 + Δx ) B + b y = kx Δy D A dy f (x 0 ) C α Δx x 0 + Δ x f / (x) * Δx = AC * tg α = CD = dy Дифференциал функции dy равен приращению ординаты касательной к графику функции y = f(x)

Свойства дифференциала 1. 2. 3. 4, k- const Дифференциал сложной функции Если y = f(u), u = g(x) – дифференцируемые функции своих аргументов, то производная функция y = f(g(x)) выражается формулой Пример. Вычислить дифференциал функции Решение.

Приближенные вычисления с помощью дифференциала При стремлении Δ x → 0, получим, что величина α (Δx) – б. м. в В таком случае можно записать : Δy ≈ dy т. е Δy ≈ f / (x) * Δ x Вычислить приближеное значение arcsin 0. 51. Рассмотрим функцию y = arcsin x. Положим x = 0. 5 , Δx = 0. 01 arcsin (x + Δx) ≈ arcsin x + (arcsin x) / Δ x Arcsin 0. 51 ≈ arcsin 0. 5 + 1 / 1 – 0. 52 * 0. 01 = π / 6 + 0. 011 = 0. 513

Лекция N 3 Применение производной для исследования функций. Правило Лопиталя. Дифференциалы высших порядков.

Связь непрерывности и дифференцируемости функций. Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в некоторой точке х, то она непрерывна в этой точке. Обратное утверждение неверно! y x 0 x 0 x x Бесконечная производная Нет производной Следствие. Если функция разрывна в некоторой точке, то она не имеет производной в этой точке.

Правило Лопиталя Гийом Франсуа, маркиз де Лопиталь Теорема Если функции f (x) и g (x) непрерывны и дифференцируемы в некоторой окрестности точки a, при x → a являются бесконечно малыми величинами и g / (x)≠ 0 в данной окрестности, то

Примеры : 1) = 2) 3)

Замечания к теореме : 1. Теорема верна в случае, когда функции f(x) и g(x) не определены при x = a, limx→ a f(x) = 0 и limx→ a g(x) =0 2. Теорема верна также верна, когда х → ∞ 3. Если производные f / (x) и g / (x) удовлетворяют тем же условиям, что и функции f(x) и g(x), теорему можно Применить еще раз. (Пример 3)

Производные высших порядков. Производную f’(x) функции y = f(x) называется ПРОИЗВОДНОЙ ПЕРВОГО ПОРЯДКА или просто первой производной этой функции. Производная функции является функцией => ее можно дифференцировать. ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ФУНКЦИИ или производной второго порядка называется производная от ее первой производной. называется производная Производная n – го порядка (nєN) от ПРОИЗВОДНОЙ (n -1) - го ПОРЯДКА или n-й производной. Обозначение: f (n) (x)

Дифференциалы высших порядков Пусть y = f(x) дифференцируемая функция, а её аргумент x - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy = f / (x) dx есть также функция x. Следовательно можно найти дифференциал этой функции. Дифференциал от дифференциала функции y = f(x) называется ее вторым дифференциалом и обозначается d 2 y , d 2 f (x) d 2 y = d (dy) = f / / (x)dx * dx = f / / (x) (dx )2 = = f / / (x) dx 2 Аналогичным образом можно найти дифференциалы 3 - го порядка и т д n – го порядка: f (n) (x) = d n y dxn

Исследование функций с помощью производных Признак постоянства функции. Признаки возрастания и убывания функций. Теорема 3. 1 Для того чтобы функция была постоянна на заданном промежутке необходимо и достаточно чтобы f / (x) = 0 Док – во : Предположим, что функция y = f (x) ≠ const , тогда можно выделить интервалы возрастания или убывания, что противоречит условию, ч. т. д Теорема 3. 2 (Необходимые условия) Если функция y = f (x) дифференцируема и возрастает на некотором промежутке, то f / (x) ≥ 0. Если функция убывает, то f / (x) ≥ 0. Док – во : limΔx→ 0 f (x 0 + Δx) – f(x 0) Δx

y = f (x) y = f (x) f (x 0 + Δx ) f (x 0 ) f (x 0 + Δx ) f (x 0 ) x 0 + Δx x 0 x а) б) Графики возрастающей функции : a) Δx < 0; б) Δx > 0 f (x 0 + Δx ) < f (x) , Δx < 0 ; f (x 0 + Δx ) > f (x) , Δx > 0 limΔx→ 0 f (x 0 + Δx) – f(x 0) >0 Δx

Теорема 3. 3 (Достаточный признак монотонности) a) Если функция y = f (x) задана на интервале (a, b) и f / (x) ≥ 0, то функция возрастает на данном интервале. б) Если производная функции на интервале (a, b) f /(x) ≤ 0, то функция убывает.

Экстремумы функций Определение Точка x 0 называется точкой максимума функции y = f(x), если существует такая δ - окрестность точки x 0 , что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравентство f (x) < f (x 0 ) Точка x 0 называется точкой минимума функции y = f(x), если существует такая δ - окрестность точки x 0 , что для всех х ≠ x 0 из этой окрестности выполняется неравентство f (x) > f (x 0 ) y = f(x) max min O x 1 x 1 - δ x 1 + δ x 2 - δ x 2 + δ

Теорема 3. 4 (Необходимое условие экстремума) Если дифференцируемая функция y = f (x) имеет экстремум в точке x 0 , то ее производная в этой точке равна нулю : f / (x) = 0. Док –во : Пусть, для определенности x 0 - точка максимума. Значит в окрестности точки x 0 выполняется неравенство : f(x) > f (x 0 + Δx ) Но тогда f (x 0 + Δx) – f(x 0) < 0 если Δх > 0 и Δy > 0 , если Δх < 0 Δx По условию теоремы производная существует. Переходя к пределу, при Δх → 0, получим f / (x 0 ) ≥ 0, если Δх < 0 и f / ( x 0 ) ≤ 0, если Δх > 0 Поэтому f / ( x 0 ) = 0 Аналогичным образом доказывается утверждение, если точка x 0 – точка минимума функции.

Геометрически y равенство f / ( x 0 ) = 0 y = f(x) означает, что в точке экстремума дифференцируемой функции касательная параллельна оси Ох O x 0 Обратная теорема неверна ! т. е если f / ( x 0 ) = 0, то это не значит, что x 0 - точка экстремума. Пример : Для функции y = x 3 ее производная y / = 3 х2 равна нулю при х = 0, но х = 0 не точка экстремума. Cуществуют функции, которые в точках экстремума не имеют производной например непрерывная функция y = │x│ в точке х = 0, производной не имеет но точка х = 0 - точка минимума.

Теорема 3. 5 (Достаточное условие экстремума) Если непрерывная функция y = f (x) дифференцируема в некоторой δ - окрестности критической точки x 0 , и при переходе через неё (слева направо) производная f / (x) меняет знак с плюса на минус, то x 0 есть точка максимума, с минуса на плюс , то x 0 - точка минимума y f / >0 f / <0 f / >0 f / <0 x 0 x x 0 - δ x 0 + δ x 0 - δ x 0 + δ

Выпуклость и вогнутость кривых y y = f(x) f(x 0 +Δx) dy y = f(x) Δy f(x 0) dy f(x 0) x 0 +Δx x 0 +Δx x Определение Кривая называется выпуклой на некотором промежутке, если она целиком лежит под касательной. Кривая называется вогнутой на некотором промежутке, если она целиком лежит над касательной.

Теорема 3. 6 Если функция y = f(x) дважды дифференцируема на некотором промежутке и на данном промежутке, f // < 0, то график функции выпуклый, если f // > 0, то график функции вогнутый на данном промежутке. y Y =f(x) f / / (x) < 0 f / / (x) > 0 xc - точка перегиба xc x Точка графика функции, отделяющая части графика функции разной выпуклости называется точкой перегиба