Раздел N 1 Введение в математический анализ Лекция

Раздел N 1 Введение в математический анализ. Лекция N 1 Основополагающие понятия и представления о функции одного переменного. Основные свойства функций и их графики. Предел функции. Основные теоремы о пределах. Исследование функций.

Определение Функции. Пусть даны некоторые множества X и Y, элементами которых являются некоторые числа. Если каждому числу x принадлежащему X по некоторому закону или правилу f ставится в соответствие одно число y, принадлежащее Y, то говорят, что на множестве X задана числовая функция f и записывают эту функциональную зависимость формулой y = f(x). f X→Y x - независимая переменная или аргумент. y - зависимая переменная (от x) или функция. множество X - область изменения аргумента, или Область определения функции. Множество Y – область изменения функции (Область значений функции. )

● ● ● X ● Y ● ● ● X Y ● ● X ● ● ● Y ● ● ● Функции ●

Способы задания функций 1. Аналитический. (Задание функции с помощью формул) Например: y = sinx. y= x 2 + 1 при x < 2 x – 4 при x ≥ 2 2. Табличный. (Задание таблиц) Пример: тригонометрические таблицы, таблицы логарифмов 3. Графический. Пример : кардиограмма, осцилограмма

Свойства функций 1. 2. 3. 4. 5. 6. Возрастание (убывание) функций Нули функции Четность функции Периодичность функции Ограниченность функции Сложная и обратная функции

1. Определение. Функция y = f (x) называется возрастающей (убывающей), в интервале если большему значению аргумента из этого интервала соответствует большее (меньшее) значение функции. y y f( x ) 1 f( x 2 ) f( x 1 ) x 2 x 1 < x 2 => f(x 1) < f (x 2) x x 1 f( x ) 2 x 1 < x 2 => f(x 1) > f (x 2) ( x 1 ; x 2 ) - интервал монотонности функции Функцию y = f(x) заданную на интервале (x 1 ; x 2 ) называют строго монотонной x x 1

2. Определение. Значение аргумента, при котором функция обращается в нуль, называется нулем функции. пример: f(x) = 3 x + 1 Для нахождения нуля функции необходимо решить уравнение f(x) = 0 3 x + 1 =0 x = -1/3 3. Определение. Функция, определенная на множестве X называется четной, если для всех значений аргумента x принадлежащих этому множеству выполняется условие f(-x) = f(x) Примеры: 1) y = xn, n - четное число, 2) y = ΙxΙ Функция называется нечетной, если для всех значений аргумента x, принадлежащих множеству X выполняется условие f(- x) = - f (x) Примеры: 1) y = sin x, 2) y = arctg x √х – функция не четная, не нечетная (функция общего вида)

4. Определение. Функция y = f(x) с областью определения X называется периодической, если существует хотя бы одно число T > 0 , такое, при котором выполняются два условия : 1. Для любого числа x, принадлежащего X , x +T, x – T тоже принадлежат X. 2. Для каждого числа x, принадлежащего X, имеет место соотношение f (x) = f (x + T) = f (x - T) 5. Определение. Функция y = f(x) определенная на множестве X называется ограниченной, если существует число М > 0 , что для всех x, принадлежащих X выполняется неравенство: │f(x)│≤ М Отсюда следует, что график функции лежит между прямыми y = - M y = M

Ограниченная функция y y=M x y=-M

6. Определение. Функция F (x) называется сложной, аргумент которой также является функцией, т. е F (x) = f (φ(x)) f X φ U Y Переменную u = φ(x) называют промежуточным аргументом сложной функции Примеры сложных функций 1) y = sin 2 x, y = sin u, u = 2 x. 2) y = arctg (1/x), y = arctg u, u = 1/x 3) y = log sin x

Определение. Пусть задана функция y = f (x) с областью определения D и областью значений E. Если каждому значению y ϵ E соответствует единственное значение x ϵ D , то определена функция x = ψ(y) с областью определения Е и множеством значений D. Такая функция ψ(y) называется обратной к функции f(x), x = ψ(y) = f -1 (y) →f ● D● ● Функции x = ψ (y) и ● Ψ← ● ● E y = f (x) называют взаимообратными. Чтобы найти функцию x = ψ(y) обратную к функции y = f (x) достаточно решить уравнение f(x) = y относительно х

Примеры 1) y = 2 x, обратная x = (½)y 2) y = x 2, x ϵ [0; 1] обратная функция x = √y y y=x y= ψ (x) y 0 y = f (x) x 0 O x 0 y 0 Любая строго монотонная функция имеет обратную ! x

Элементарные функции 1. Целая и дробная рациональные функции y = a 0 xn + a 1 xn – 1 + …. an-1 x + an дробная рациональная функция y = a 0 xn + a 1 xn – 1 + …. an-1 x + an b 0 xn + b 1 xn – 1 + …. bn-1 x + bn 2. 3. Cтепенная функция y = xα Показательная функция 4. Логарифмическая функция αϵR y = ax a > 0, a ≠ 1 y = loga x a > 0, a ≠ 1 5. Тригонометрические функции y = sin x ; y = cos x; y = tgx; y = ctg x 6. Обратные тригонометрические функции y = arcsin x ; y = arccos x; y = arctgx; y = arcctg x

y Cтепенная функция α >1 y Показательная функция y y x 1 x 0 < α <1 y 0<α 1 x x y y a>1 0 < α <1 Логарифмическая функция 1 x x

y y π π/2 -1 1 x -π / 2 y = arccos x y = arcsin x y y π/2 π x π/2 x -π / 2 y = arctg x y = arcctg x

Примеры неэлементарных функций 1 , x > 0, y = sign x = 0, -1, x < 0 y = x 2 + 1 , x ≤ 0 x, x>0

Предел функции Определение. Пусть функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки x 0, кроме, быть может, самой точки x 0. Число А называется пределом функции в точке x 0 , если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для всех x ≠ x 0 , удовлетворяющих неравенству │x – x 0│ < δ , выполняется неравенство │f (x) - A│ < ε можно записать так limx → x 0 f(x) = A A+ε A 2ε A-ε x 0 -δ x 0+δ

Пример 1. Доказать, что lim x→ 3 ( 2 x - 1 ) = 5 Возьмем произвольное число ε > 0, найдем такое число δ > 0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству Ι x - 3 Ι < δ , выполняется неравенство Ι (2 х - 1) – 5 Ι < ε , т. е Ι x - 3 Ι < ε/2 Взяв δ = ε / 2 , видим, что для всех x, удовлетворяющих неравенству Ι x - 3 Ι < δ = ε / 2 выполняется неравенство Ι (2 х - 1) – 5 Ι < ε , следовательно lim x→ 3 ( 2 x - 1 ) = 5 Пример 2. Найти предел limx→ 4 5 x + 2 2 x + 3 Числитель стремится к числу 5*4 + 2 = 22 Знаменатель стремится к числу 2*4 + 3 = 11 Искомый предел равен 22/11 = 2

Определение. Число b 1 , называется пределом слева, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для всех x принадлежащих интервалу ( x 0 – δ, x 0 ), выполняется неравенство │f (x) – b 1 │ < ε Определение. Число b 2 , называется пределом справа, если для любого положительного числа ε найдется такое положительное число δ, что для всех x принадлежащих интервалу ( x 0, x 0 + δ), выполняется неравенство │f (x) – b 2 │ < ε Пределы функции слева и справа называют односторонними пределами. Если существует предел lim f (x) = A, то существуют оба односторонних предела , причем b 1 = b 2 = A , справедливо и обратное утверждение: если существуют левый и правый пределы и они равны, то существует предел lim x → x 0 f(x) = А Если же b 1 ≠ b 2 , то А = lim x →x 0 f(x) не существует

y b 2 y = f(x) b 1 x 0 x

Предел функции при x → ∞ Определение. Пусть функция y = f(x) определена в промежутке (- ∞; ∞). Число А называется пределом функции y = f(x) при x → ∞ в, если для любого положительного числа ε cуществует число M >0, что для всех x, удовлетворяющих неравенству │x│ > M, выполняется неравенство │f (x) - A│ < ε Если x → + ∞ , то пишут lim x → +∞ f(x) = A Если x → - ∞ , то пишут lim x → - ∞ f(x) = A y A+ε A -М A-ε М х

Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Функция f(x) называется бесконечно большой, если предел limx→ a f (x) = ± ∞, где а = х0 Пример : y = 1 / ( x - 2 ) бесконечно большая при или a → ± ∞ x→ 2 Функция f(x) называется бесконечно малой, если предел limx→ a f (x) = 0 , где а = х0 или a → ± ∞ Бесконечно малые функции называют бесконечно малыми величинами и обозначают греческими буквами α , β, γ Примеры : 1) y = x - 2 бесконечно малая при x → 2 2) y = x 2 , бесконечно малая при x → 0 3) y = 1/x бесконечно малая при x → ∞

Связь между функцией, её пределом и бесконечно малой функцией. Теорема 1. Если функция f(x) имеет предел, равный А , то её можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х) , т. е если limx→x 0 f(x) = A, f (x) = A + α(х) Доказательство: Пусть limx→x 0 f(x) = A, следовательно, для любого ε > 0, существует δ >0, что для любых x, Ι x - x 0 Ι < δ следует Ι f(x) – A Ι < ε, т. е Ι f(x) – A - 0Ι < ε Это означает, что функция f(x ) - A имеет предел , равный 0, т. е является бесконечно малой величиной , которую обозначим через α(х): f(x) – A = α(х). Отсюда f(x) = A + α(х)

Пример использования бесконечно малых величин. Найти предел limx→∞ 3 x +5 2 x+ 7 При непосредственной подстановке получим неопределенность вида ∞ ∞ Разделим числитель и знаменатель на x, получим limx→∞ 3 + 5/x 2 + 7/x = 3 /2

Основные теоремы о пределах Пусть даны две функции f(x) и g(x), которые имеют общую область определения X и точку в х0 , принадлежащую этой области определения. Теорема 2. Предел суммы двух функций равен сумме пределов функций. lim x → x 0(f (x) + g(x)) = limx → x 0 f (x) + lim x → x 0 g(x) Доказательство Пусть lim x → x 0 f (x) = A , lim x → x 0 g(x) = B. По теореме 1 можно записать f(x) = A + α(x) , g (x) = B + β(x). Следовательно f(x) + g(x) = A + B +(α(x) + β(x)) lim (f(x) + g(x)) = A + B. Теорема 3. Предел произведения двух функций равен произведению пределов функций. lim x → x 0 (f (x) * g(x)) = lim x → x 0 f (x) * lim x → x 0 g(x) Пусть lim x → x 0 f (x) = A , lim x → x 0 g(x) = B. f(x) = A + α(x) , g (x) = B + β(x). Следовательно f(x) * g(x) = A * B + B*α(x) + A*β(x) + α(x)* β(x) Поэтому lim x → x 0 f (x) * g(x) = A*B

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела. lim x → x 0 ( с* f (x) ) = с * lim x → x 0 f (x) Теорема 4. Предел отношения двух функций равен отношению пределов функций. lim x → x 0 (f (x) / g(x)) = lim x → x 0 f (x) lim x → x 0 g(x) Пусть lim x → x 0 f (x) = A , lim x → x 0 g(x) = B. f(x) = A + α(x) , g (x) = B + β(x) Следовательно f(x) / g(x) = A + α(х) = A +( A + α(x) – A ) = B + β(x) B B +β(x) B = A / B + ( B* α(x) – A *β(x)) / (B 2 + B*β(x)) – второе слагаемое б. м. ф Поэтому lim x → x 0 f (x) / g(x) = A / B

Теорема 5. Если функция h (x) заключена между двумя другими функциями f (x) и g (x) и пределы f (x) и g(x) при x → x 0 равны между собой , то предел h(x) существует и совпадает с ними. Теорема 6. Если функция h (x) монотонна и ограниченна на интервале, содержащем точку x 0 , то она имеет в этой точке односторонние пределы (левый и правый).

Непрерывность функций Непрерывность функции в точке Пусть функция y = f(x) определена в точке x 0 и в некоторой окрестности этой точки. Определение Функция y = f(x) называется непрерывной в точке х0 , если существует предел функции в этой точке и он равен значению функции в этой точке, т. е. limx→ х0 f (x) = f(x 0 ) 1) функция f(x) определена в точке x 0 и в её окрестности ; 2) функция f(x) имеет предел при x→ х0 ; 3) предел функции в точке x 0 равен значению функции в этой точке.

y y = f(x) limx→ х0 f (x) = f(x 0 ) limx→ х0 f (x) - f(x 0 ) =0 Δy f(x 0 ) limx→ х0 Δ y = 0 O f(x) x 0 x x Δx Функция непрерывна , когда бесконечно малому приращению соотвествует бесконечно малое приращение функции.

Специальные пределы 1 2 limx→ 0 sin x = 1 x limx→∞ ( 1 + 1/x )x = e limα→ 0 ( 1 + α )1/α = e 3 4 limx→ 0 ln ( 1 + x ) = 1 x ax - 1 = ln a limx→ 0 x Первый замечательный предел Второй замечательный предел