Раздел II МАТРИЦЫ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

Раздел II. МАТРИЦЫ, ОПРЕДЕЛИТЕЛИ, СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. МАТРИЦЫ 1. Понятие матрицы. Виды матриц. 2. Операции над матрицами и их свойства. 3. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц.

1. Понятие матрицы. Виды матриц О. 1. Матрицей размера m×n (m, n N) называется прямоугольная таблица из m строк и n столбцов, заполненная элементами любой природы. Далее будем рассматривать числовые матрицы, т. е. матрицы элементами которых являются числа. Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, . . , а их элементы – малыми буквами того же алфавита с двойной индексацией: (i – номер строки, j – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент).

Матрица А размера m×n может быть записана в виде или где Наряду с круглыми скобками используются и другие обозначения матрицы: [], ǁǁ.

О. 2. Матрица, состоящая из одной строки (столбца) называется матрицей-строкой (матрицей-столбцом). Матрицы данного типа иначе называются векторами, а их элементы – компонентами. Матрица, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом. О. 3. Матрица размера n×n называется квадратной матрицей n-го порядка.

Пример 1.

0. 4. Элементы матрицы А, у которых номер столбца j равен номеру строки i (i = j), называются диагональными и образуют главную диагональ матрицы А:

О. 5. Квадратная матрица называется треугольной, если по одну сторону от главной диагонали (выше или ниже) все ее элементы равны нулю, т. е. при i > j или при i < j. О. 6. Квадратная матрица называется диагональной, если все ее элементы, не лежащие на главной диагонали, равны 0. О. 7. Диагональная матрица, диагональные элементы которой равны 1, называется единичной. Обозначение: Е. О. 8. Матрица, все элементы которой равны 0, называется нулевой. Обозначение: О.

Пример 2.

О. 9. Матрицы одного и того же размера называются однотипными. О. 10. Две однотипные матрицы и называются равными, если равны их соответствующие элементы:

2. Операции над матрицами и их свойства 2. 1. Линейные операции над матрицами О. 11. Суммой двух однотипных матриц называется матрица элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В, т. е.

Аналогично определяется разность матриц А и В: где Складывать и вычитать можно только матрицы одного и того же размера!

О. 12. Произведением матрицы на число k называется матрица элементы которой равны произведениям числа k на соответствующие элементы матрицы А, т. е. Сложение (вычитание) матриц и умножение их на число называются линейными операциями над матрицами.

Свойства линейных операций над матрицами Пусть А, В, С – матрицы, а k и l – некоторые числа. Тогда 1) А + В = В + А 5) 1·А = А 2) А + (В + С) = (А + В) + С 6) (k + l)А = k. А + l. А 3) А + О = А 7) k(l. А) = (kl)А 4) А – А = О 8) k(А + В) = k. А + k. В

Пример 3. Даны матрицы и Найти C = 2 A + B. Решение

Т. 1. Множество матриц размера m×n с действительными элементами образуют коммутативную группу по сложению. 2. 2. Произведение матриц О. 13. Произведением матрицы на матрицу называется матрица каждый элемент которой равен сумме произведений элементов i-той строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы В, т. е. где

Получение элемента схематично изображено на рисунке. Замечание. Произведение матрицы А на матрицу В определено только в том случае, когда число столбцов матрицы А (1 -го сомножителя) равно числу строк матрицы В (2 -го сомножителя). При этом число строк матрицы С = АВ равно числу строк матрицы А, а число столбцов равно числу столбцов матрицы В. Схематичная запись:

Пример 4. Дано: Найти АВ и ВА. Решение 1)

2) – не определено Произведение двух матриц не обладает свойством коммутативности. Если существует АВ, то ВА может и не существовать, т. е. АВ ≠ ВА. О. 14. Если АВ = ВА, то матрицы А и В называются перестановочными.

Свойства произведения матриц Пусть А, В, С – матрицы соответствующих размеров, а k – некоторое число. Тогда 1) (АВ)С = А(ВС) 3) А(В + С) = АВ + АС 2) (А + В)С = АС + ВС 4) k(АВ) = (k. А)В Т. 2. Множество квадратных матриц n-го порядка с действительными элементами образует кольцо относительно операций сложения и умножения матриц.

О. 15. Матрица, полученная из данной матрицы А заменой в ней строк соответствующими столбцами, называется транспонированной к А и обозначается АТ. Если А – матрица размера m×n , то АТ – матрица размера n×m. Пример 5.

Свойства транспонирования матриц Пусть А, В – матрицы, а k – некоторое число. Тогда О. 16. Матрица А, для которой А = АТ, называется симметричной. Пример 6. – симметричная матрица.

3. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц 3. 1. Понятие линейной зависимости (независимости) строк матрицы. Определение ранга матрицы Пусть дана прямоугольная матрица А размера m n с действительными элементами:

Обозначим строки матрицы А следующим образом: О. 17. Линейной комбинацией строк А 1, А 2, …. , Аm матрицы А называется строка где – произвольные действительные числа.

О. 18. Строки А 1, А 2, …. , Аm матрицы А называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация данных строк с указанными числами равна нулевой строке О: (1) где О = (0, 0, …, 0). О. 19. Строки А 1, А 2, …. , Аm матрицы А называются линейно независимыми, если равенство (1) возможно только при условии

Т. 3. Для того чтобы строки А 1, А 2, …. , Аm (m > 1) матрицы А были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы одна из этих строк являлась линейной комбинацией остальных (линейно выражалась через остальные). Замечание. Аналогично вместо строк можно рассматривать столбцы матрицы А.

О. 20. Рангом матрицы А называется максимальное число линейно независимых строк (столбцов) данной матрицы, через которые линейно выражаются все ее остальные строки (столбцы). Обозначение: r, r(А), rаng А, rаnk А. Очевидно, что 0 r(А) min(m, n), т. е. ранг матрицы А не превосходит меньшего из ее размеров. Ранг нулевой матрицы принимается равным нулю.

3. 2. Элементарные преобразования матрицы. Вычисление ранга матрицы с помощью элементарных преобразований О. 21. Элементарными преобразованиями матрицы А называются преобразования следующих типов: 1) умножение строки (столбца) на число, отличное от нуля; 2) прибавление к одной строке (столбцу) любой другой строки (столбца), умноженной на некоторое число; 3) перестановка строк (столбцов). Первые два вида преобразований называются основными.

О. 22. Матрица А размера m n называется эквивалентной матрице В размера m n, если от А к В можно перейти с помощью конечной последовательности элементарных преобразований матриц. Обозначение: А ~ В. Т. 4. Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

О. 23. Матрица имеет ступенчатый вид, если: 1) все ее ненулевые строки расположены выше нулевых строк; 2) в каждой строке, начиная со второй, первый отличный от нуля элемент расположен правее первого отличного от нуля элемента в предыдущей строке. Первые ненулевые элементы строк называются главными элементами строк.

Пример 7. Примеры ступенчатых матриц:

Т. 5. С помощью элементарных преобразований каждую ненулевую матрицу можно привести к ступенчатому виду. Т. 6. Ранг матрицы ступенчатого вида равен числу ее ненулевых строк. Алгоритм вычисления ранга матрицы с помощью элементарных преобразований 1. С помощью элементарных преобразований привести данную матрицу к эквивалентной матрице ступенчатого вида. 2. Число ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы равно рангу исходной матрицы.

Пример 5. Найти ранг матрицы Решение Следовательно, r(А) = 2.