раздел БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ типы поведения биологических систем

раздел БИОФИЗИКА СЛОЖНЫХ СИСТЕМ типы поведения биологических систем лекция № 3

Процессы в биологических системах изучают с помощью моделирования. Этапы моделирования: 1. выбор цели и задач исследования 2. выделение основных изучаемых свойств 3. выбор (создание) модели 4. упрощение модели согласно принципу «узкого места» описывается самая медленная стадия 5. поиск стационарных состояний (точек) 6. оценка устойчивости стационарных состояний

ВОПРОСЫ: Метод фазовой плоскости Типы устойчивости особых точек Биологические триггеры Колебательные процессы Математические модели в экологии

Метод фазовой плоскости Модели, состоящие из одного уравнения, описывают монотонные процессы. В природе же наблюдается более сложное поведение биологических систем.

Метод фазовой плоскости Более сложное поведение биологических систем, а также взаимодействие компонентов (частей) этих систем, позволяют описать модели, состоящие из двух уравнений. Рассмотрим простую систему, состоящую из 2 компонентов. Пусть x и у – численность особей двух видов. Каждому состоянию системы в любой момент времени соответствует пара значений переменных (x, y). Плоскость с осями координат, на которых отложены значения переменных x и y, носит название «фазовой плоскости» и отображает все состояния системы. Точка М с координатами (x, y) называется «изображающей точкой» и соответствует определенному состоянию системы в момент времени t.

Метод фазовой плоскости Изменение состояния системы описывается 2 уравнениями: линейными Пусть в начальный момент времени t = to координаты изображающей точки Мо (xo, yo). В каждый следующий момент времени t изображающая точка будет двигаться в соответствии с системой уравнений и занимать положение Mt (xt, yt). Совокупность точек Mt на фазовой плоскости, положение которых соответствует изменению состояния системы во времени, называется «фазовой траекторией» . Совокупность фазовых траекторий при разных начальных состояниях системы, дает «фазовый портрет» .

Типы устойчивости особых точек Построение фазового портрета позволяет сделать выводы о поведении биологической системы без точного решения математических уравнений. Анализ моделей, описывающих процессы в биологических системах, проводят с помощью компьютерных программ по математическому моделированию. Исследователь задает начальные условия. модель (систему уравнений) и Программа находит стационарные состояния (особые точки) системы, анализирует поведение системы вблизи данных состояний и их устойчивость и строит фазовый портрет.

Типы устойчивости особых точек устойчивый узел неустойчивый узел колебания невозможны

Типы устойчивости особых точек устойчивый фокус описывает колебания с затухающей амплитудой неустойчивый фокус описывает колебания с возрастающей амплитудой

Типы устойчивости особых точек седло (неустойчивая точка) центр (неустойчивая точка) описывает колебания постоянной амплитудой с

Типы устойчивости особых точек Характер изменения переменных x и y во времени при разных типах особых точек

Типы устойчивости особых точек Пример: последовательные химические реакции

Биологические триггеры Важной особенностью биологических возможность переключения из функционирования в другой: систем одного является режима - сон и бодрствование – это разные типы метаболизма. Переключение происходит периодически и синхронизируется с геофизическим ритмом; - у большинства насекомых один и тот же организм может существовать в виде гусеницы – куколки – бабочки. Переключение происходит последовательно в соответствии с генетической программой; - дифференцировка тканей – ткани формируются путем деления из одного типа клеток, но впоследствии каждая ткань выполняет свои функции; - регуляция активности ферментов.

Биологические триггеры Термин «триггер» означает переключатель. Системы, в которых возможно переключение из одного режима в другой, называются триггерными. Поведение во времени триггерных систем и их стационарные состояния зависят от параметров (условий среды) и от начальных условий (исходных значений переменных). Фазовый портрет триггерной системы, описывающей явление конкуренции 2 видов. 4 особые точки: 1 – неустойчивый узел; 2 – седло; 3 – устойчивый узел; 4 – устойчивый узел.

Биологические триггеры Способы триггера: переключения 1. Силовое переключение – в системе производят изменение переменной (например, увеличивают концентрацию вещества или численность организмов одного вида). Система переключается из одного режима работы в другой по одной из фазовых траекторий.

Биологические триггеры Способы триггера: переключения 2. Параметрическое переключение – изменяют один из параметров (условия среды). Фазовый портрет системы меняется, происходит слияние особых точек, остается один из устойчивых режимов работы

Биологические триггеры Схема регуляции синтеза двух ферментов у прокариот (схема Жакоба и Моно)

Математические модели в экологии Модель «хищник-жертва» (В. Вольтерра, 1930 -е гг. )

Математические модели в экологии