Раздел 8 Элементы физики конденсированных состояний 8 2

Раздел 8 Элементы физики конденсированных состояний 8. 2. Понятие о зонной теории твёрдых тел Курс лекций по общей физики Доцент Петренко Л. Г. Кафедра общей и экспериментальной физики НТУ «ХПИ» Харьков - 2012 год

8. 2. ПОНЯТИЕ О ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЁРДЫХ ТЕЛ 8. 2. 1. Зонная структура энергетического спектра электронов. Энергетические зоны в кристаллах. Распределение электронов по энергетическим зонам. Число энергетических состояний электронов в зоне. Ни в классической, ни в квантовой механике не существует методов точного решения динамической задачи для системы многих частиц, например, нахождения возможных значений энергии кристалла. В квантовой механике такая задача решается в приближении самосогласованного поля. Многоэлектронная задача сводится к задаче о движении одного электрона во внешнем периодическом поле кристалла усреднённом и согласованном поле всех ядер и электронов. Этот метод применяется в зонной теории твёрдых тел, основы которой были заложены швейцарским физиком Ф. Блохом (1928 г. ) и французским физиком Л. Бриллюэном (1930 г. ).

Согласно их модели для электрона в кристаллической решётке выполняется теорема Блоха: решётки, вектор n-го узла периодической - волновой вектор, - координата точки. Это означает, что волновая функция электрона в кристаллической решётке имеет вид волновой функции свободного электрона, амплитуда которой модулирована в пространстве с периодом решётки. Подставив волновую функцию в стационарное уравнение Шрёдингера, и вводя граничные условия, находят энергетический спектр электронов. Решение даёт энергетический спектр в виде полос разрешённых энергий, разделённых полосами запрещённых энергий.

Процесс образования энергетических зон в кристалле можно представить наглядно на следующем рисунке. Изолированные атомы имеют совпадающие схемы энергетических уровней. По мере сближения атомов взаимодействие между ними приводит к тому, что образуется единая квантово-механическая система (твёрдое тело), в которой действует принцип Паули – в одном состоянии не могут находиться две или несколько частиц с одинаковым набором квантовых чисел. Энергетические уровни электронов в атомах начинают расщепляться и превращаются в зоны. Образуется так называемый зонный энергетический спектр – чередующиеся интервалы разрешённых и запрещённых значений энергии электронов.

Заметно расщепляются и образуют зоны только уровни наиболее слабо связанных с ядром внешних валентных электронов. Эти электроны в твёрдом теле коллективизированы (принадлежат всему кристаллу) и могут переходить от атома к атому, благодаря туннельному эффекту. Энергетические уровни внутренних электронов практически не расщепляются. Внутренние электроны ведут себя так же, как в изолированных атомах. Каждая разрешённая зона содержит столько энергетических уровней, сколько атомов содержит кристалл. Уровни дискретны, но расстояние между ними очень мало 10 -22 э. В, поэтому зоны можно считать практически непрерывными. Разрешённые зоны тем шире, чем слабее связь валентных электронов с ядрами. Размер кристалла на ширину зон не влияет.

8. 2. 2. Валентная зона и зона проводимости. Заполнение зон: металлы, диэлектрики, полупроводники. В зависимости от заполнения энергетических зон все вещества разделяют на три группы – металлы, диэлектрики, полупроводники. Свойства твёрдых тел (электрические, оптические и др. ) определяются характером заполнения двух зон при температуре Т = 0 К : 1)верхней - либо полностью свободной, либо частично заполненной, образованной из уровней внешних коллективизированных электронов, называемой зоной проводимости (ЗП); 2)нижней - полностью заполненной электронами, образованной из энергетических уровней внутренних электронов, называемой валентной зоной (ВЗ). Интервал запрещённых энергий, разделяющих зону проводимости и валентную зону, называют запрещённой зоной. Ширину запрещённой зоны обычно обозначают W.

Зоны, расположенные ниже дна валентной зоны, всегда полностью заполнены электронами и не влияют на свойства твёрдых тел. Поэтому на энергетическом спектре электронов в кристалле их обычно не показывают. Характер заполнения энергетических зон в металлах, диэлектриках, полупроводниках :

Металлы: а)самая верхняя зона, в которой имеются электроны, заполнена лишь частично и является зоной проводимости, б)валентная зона перекрывается полностью свободной зоной, образуется гибридная зона, лишь частично заполненная электронами, являющаяся зоной проводимости. В зонах проводимости в обоих случаях имеются вакантные уровни, расстояние между которыми 10 -22 э. В. Электроны могут переходить с нижних уровней на верхние за счёт, например, теплового возбуждения, имеющего энергию порядка Wтепл k. T 10 -4 э. В. Таким образом, внутризонные переходы возможны. Твёрдое тело является проводником электрического тока. Диэлектрики: полностью свободная от электронов зона проводимости отделена от полностью заполненной валентной зоны - запрещённой зоной. Ширина запрещённой зоны составляет несколько электронвольт. Переход электронов из валентной зоны в зону проводимости при реальных температурах невозможен. Твёрдые тела с такой зонной структурой являются изоляторами. Полупроводники: отличие полупроводников от диэлектриков определяется шириной запрещённой зоны - W 1 э. В. При Т=0 К полупроводники являются изоляторами. При Т>0 К путём теплового возбуждения, электроны могут перебрасываться из валентной зоны в зону проводимости. В полупроводниках может возникнуть электрический ток. Потому такие твёрдые тела называются полупроводниками.

8. 2. 3. Динамика электронов в кристаллической решётке. Понятие об эффективной массе. Понятие о дырочной проводимости. Квазичастицы - электроны проводимости и дырки. Электрон в результате теплового или какого-либо другого возбуждения может переместиться с более низкого энергетического уровня на свободный верхний (плавно в металле и скачком в полупроводнике). Электроны, осуществляющие проводимость и находящиеся в зоне проводимости, называются электронами проводимости. На прежде занятом уровне появляется вакантное место, которое в результате возбуждения может быть занято электроном с ещё более низкого энергетического уровня. Освобождённое электроном место в зонной структуре называется дыркой. Возможность электронам двигаться в зоне проводимости и в валентной зоне является предпосылкой для электрической проводимости. При наличии внешнего электрического поля эта предпосылка реализуется.

Электропроводность, осуществляемая движущимися в зоне проводимости электронами проводимости называется электронной проводимостью. Перемещение электрона в валентной зоне эквивалентно перемещению дырки, имеющей положительный заряд, в противоположную сторону. Электропроводность, осуществляемая движущимися дырками, называется дырочной проводимостью. В кристалле на носители заряда (электроны и дырки) действует не только внешнее поле, но и периодическое внутреннее электрическое поле кристалла. Действие поля кристалла можно учесть введением понятия об эффективной массе электрона me* и дырки mр*. Без внешнего воздействия электрон ведёт себя в кристалле как свободная частица. Под влиянием внешнего поля электрон движется как частица с эффективной массой me* или mр*. Эффективная масса электрона у дна зоны проводимости положительна, а у потолка валентной зоны - отрицательна. Электроны проводимости и дырки являются квазичастицами, обладающими равными по величине и противоположными по знаку зарядами и эффективными массами: qe = - e; qp = + e; qe + qp= 0; me* > 0; mp* < 0; me* + mp* = 0.

Во внешнем электрическом поле электроны проводимости движутся против поля (антипараллельно вектору ), а дырки - по полю (параллельно вектору ). Энергию электрона проводимости обычно отсчитывают от дна зоны проводимости, а энергию дырок - от потолка валентной зоны (росту энергии дырки соответствует её движение вниз в валентной зоне). Введение в зонную теорию понятия эффективной массы электронов позволяет, с одной стороны, учитывать действие на электроны не только внешнего поля, но и внутреннего периодического поля кристаллической решётки, а с другой стороны, рассматривать их движение во внешнем поле, как движение свободных частиц.