Раздел 6 Координаты и векторы Тема 1 Прямоугольная

Раздел 6. Координаты и векторы Тема 1. Прямоугольная система координат в пространстве. Формула расстояния между двумя точками.

z Начало координат точка O Оси координат - О y Ox – ось абсцисс Oy – ось ординат Oz – ось аппликат Координатные плоскости Oxy, Oyz, Ozx x Вся система координат Oxyz

Положительная полуось О тр иц ат ел ьн ая п ол уо сь z x Отрицательная полуось По ло жи те ль на я по лу ос ь Отрицательная полуось О Положительная полуось y Луч, направление которого совпадает с направлением оси, называется положительной полуосью, полуосью а другой луч – отрицательной полуосью

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются координатами точки z M 3 M О M 2 y M (x; y; z) x = OM 1 x абсцисса y = OM 2 ордината z = OM 3 аппликата

Точка лежит На оси Ox (x; 0; 0) Oy (0; y; 0) Oz (0; 0; z) В координатной плоскости Oxy (x; y; 0) Oyz (0; y; z) Oxz (x; 0; z)

A I I I I О I I I x I I I I I I I I R M z C I I I D I I Устно S N A (4; -2, 5; 7) S (5; 4; 8) F y D (5; 4; -3) F(-3; 3; -7) N(0; 0; 4) R(-2; -3; 4) M(7; 0; -1) C(7; 4; -1)

Задание 1. Дано: К(2; 4; 3) М(0; 3; 1) N(0; 0; 5) D(1; 2; 0) Отметить точки K, M, N, D в прямоугольной системе координат. 1 Z Y X

Oyz Ox z z z M 3 О M(x; y; z) M 2 M y y M x M 1 x Найти проекции точки М на координатные плоскости. Oxy M 1 (x; y; 0) M Oyz M 2 (0; y; z) M Oxz M 3 (x; 0; z)

Oyz z Найти проекции точки М на оси координат. M 3 Ox z z О M y M 2 y M 1 Oxy M Ox M 1 (x; 0; 0) M x x M(x; y; z) Oy M 2 (0; y; 0) M Oz M 3 (0; 0; z)

Расстояние между двумя точками. Задание 2. Дано: А (-1; 2; 3) В(0; 1; -2) С (0; 0; 3) D(4; 2; 0) Найти: расстояние между точками АВ и СД.

Координаты середины отрезка. Пусть даны две произвольные точки М 1 и М 2. Выразим координаты точки С - x, y, z, середины Отрезка М 1 М 2 через координаты его концов

Решение задач № 401 (а) Найти проекции точки А на координатные плоскости. Рассмотрим точку А (2; -3; 5) 1) A 1 : Oxy 2) A 2 : Oxz 3) A 3 : Oyz A 3 (0; -3; 5) A 1 (2; -3; 0) A 2 (2; 0; 5) (б) Найти проекции точки А на оси координат. Рассмотрим точку А (2; -3; 5) 1) A 4 : Ox 2) A 5 : Oу 3) A 6 : Oz A 5 (0; -3; 0) A 4 (2; 0; 0) A 6 (0; 0; 5)

Домашнее задание Найти длину отрезка ВР, если В(-6; 3; 5), Р(-1; 5; -2) и координаты его середины

ВЕКТОРЫ. МОДУЛЬ ВЕКТОРА. РАВЕНСТВО ВЕКТОРОВ.

Понятие вектора v • Многие физические величины характеризуются числовым значением и направлением в пространстве, их называют векторными величинами F

Понятие вектора Отрезок, для которого указано, какая его граничная точка является началом, а какая - концом, называется вектором. Вектор- направленный отрезок. B AB Конец вектора - вектор A Начало вектора

Длина вектора N вектор MN или вектор а Длиной вектора или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка |MN| = |a| длина вектора MN K a M вектор КК или нулевой вектор 0 |KK| = 0

Коллинеарные векторы • Ненулевые векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых L b B A K Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору с Р

Сонаправленные векторы Коллинеарные векторы, имеющие одинаковое направление, называются сонаправленными векторами L b B A K с c ↑↑ KL AB ↑↑ b MM ↑↑ c (нулевой вектор сонаправлен любому вектору) М

Противоположно направленные векторы Коллинеарные векторы, имеющие противоположное направление, называются противоположно направленными векторами b ↑↓ KL AB ↑↓ c c↑↓ b KL ↑↓ AB L K с A B b

Равные векторы Векторы называются равными, если они сонаправлены и их длины равны c ↑↑ KL, L с | c | = | KL | c = KL K A b B

1 Решить задачи самим C тетраэдр M N B А K 2 D 3 рис. 104

B 1 A 1 Сложение и вычитание векторов. Умножение вектора на число. C 1 D 1 B A C D

Векторы можно складывать – в результате получается вектор. При сложении двух векторов применяются правила треугольника или параллелограмма: 1) При применении правила треугольника один из векторов откладывают от конца другого, т. е. : 2) При применении правила параллелограмма оба вектора откладывают из общей начальной точки, т. е. , где F – вершина параллелограмма, противоположная общей начальной точке векторов.

При сложении трех и более векторов применяют правило многоугольника: Обратим внимание, что при сложении соноправленных векторов получается вектор, соноправленный с данными и его модуль равен сумме модулей слагаемых векторов: При сложении противоположно направленных векторов получается вектор, соноправленный с вектором, имеющим бóльшую длину и его модуль равен … (подумайте, чему? ):

Также можно найти разность двух векторов – в результате получается вектор. При вычитании двух векторов применяется видоизмененное правило треугольника – вначале оба вектора строятся с общей начальной точкой, затем соединяются концы этих векторов с выбором направления к «уменьшаемому» вектору: Или: т. к. , то можно вначале построить вектор, противоположный вектору , а затем оба вектора сложить по правилу треугольника. –

Сложение векторов, как и сложение чисел подчиняется законам: 1) 2) – переместительный закон сложения; – сочетательный закон сложения; 3) ; 4). Следующее действие с векторами – умножение вектора на число k. В результате этого действия получается вектор, причем: 1) если k>0, то ↑↑ и ; 2) если k<0, то ↑↓ и ; 3) если k=0, то .

Решить задачи самостоятельно 1 рис. 104 C А B тетраэдр D 2

3 4 5 6 7

Разложение вектора по направлениям

Компланарные векторы Df Векторы называются компланарными, если имеются равные им векторы, лежащие в одной плоскости Признак компланарности трех векторов. Если вектор с можно разложить по векторам а и в, т. е. представить в виде с = ха +ув, где х и у – некоторые числа, то векторы а, в и с компланарны

Обратное утверждение: Если векторы а, в и с компланарны, а векторы а и в не коллинеарны, то вектор с можно разложить по векторам а и в, т. е. представить в виде с = ха +ув, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам Любой вектор р можно разложить по трем некомпланарным векторам р = ха +ув+zc, x, y, z – коэффициенты разложения Для этого применяют правило параллелепипеда

Решить задачи самостоятельно

z I I I I I I i =1; j =1; k =1 i j k , и – координатные векторы p k F Координатные векторы не компланарны. Поэтому любой вектор можно разложение вектора по разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде p = xi + y j + zk O I I I причем коэффициенты x i j y разложения определяются единственным образом. p{ x; y; z} координаты вектора F(x; y; z)

p k S I I I I I I I I z Вектор, начало которого совпадает с началом координат – радиус-вектор. Координаты радиус-вектора совпадают с координатами конца вектора. O I I I x i j y S(4; 5; 8) p {4; 5; 8} p =4 i +5 j +8 k

O (0; 0; 0) I I I I I I z r i i {1; 0; 0} k e j {0; 1; 0} O I I I x 0 {0; 0; 0} 0 =0 i + 0 j + 0 k f j y e {-1; 0; 0} r {0; -1; 0} f {0; 0; -1} k {0; 0; 1} e=–i r=–j f=–k

I I I I I I I p c x k O I I I i j I I z S Координаты равных векторов равны. c=p p {4; 5; 8} y c {4; 5; 8}

k NI I I O E x i M j T I I I I I I I I I R z OT {4; 5; 0} OD {-1; 3; 3} D F OF {-1; 3; -6} OM {5; 0; 0} y OE {6; 0; 3} ON {0; -3; 0} OR {-2; -3; 4}

I I I I I I I z 1) Какой из данных векторов равен вектору E 3 i – 2 k ОM = D 2) Напишите разложение вектора ОЕ = по координатным векторам k y NI I I I O x i -2 i +3 k I I R j i, j и k 3) Найдите координаты вектора ОR {-2; -3; 3} T 4) Какой вектор имеет координаты ОT {2; 3; 0} 5) Отложите от т. О вектор с координатами M {-2; 3; 2} ОD

№ 405 АСВОА 1 С 1 В 1 О 1 прямоугольный параллелепипед. Найти координаты векторов z B 1 O 1 2 A x О OА 1 {2; 0; 2} C 1 3 C B OВ 1 {0; 3; 2} y OО 1 {0; 0; 2} OС {2; 3; 0} OС 1 {2; 3; 2} ВС 1 АС 1 О 1 С {2; 3; -2}

Координаты вектора Разложение вектора по координатным векторам a {-6; 9; 5} n {-8; 0; 1} c {0; -7; 0} m{4; 0; 0} r {-5; -8; 3} s {-7; 1; 0} e {0; 3; 21} q {0; 0; 2} ? a = – 6 i+9 j+5 k ? n = – 8 i+k ? c = – 7 j ? m =4 i r = – 5 i – 8 j +3 k s = – 7 i + j e = 3 j +21 k q =2 k ? ?

10 Каждая координата суммы двух или более векторов равна сумме соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим векторы a {x 1; y 1; z 1} b {x 2; y 2; z 2} a+b = a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k + = = (x 1+ x 2)i + (y 1 + y 2 ) j + (z 1 + z 2 )k a +b {x 1+x 2; y 1+y 2; z 1+z 2}

Даны векторы a {3; -5; 2}, b {0; 7; -1}, 2 c { 3 ; 0; 0}, d {-2, 7; 3, 1; 0, 5} Найдите a {3; -5; 2} c +b + b {0; 7; -1} d +b a +b {3; 2; 1} a +d a +b +c a +b +d 2 3 c { ; 0; 0} + a {3; -5; 2} 2 c +a { 3 3; -5; 2}

20 Каждая координата разности двух векторов равна разности соответствующих координат этих векторов. Рассмотрим векторы a {x 1; y 1; z 1} b {x 2; y 2; z 2} a –b = a = x 1 i +y 1 j +z 1 k b = x 2 i +y 2 j +z 2 k – ( ) = = (x 1– x 2)i + (y 1 – y 2 ) j + (z 1 –z 2 )k a –b {x 1–x 2; y 1 –y 2; z 1– z 2}

30 Каждая координата произведения вектора на число равна произведению соответствующей координаты вектора на это число. Рассмотрим вектор a {x; y; z} a = xi +y j +z k k ka = kxi +ky j +kz k ka {kx; ky; kz} a {-2; 1; 0} 3 3 a {-6; 3; 0} a {-2; 0; 3} (-2) -2 a {4; 0; -6} a {-2; 5; -3} (-1) -a {2; -5; 3}

a-b b {-8; 12; -3} Найдите координаты вектора a {-6; 9; 1} 2 способ 1 способ (-1) a - b {2; -3; 4} + -b{8; -12; 3} a - b {2; -3; 4}

a - b, если 1) a {5; -1; 1}; b {-2; 1; 0} № 409 Найдите координаты вектора 1 способ a {5; -1; 1} b {-2; 1; 0} a - b {7; -2; 1} 2 способ b {-2; 1; 0} (-1) a {5; -1; 1} + -b {2; -1; 0} a - b {7; -2; 1}

Даны векторы b {0; -5; -2} c {2; 1; -3} Найдите координаты вектора p = 3 b – 2 a + c a {-1; 2; 0} 1) 3 3) 3 b {0; -15; -6} 2) (-2) -2 a {2; -4; 0} + 3 b – 2 a + c {4; -18; -9}

Даны векторы b {0; -5; -2} c {2; 1; -3} Найдите координаты вектора q = 3 c – 2 b + a a {-1; 2; 0}

A(x 1 , y 1, z 1); B(x 2, y 2, z 2) Координаты середины отрезка A(x 1 , y 1, z 1); B(x 2, y 2, z 2) Точка С – середина отрезка с координатами Длина вектора по координатам

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

Df. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними:

1. Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны. 2. Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.

Скалярное произведение можно вычислить, зная координаты этих векторов.

Решить задачи самостоятельно Списать 1 задачу и самим разобраться в ее решении 1

2 3 4 5 6 7

8 9