Раздел 4 Производная и ее применение 1 Приращение

Раздел 4 Производная и ее применение. 1. Приращение аргумента и приращение функции. 2. Определение производной. 3. Вычисление производной. 4. Производная сложной функции. 5. Производная тригонометрической функции. 6. Производная показательной функции. 7. Производная логарифмической функции. 8. Решение задач. 9. Домашняя работа № 4. 10. Контрольная работа № 4.

Тема № 1 Приращение аргумента и приращение функции. Что показывают физические формулы? Δν=Δs/Δt; ΔF=~Δh 0 х0 х Пусть х -произвольная точка, лежащая в некоторой окрестности фиксированной точки х0. • Определение. Разность Δх=х-х0 называется приращением аргумента или приращением независимой переменной в точке х0.

Определение. Приращение зависимой переменной или приращение функции Δf = f(x 0+Δx) - f(x 0) • Пример. Найти приращение Δx и Δf f(x)=x², x 0=2 и а) х=1, 9 Решение: Δх=х-х0= б) х=2, 1 в точке x 0, если

Тема 2: Определение производной • Математический анализ, созданный Ньютоном и Лейбницем, долго развивался на основе понятия производной как «скорости изменения функции» .

Определение. • Производной функции f в точке х0 называется число, к которому стремится разностное отношение ∆f/∆х при ∆х→ 0, т. е. lim(∆у/∆х )= f´(х) или у´= f´(х) Определение. Функцию, имеющую производную в точке х0, называют дифференцируемой в этой точке.

Формулы дифференцирования. С- постоянная k, m- числа Ø 1. С´=0 Ø 2. х´=1 Ø 3. (kх+m)´= k Ø 4. (хⁿ)´=n·хⁿˉ¹ Ø 5. (e×)´= e× Ø 6. (а×)´= а×·lnа Ø 7. (lnх)´=1/х Ø 8. (logax)´=1/ х·lnа Ø 9. Ø 10. Ø 11. Ø 12. (sinх)´=cosх (cosх)´= -sinх (tgх)´=1/cos²х (сtgх)´= -1/sin²х

1. С´=0 (С- постоянная) Производная от постоянной равна 0. Пример № 1. (2)´= √ 7′= 2. х´=1 Правило: постоянный множитель можно вынести за знак производной: (-8 х)´= (⅓ х)´= 3. (kх+m)´= k • k, m- числа • (3 х-1)´=(3 х)´-1´= • (-2+6 х)´= 4. (хⁿ)´=n·хⁿˉ¹ (4 х²)´= 4(х²)´=

Вычислить производные:

Самостоятельная работа Вариант-1 • 1. (-11 х-19)´= • 2. (¼х-1)´= • 3. (-х-100)´= • 4. • 5. • 6. Вариант-2 • 1. (-13 х-10)´= • 2. (-¾ х +1)´= • 3. (-х-20)´= • 4. • 5. • 6.

Домашнее задание. • Задача: Дан куб с ребром а. Выразить погрешность ΔV, допущенную при вычислении объема этого куба, если погрешность при изменении длины ребра равна Δх. Решение: ΔV= V(х)-V(а)=(а+Δх)³ - а³=