Раздел 3 Ряды 1 Понятие ряда Необходимый

Раздел 3. Ряды. § 1. Понятие ряда. Необходимый признак сходимости. Пусть имеется числовые последовательности а 1, а 2, …аn. Определение (ряда). Выражение вида а 1+ а 2 +а 3 +…+ аn +…, сокращённо записываемое как называют рядом. При этом а 1, а 2, …аn… - члены ряда. аn общий член ряда. 1

Пример. - гармонический ряд. С любым числовым рядом можно связать последовательность чисел по следующей методике. Дан ряд: Сопоставим ряду последовательность чисел S 1 = a 1 S 2 = a 1 + a 2 S 3 = a 1 + a 2 + a 3 … Sn= a 1 + a 2 + …+ an 2

3

4

5

6

Теорема 1. (необходимый признак сходимости). Если числовой ряд сходится, то (1) (an – общий член ряда). Доказательство. Sn= a 1 + a 2 + …+ an Sn-1= a 1 + a 2 + …+ an-1 Вычитая из одного равенства другое, имеем: Sn - Sn-1 = an. Так как по условию ряд (1) сходится, значит существует и 7

Тогда: по теореме о пределе разности Ч. т. д. Замечание 1. Необходимый признак сходимости не является достаточным. Это означает, что из того, что нельзя сделать вывод, что ряд сходится. 8

Пример. Дан ряд: n Используя теорему о предельном переходе в неравенствах, имеем: , то, расходиться значит ряд 9

Замечание 2. Необходимый признак сходимости обычно используют для доказательства расходимости ряда. Пример: Предположим, что он сходится. Тогда по необходимому признаку но , . Наше предположение неверно, ряд расходится. 10

1. 2. Некоторые свойства числовых рядов Теорема 1. (об умножении ряда на число). Пусть ряд (1) сходится, а -действительное число. Тогда ряд (2) также сходится. Причем сумма ряда (2) в -раз больше суммы (1). Доказательство: Т. к. ряд (1) сходится, следовательно, существует предел последовательности частичных сумм 11

Рассмотрим ряд (2). , S n = a 1 + a 2 +. . . + an = Т. к. в сумме конечное число членов, то = (a 1 + a 2 +. . . + an ) = Sn по свойству пределов = = в силу сходимости ряда (1)= S 1) Т. к. S – конечное, то по определению ряд сходится. 12

2) S n = S сумма ряда S в раз больше суммы ряда S. Замечание. Т. к. . Отсюда видно, что число можно выносить за знак суммы сходящегося ряда. Теорема 2. (о сумме (разности) сходящихся рядов). Пусть ряд (1) и ряд (2) сходятся. Тогда сходятся и ряды и (3) 13

Причем, если суммы рядов (1) и (2) равны A, B, то суммы рядов (3), (4) равны A±B соответственно. Доказательство: По условию ряд - сходится существует . Рассмотрим ряд вида: Составим для него частичную сумму: 14

Sn = (а 1±b 1)+ (а 2±b 2)+. . . + (аn±bn)= с учетом конечности слагаемых, сгруппируем= = (а 1+ а 2 +. . . + аn)± (b 1+ b 2 +. . . + bn)= S n± S n Переходя к пределу в полученном неравенстве, имеем: по теореме по сумме (разности) пределов = 1. Ряд и ряд сходятся по определению. 15

2. . Замечание: 1)Т. к. то сходящиеся ряды можно почленно вычитать или складывать и полученные ряды снова будут сходится. 2) Если же ряд аn и bn расходятся, то о сходимости ряда сказать. ничего нельзя 16

Теорема 3. (о добавлении конечного числа членов к ряду). Если ряд сходится (расходится), то Добавление (вычитание) к ряду конечного числа членов не меняет характера сходимости ряда. 1. 3. Геометрический ряд. Гармонический ряд. Геометрическим называется ряд вида: 1+q+q 2+q 3+. . . + qn+. . . = , q- знаменатель 17

Составим частичную сумму для ряда: Sn=(1+q+q 2+q 3+. . . + qn-1) = q≠ 1. Исследуем геометрический ряд на сходимость в зависимости от числа q. 1. Пусть >1. Тогда , значит, ряд расходится, т. к. 18

2. Пусть q=1. Sn=1+1+1+…+1=n, n расходится. 3. Пусть q=-1. . Значит, ряд расходится. 4. Пусть < 1. Sn= def ряд сходится. 0 19

Объединяя случаи 1 -4, можно записать: , расходится , сходится, . 2. 1. Знакопостоянные и знакоположительные ряды. Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов. Опред. (знакоположительного ряда). Ряд называется знакопостоянным, если 20

все члены этого ряда имеют один и тот же знак. Опред. (знакоположительный ряд). Числовой ряд называется знакоположительным, если все члены этого ряда больше an>0. Теорема 1. (первый признак сходимости) Пусть даны ряд (1) , ряд (2) со знакоположительными членами, такими что, начиная с некоторого N, выполняется неравенство n >N, an≤ bn (3). 21

Тогда: 1. Из сходимости ряда (2)→сходимость ряда (1). 2. Из расходимости ряда (1)→ расходимость ряда (2). Доказательство самостоятельно. Теорема 2. (второй признак сходимости рядов со знакоположительными членами). Пусть даны ряд (1) , ряд (2) со знакоположительными членами. Тогда, если существует конечный 22

, то ряды (1) и (2) сходятся или расходятся одновременно. Доказательство самостоятельно. 2. 2. Признаки Даламбера, Коши. Теорема 1. (Признаки Даламбера). Пусть дан ряд (1) , an ≥ 0 со знакоположительными членами. Если существует конечный , то 23

1. При 0≤l<1 ряд (1) – сходится. 2. При 1<l ряд (1) – расходится. 3. При l=1 признак Даламбера не дает ответа о сходимости ряда. Доказательство самостоятельно. Признак Коши. Теорема 1. (признак). Если для знакоположительного ряда (1), an ≥ 0 существует конечный предел , то 24

25